馮亦奇, 陳 勇,2

(1.北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院,北京 100192; 2.北京電動車輛協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100192)

為車輛操縱穩(wěn)定性控制系統(tǒng)在線提供精確的車輛狀態(tài)參數(shù)是提高車輛操縱穩(wěn)定性的前提。受目前技術(shù)水平限制,車輛某些重要狀態(tài)參數(shù)(如車輛橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角)需使用昂貴的傳感器進行測量,增加了測量成本及制造成本。此外,車輛系統(tǒng)本身具有的高度非線性和時變性也是對車輛狀態(tài)參數(shù)估計的主要挑戰(zhàn)[1-2]。卡爾曼濾波方法采用遞推迭代的形式,可對非線性模型進行有效處理并得到較為準(zhǔn)確的估計結(jié)果[3]。

文獻[4]以車輛輪速為輸入信號,使用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對車速進行在線估計;文獻[5]基于二自由度車輛動力學(xué)模型,使用擴展卡爾曼濾波方法對車輛質(zhì)心側(cè)向速度進行在線估計;文獻[6]以輪速作為輸入信號,提出了一種經(jīng)過改進的Sage-Husa擴展卡爾曼濾波方法,并對車輛狀態(tài)參數(shù)進行了估計;文獻[7]提出了將2個擴展卡爾曼濾波器并行濾波的方法,降低了車輛參數(shù)的變化對估計精度的影響;文獻[8]利用模糊控制理論對測量噪聲進行了在線實時調(diào)整,提高了算法魯棒性。

本文提出了一種基于遺忘因子的無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)方法對行駛狀態(tài)下的車輛參數(shù)進行估計。該算法以車輪前輪轉(zhuǎn)向角、油門/制動踏板開度以及車輛側(cè)向加速度傳感器信號為輸入信號,完成了對行駛狀態(tài)下車輛的橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角、質(zhì)心縱向車速、質(zhì)心側(cè)向車速4個狀態(tài)參數(shù)的有效估計;并通過CarSim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真對所提出的濾波方法進行了對比驗證。

1 車輛動力學(xué)模型建模

1.1 車輛模型建模

為了更精確地確定車輛運動狀態(tài),減小因模型誤差而引起的過程噪聲對濾波效果產(chǎn)生的消極影響,需要構(gòu)建合理的車輛動力學(xué)模型。本文構(gòu)建了包含縱向、側(cè)向、橫擺的三自由度非線性車輛動力學(xué)模型,如圖1所示。

圖1 三自由度車輛動力學(xué)模型

三自由度車輛動力學(xué)模型方程如下。

縱向動力學(xué)方程為:

max=(Fx11+Fx12)cosδ-(Fy11+Fy12)sinδ+Fx21+Fx22

(1)

側(cè)向動力學(xué)方程為:

may=(Fx11+Fx12)sinδ+(Fy11+Fy12)cosδ+Fx21+Fx22

(2)

橫擺動力學(xué)方程為:

a[-(Fx11-Fx12)sinδ+(Fy11+Fy12)cosδ]

(3)

其中,Iz為車輛繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量;Fx、Fy分別表示車輪的縱向力、側(cè)向力大小,其下標(biāo)11、12、21、22分別表示前左輪、前右輪、后左輪、后右輪;tf、tr分別為車輛前輪軸距、后輪軸距。

根據(jù)(1)～(3)式,可求得三自由度車輛狀態(tài)方程及其測量方程為:

(4)

(5)

其中,m為車輛整備質(zhì)量;k1為前輪側(cè)偏剛度;k2為后輪側(cè)偏剛度;δ為前輪轉(zhuǎn)向角;v為質(zhì)心側(cè)向速度;u為質(zhì)心縱向速度;ωr為橫擺角速度;β為質(zhì)心側(cè)偏角;ax為質(zhì)心縱向加速度;ay為質(zhì)心側(cè)向加速度。

