謝根全，宋鑫朋

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

磁電多場(chǎng)耦合的理論研究可追溯到上世紀(jì)50年代。至今，國(guó)內(nèi)外在壓電、壓磁等功能材料結(jié)構(gòu)的材料性能和力學(xué)性質(zhì)方面進(jìn)行了一系列的研究，尤其在理論研究方面取得了重要進(jìn)展。在電-磁-彈材料結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能研究方面：KALISKI[1]推導(dǎo)出熱-電-磁-彈的波動(dòng)方程；文獻(xiàn)[2-12]對(duì)壓電-壓磁層合板或功能梯度材料板和殼中波的傳播特性(彌散特性、特征波面、相速度和群速度)進(jìn)行了研究。在波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)方面的研究：HOU等[13]，WANG等[14]推導(dǎo)并分析了多鐵空心圓柱在軸對(duì)稱平面應(yīng)變變形下的瞬態(tài)響應(yīng)；DAGA等[15]應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)Runge-Kutta法的半解析有限單元法研究了磁-電-彈三相材料組成的簡(jiǎn)支層合圓柱殼的瞬態(tài)響應(yīng)，對(duì)彈性圓柱殼和電-磁-彈耦合的圓柱殼的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較；WANG等[16]借助商業(yè)軟件Abaqus建立了多鐵復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，使用直接時(shí)間積分法對(duì)雙層多鐵復(fù)合材料中波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。

求功能梯度材料中的波動(dòng)響應(yīng)的混合數(shù)值法首先由LIU等[17]提出,并在板、殼結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)力學(xué)研究中得到各國(guó)廣泛應(yīng)用[18-20]?；旌蠑?shù)值法的基本思想是在材料梯度變化的方向劃分層單元，在垂直梯度方向應(yīng)用解析法。劃分單元的目的主要是對(duì)材料參數(shù)的變化進(jìn)行近似并不是對(duì)位移進(jìn)行近似，因此，其解具有很高的精度。磁電彈性功能梯度材料結(jié)構(gòu)不僅材料參數(shù)梯度變化，而且存在多場(chǎng)耦合。對(duì)于有些材料參數(shù)變化梯度的結(jié)構(gòu)，要獲得結(jié)構(gòu)中波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)的解析解很困難;混合數(shù)值法比有限元法求解具有高效性，因?yàn)槠鋯卧獢?shù)遠(yuǎn)少于有限元法的單元數(shù)。對(duì)于反問題來(lái)說(shuō)，因?yàn)橐磸?fù)調(diào)用正問題，正問題求解的高效性顯得尤為重要，因此用混合數(shù)值法求解具有優(yōu)越性。

本文假設(shè)電-磁-彈(electric-magneto-elastic，EME)板材料參數(shù)在厚度方向呈二次梯度變化,應(yīng)用能量變分原理和層單元法建立板的動(dòng)力學(xué)微分非常方程,用傅立葉變換、反傅立葉變換方法和模態(tài)疊加法獲得板在力激勵(lì)和電極激勵(lì)下的波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng),研究磁電參數(shù)對(duì)電磁彈板中的波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 理論模型

1.1 基本方程

如圖1所示，板厚為h的無(wú)限大電磁功能梯度材料板，在厚度方向上劃分上、中、下三個(gè)節(jié)面。

圖1 電磁功能梯度材料板的單元模型

設(shè)各層材料為各向異性材料，電-磁-彈材料板的本構(gòu)關(guān)系[10]為

(1)

式中：σ為應(yīng)力向量；C為彈性系數(shù)矩陣；ε為應(yīng)變向量；E為電場(chǎng)強(qiáng)度向量；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度向量；D為電位移向量；B為磁感強(qiáng)度(磁流密度)向量；e,q,g,α,μ分別為壓電系數(shù)、壓磁系數(shù)、介電常數(shù)、磁電效應(yīng)系數(shù)、磁導(dǎo)率矩陣。

壓電-壓磁-彈性板的廣義幾何方程為

(2)

式中：u1,u2,u3分別為x,y,z方向的彈性位移分量u,v,w；φ，ψ分別為電勢(shì)函數(shù)、磁勢(shì)函數(shù)，下標(biāo)中的逗號(hào)表示求導(dǎo)(偏導(dǎo))。

將壓電-壓磁板沿厚度方向劃分為上、中、下三個(gè)節(jié)面，板內(nèi)的位移、電勢(shì)、磁勢(shì)分別用形函數(shù)和節(jié)面位移、電勢(shì)、磁勢(shì)表示，即

(3)

式中：下標(biāo)k為層數(shù)編號(hào)，1為底層，3為頂層；形函數(shù)Nk(z)為

(4)

假設(shè)材料按二次拋物線規(guī)律

(5)

式中：p為彈性參數(shù)；上標(biāo)u、l分別表示單元層的上層和下層。

1.2 控制方程

壓電-壓磁-彈性板的能量泛函為

(6)

式中：Fi為施加在第i節(jié)面上的力；Di3是第i節(jié)面上沿z軸向的電位移向量，Bi3是第i節(jié)面上沿z軸向的磁感強(qiáng)度向量,ρ為質(zhì)量密度。

對(duì)能量泛函變分δΠ=0,得到

(7)

其中：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：0為零矩陣；I為三維單位矩陣。AD為如下微分算子[11]

(12)