1.2 輪胎模型建模

輪胎是車輛與地面唯一發(fā)生接觸的部件。對輪胎進行數(shù)學(xué)建模的精度,直接影響著整車動力學(xué)仿真的結(jié)果。本文采用“magic formula”魔術(shù)輪胎模型,其表達式為：

y=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctan(Bx))]}

(6)

Y(X)=y(x)+Sv

(7)

x=X+Sh

(8)

其中,B為剛度因子;C為形狀因子;D為幅值因子;E為曲率因子;Sh為曲線在x軸上的偏移量;Sv為曲線在y軸上的偏移量;X為輸入變量;Y(X)為輸出變量。

(6)～(8)式中的各個參數(shù)均使用CarSim軟件中所提供的魔術(shù)輪胎模型參數(shù)。魔術(shù)輪胎模型中的Y(X)可以是側(cè)向力,也可以是回正力矩或縱向力,自變量X可以在不同的情況下分別表示輪胎的側(cè)偏角或縱向滑移率,式中的系數(shù)B、C、D依次由輪胎的垂直載荷和外傾角來確定。

由三自由度車輛動力學(xué)模型可知,進行車輛狀態(tài)預(yù)測時,需要已知輪胎的縱向力和側(cè)向力[9]。用于計算輪胎側(cè)向力和縱向力的輸入量分別為輪胎側(cè)偏角和輪胎縱向滑移率,其計算公式[10]可由車輛模型推導(dǎo)獲得,即

(9)

(10)

其中,uij為各車輪中心速度，下標(biāo)ij表示11、12、21、22，下文同；ωij為各車輪轉(zhuǎn)動角速度;sij為各車輪縱向滑移率;αij為各車輪側(cè)偏角;Y(X)為輸出變量；hf為前輪輪距;hr為后輪輪距;re為車輪滾動半徑。

2 基于遺忘因子的UKF濾波器設(shè)計

2.1 UKF原理

根據(jù)所建立的三自由度車輛模型,定義系統(tǒng)狀態(tài)向量為X(t)=[ωrβu]T;定義系統(tǒng)輸入向量為u(t)=[δax]T;觀測量為y(t)=ay。車輛的系統(tǒng)狀態(tài)方程為(4)式,觀測方程為(5)式;在任意時刻t,非線性系統(tǒng)均可由含有高斯白噪聲w(t)的系統(tǒng)狀態(tài)變量X和含有高斯白噪聲v(t)的觀測變量Z(t)進行表示,即

(11)

其中,X(t)為狀態(tài)向量;Z(t)為觀測向量;u(t)為控制向量;f為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù);h為量測函數(shù);w(t)為均值為q且方差為Q的系統(tǒng)過程高斯白噪聲;v(t)為均值為r且方差為R的量測高斯白噪聲。

UKF算法計算步驟如下所述。

(1) 計算獲得1組采樣點集(即Sigma點集)及其對應(yīng)權(quán)值。無跡變化(unscented transform,UT)是UKF方法中的特有變換,它通過計算選取總數(shù)為2n+1個采樣點(即Sigma點),再計算每點對應(yīng)的權(quán)值，進而得到可以描述某一特定時刻下系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)的統(tǒng)計特征。其中,n為系統(tǒng)狀態(tài)向量X(t)的維數(shù)。Sigma采樣點集及每個點所對應(yīng)的權(quán)值計算公式為:

(12)

(13)

其中,λ為可對整體預(yù)測誤差起到調(diào)整作用的縮放比例系數(shù)；下標(biāo)m表示均值的權(quán)值,下標(biāo)c表示協(xié)方差的權(quán)值。a的取值可以調(diào)整每次迭代UT變換中的采樣點集分布狀態(tài);為了確保矩陣(n+λ)P為半正定矩陣,引入了可自行取值的待定系數(shù)k;不同于擴展卡爾曼濾波將Taylor展開式的高階項直接忽略進而求得雅可比矩陣的方法,UKF引入了用來保留、合并方程中高階微分項的非負權(quán)系數(shù)β。根據(jù)經(jīng)驗,對于正態(tài)分布的噪聲,通常取β=2[7]。因此由(12)式、(13)式可以獲得Sigma采樣點集,即

(14)

(2) 計算Sigma采樣點集的一步預(yù)測。計算公式為:

X(i)(k+1|k)=f(k,X(i)(k|k))

(15)

(3) 計算狀態(tài)量的一步預(yù)測以及對應(yīng)的協(xié)方差矩陣。由(14)式、(15)式加權(quán)求和得到系統(tǒng)狀態(tài)量的一步預(yù)測以及協(xié)方差矩陣為:

(16)

X(i)(k+1|k)]×

(17)

其中,Q為系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差矩陣。

在處理非線性濾波問題時,傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波方法在估計點處做Taylor級數(shù)展開,求得忽略高階展開項的雅可比矩陣,再進行低階近似計算。而UKF方法是在估計點處進行UT變換的,得到可以描述原系統(tǒng)狀態(tài)向量X(t)均值、協(xié)方差2個統(tǒng)計特性的Sigma點集,再將其代入非線性方程進行計算,進而得到狀態(tài)概率密度函數(shù)。這樣不僅規(guī)避了對Taylor展開式中高階項的直接計算,同時還提高了濾波精度。

(4) 根據(jù)一步預(yù)測值計算得到新的Sigma點集。計算公式為:

(18)

(5) 計算觀測量預(yù)測值。計算公式為:

Z(i)(k+1|k)=h[X(i)(k+1|k)],i=1,2,…,2n+1

(19)

(6) 根據(jù)觀測預(yù)測值,計算系統(tǒng)預(yù)測的均值和協(xié)方差。計算公式為:

(20)

PZkZk=

(21)

PXkZk=

(22)

其中,R為測量噪聲協(xié)方差矩陣。

(7) 計算Kalman增益矩陣。計算公式為:

(23)

(8) 系統(tǒng)狀態(tài)和協(xié)方差的更新。計算公式為:

(24)

P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-K(k+1)PZkZkKT(k+1)

(25)

2.2 基于遺忘因子的UKF濾波器

在卡爾曼濾波方法中,反映模型誤差的過程噪聲協(xié)方差矩陣和信號測量中的測量噪聲協(xié)方差矩陣對濾波效果的影響很大,在實際應(yīng)用中,不僅無法對過程噪聲進行精確估計,測量噪聲也容易受到外界因素的干擾。因此,需對噪聲協(xié)方差矩陣進行實時在線調(diào)整,使得過程噪聲協(xié)方差陣和測量噪聲協(xié)方差陣可以根據(jù)環(huán)境和系統(tǒng)運動進行自適應(yīng)調(diào)節(jié)[11]。

本文建立的數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)間存在的模型誤差和信號測量過程中由外界未知干擾源而引起的測量誤差,是影響UKF濾波器濾波精度的2個主要因素。

此外,已有的文獻中提供了如下經(jīng)驗結(jié)論:

(26)

(27)

(28)

其中,ek為殘差;b為遺忘因子。

遺忘因子b的取值范圍通常為0.95～0.99[18]。為了防止UKF濾波器的估計效果對遺忘因子b的取值過于敏感,本文采用指數(shù)加權(quán)衰減方式 (1-b)/(1-bk),以保證濾波器的魯棒性[18]。

本文通過CarSim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真,對所提出的估計算法估計能力進行驗證。CarSim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真的框圖如圖2所示。

圖2 CarSim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真

3 仿真結(jié)果

以擴展卡爾曼濾波算法和UKF算法的濾波估計結(jié)果作為參照對象,對本文提出的基于遺忘因子的自適應(yīng)UKF算法進行對比仿真驗證。

在CarSim中車輛基本參數(shù)設(shè)置為:車輛整備質(zhì)量m=1 458.5 kg;繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz=2 768 kg·m2;質(zhì)心至前軸距離a=1.066 m;質(zhì)心至后軸的距離b=1.544 m;前軸車輪側(cè)偏剛度k1=-95 000 N/rad;后軸車輪側(cè)偏剛度k2=-100 000 N/rad。