CD,QD,GD,RD,YD參照式(12)計(jì)算，其中Ai,Ci,Qi,Gi,Ri,Yi的表達(dá)式見附錄A。

引入如下的傅里葉變換:

(13)

式中：kx為x方向的波數(shù)；ky為y方向的波數(shù)。

對(duì)式(7)施加傅里葉變換得

(14)

其中：

(15)

C、Q、G、Y、R參照A計(jì)算，其中Ai,Ci,Qi,Gi,Yi,Ri的表達(dá)式見附錄A。

為了獲得力載荷激勵(lì)下的位移和靜電勢(shì)、靜磁勢(shì)響應(yīng)，假設(shè)

(16)

為了獲得電極激勵(lì)下的位移和靜電勢(shì)、靜磁勢(shì)響應(yīng)，假設(shè)

F=0,φi=φe,Bz=0。

(17)

1.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析

對(duì)式(14)降維，可以變換為

(18)

式中右邊三項(xiàng)分別為力載荷、等效電極載荷和等效磁極載荷的傅里葉變換。

(19)

(20)

Ks=A+CE-1Σ+QX-1Γ，

(21)

其中：

X=R-TY-G-1R，

(22)

(23)

Σ=R-1CT+Y-1QT，

(24)

E=R-1G-Y-1RT。

(25)

對(duì)于整數(shù)個(gè)電極和磁極激勵(lì)，假設(shè)電極、磁極反對(duì)稱分布在y軸上，電勢(shì)、磁勢(shì)的傅里葉變換分別為[21]

(26)

(27)

式中：p0為靜電勢(shì)常數(shù)；he為電極寬度；Ne為電極總數(shù)；de為兩個(gè)電極間的距離；m0為靜磁勢(shì)常數(shù)；hm為磁極寬度；Nm為磁極總數(shù)；dm為兩個(gè)磁極間的距離。

在計(jì)算時(shí)，對(duì)以下參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化：

式中：t0是剪切波橫穿板厚的時(shí)間；c0為電磁材料中剪切波的速度；ρ0,c66分別為電磁材料的密度和彈性的參考值；es=1 C/m2；gs=10-10F/m；c66=1 GPa；ρ0=1 kg/m3；f0=1 N/m2；qs=1 Vs/m2；μs=10-6Vs/Am；αs=10-12Ns/Vm。

應(yīng)用反傅里葉變換得到位移和靜電勢(shì)、靜磁勢(shì)響應(yīng)

(28)

φ=E-1Σd，

(29)

ψ=X-1Γd。

(30)

2 算例與分析

2.1 算例 施加力荷載

板的厚度h=0.5 m，在板的上表面x=0這根線上施加一個(gè)階躍載荷F=q0δ(x)H(t)，q0=1 kN,H(t)為單位階躍函數(shù)。

傅里葉變換波數(shù)域內(nèi)的位移響應(yīng)為

(31)

一維反傅里葉變換得到時(shí)域內(nèi)的位移

(32)

圖2 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移w沿x軸方向的分布

圖3 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移u沿x軸方向的分布

圖4 功能梯度彈性板(E)和功能梯度電磁彈性板(EME)頂面位移u沿x軸方向的分布

圖5 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的電勢(shì)φ沿x軸方向的分布

圖6 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的磁勢(shì)ψ沿x軸方向的分布

2.2 算例 施加電極激勵(lì)

在x=0線上反對(duì)稱布置Ne=10個(gè)電極對(duì)，電極寬度he=0.01 m，電極間距de=0.05 m，靜電勢(shì)常數(shù)p0=10 V，大數(shù)α=1015。

電極激勵(lì)的等效載荷為

(33)

圖7 電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移w 沿x軸方向的分布

圖8 電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移u沿x軸方向的分布

圖9 電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的電勢(shì)φ沿x軸方向的分布

圖10 電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的磁勢(shì)ψ沿x軸方向的分布

3 結(jié)論

應(yīng)用混合數(shù)值法研究電-磁-彈功能梯度材料板中波動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)。分別在板的x=0直線上施加力和電極激勵(lì)，應(yīng)用混合數(shù)值法獲得了電-磁-彈功能梯度材料板的上、下表面的彈性波動(dòng)響應(yīng)和電勢(shì)、磁勢(shì)響應(yīng)，得出如下結(jié)論：

(1)在力激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度材料板中的橫波w的波幅沿梯度增大的方向減小，在厚度方向是拉伸波。

(2)在力激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度材料板中的縱波u的波幅沿梯度增大的方向減小。

(3)在力激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度材料板中的電勢(shì)和磁勢(shì)的幅值沿梯度增大的方向減小。

(4)在電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度材料板中的縱波u的波幅沿梯度增大的方向減小。

(5)在電極激勵(lì)下，電-磁-彈功能梯度材料板中的電勢(shì)和磁勢(shì)的幅值沿梯度增大的方向減小。

(6)在力激勵(lì)下，磁勢(shì)響應(yīng)與電勢(shì)響應(yīng)的波形相似，只是波幅大小不一樣；但在電極激勵(lì)下，磁勢(shì)響應(yīng)與電勢(shì)響應(yīng)的波形存在差異。

附錄A

下面各表達(dá)式中的上標(biāo)u、l分別表示單元層的上層和下層。

只要將e改為q，Qi的表達(dá)式和Ci一樣；只要將g改為μ、α，Yi、Ri的表達(dá)式和Gi一樣。

附錄B

下層磁電材料參數(shù)如下：

上層材料參數(shù)為下層的1.5倍。