根據(jù)CarSim軟件所提供的雙移線工況數(shù)據(jù),對算法的相關(guān)參數(shù)做如下定義:卡爾曼濾波器的系統(tǒng)狀態(tài)向量為X(t)=[ωrβu]T,初始值設(shè)定為X-(t0)=[0 0 25]T,對應(yīng)的車輛狀態(tài)為以90 km/h的速度勻速直線行駛;系統(tǒng)輸入向量為u(t)=[δax]T,其輸入波形圖如圖3所示;觀測量為y(t)=ay,其方差為3的時變高斯白噪聲波形如圖4所示;系統(tǒng)過程高斯白噪聲協(xié)方差矩陣的初始值設(shè)置為Q0=I3×3;測量高斯白噪聲協(xié)方差初始值設(shè)置為R0=1 000;誤差協(xié)方差矩陣的初始值設(shè)置為P(t0)=I3×3;路面附著系數(shù)μ=0.8;采樣周期為TSS=0.001 s。

圖3 CarSim駕駛員輸入信號波形

圖4 含有時變白噪聲的輸入信號

3種濾波估計算法對車輛橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角、縱向速度、側(cè)向速度的仿真結(jié)果如圖5所示。其中，EKF為護展卡爾曼濾波算法，AUKF為基于遺忘因子的自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法。從圖5可以看出,相對于傳統(tǒng)的EKF算法和UKF算法,AUKF算法具有更高的估計精度,并且其跟隨性和魯棒性良好。

由圖5可知,本文所設(shè)計的AUKF算法在線調(diào)整量測噪聲協(xié)方差矩陣Rk,有效降低了未知高斯白噪聲對車輛狀態(tài)參數(shù)估計的影響,使得改進的濾波算法對噪聲有較強的抑制能力。

圖5 3種濾波估計算法對各狀態(tài)參數(shù)的仿真結(jié)果

為了對這3種卡爾曼濾波估計算法的估計精度進行定量比較,分別計算了3種卡爾曼算法的估計結(jié)果、CarSim數(shù)據(jù)值之間的平均絕對誤差MAE和均方根誤差RMSE，結(jié)果見表1、表2所列。

3種卡爾曼濾波估計算法的MAE和RMSE的計算公式如下:

(27)

其中,h(xi)為i時刻的觀測估計值;yi為i時刻CarSim數(shù)據(jù)值。

表1 3種算法的MAE指標(biāo)

表2 3種算法的RMSE指標(biāo)

由表1、表2可知,在對車輛橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角和質(zhì)心側(cè)向速度3個車輛狀態(tài)參數(shù)的濾波估計效果上,本文AUKF算法在MAE和RMSE 2個統(tǒng)計學(xué)評價指標(biāo)上均優(yōu)于傳統(tǒng)的EKF算法和UKF算法,平均估計精度分別提高了38%、27%、28%;但在對質(zhì)心縱向速度的估計精度,AUKF略顯不足,仍需優(yōu)化改進。

4 結(jié) 論

本文建立了以非線性三自由度車輛動力學(xué)模型和魔術(shù)輪胎模型相結(jié)合、用于車輛狀態(tài)參數(shù)估計的數(shù)學(xué)模型；引入了遺忘因子的概念,對量測噪聲協(xié)方差矩陣R進行在線調(diào)整,有效降低了未知高斯白噪聲以及歷史估計數(shù)據(jù)對車輛狀態(tài)參數(shù)估計的干擾,使得濾波算法對未知噪聲具有較強的抑制能力。

本文提出了估計精度更高的UKF濾波器與遺忘因子概念相結(jié)合的自適應(yīng)UKF算法,實時在線估計車輛行駛狀態(tài)下的狀態(tài)參數(shù),完成了在車輛行駛狀態(tài)下對4個重要車輛狀態(tài)參數(shù)的在線有效估計;并通過CarSim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真對所提出的濾波方法進行了對比驗證。

仿真結(jié)果表明,本文基于遺忘因子的UKF算法能更準(zhǔn)確、穩(wěn)定地估計車輛的行駛狀態(tài)參數(shù),為車輛動力學(xué)控制策略提供了可靠的車輛狀態(tài)參數(shù)。