施洪瓊,山朝恒,瞿發(fā)欽,吳艷梅,馬雪霞,高全歸

(玉溪師范學院 物理與電子工程學院，云南 玉溪 653100)

轉(zhuǎn)動慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性的量度，其值由物體的形狀、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置3方面的因素共同決定[1，2].轉(zhuǎn)動慣量在科學實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械等工業(yè)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，是一個重要參量.在汽車制造中，轉(zhuǎn)動慣量是發(fā)動機本體以及整體設(shè)計的重要參數(shù)，在氣缸內(nèi)工作壓力、平均指示壓力等參數(shù)的估算中有著非常重要的作用[3].測量轉(zhuǎn)動慣量的方法有多種，如復擺法，三線扭擺法等[4].采用復擺法測量轉(zhuǎn)動慣量，在擺角過大的時候，測量精度顯著降低，當擺角大于60°時，測量誤差超過40%[5].三線擺具有操作簡單，準確度高的特點，但對于大質(zhì)量物體的測量非常不方便[5,6].采用扭擺法測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其誤差比三線擺還小[7].三線擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的精度比扭擺法更高[8,9].在本文中，筆者在常用測量轉(zhuǎn)動慣量的方法的基礎(chǔ)上進行改進，用其測量不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量，并分析實驗存在的問題和改進方向.

1 實驗儀器、方法和實驗原理

1.1 實驗儀器和方法

圖1 轉(zhuǎn)動慣量測定實驗裝置示意圖

圖1為本文所使用的轉(zhuǎn)動慣量測定實驗裝置的示意圖.實驗時，細線的一端纏繞在轉(zhuǎn)軸上，細線繞過兩個定滑輪，另一端掛有砝碼.待測物放在載物臺上并固定，載物臺和轉(zhuǎn)軸固定在一起且不能有相對轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸相對于底座轉(zhuǎn)動，并且應(yīng)盡量讓轉(zhuǎn)軸和底座連接處的轉(zhuǎn)動摩擦力小.砝碼的重力帶動轉(zhuǎn)軸和載物臺轉(zhuǎn)動，砝碼、細線、轉(zhuǎn)軸和載物臺構(gòu)成的系統(tǒng)由細線連接，因而線加速度是相同的.

本實驗裝置在傳統(tǒng)的實驗裝置中加入了定滑輪2和參考面.實驗中，細線先繞過定滑輪1，然后繞過定滑輪2，是為了增加砝碼運動的距離以提高實驗精度.加入?yún)⒖济媸菫榱隧来a靜止時所在的位置有一個確定的參考面，使得實驗更為方便，也能提高精度.傳統(tǒng)的實驗直接讓細線從定滑輪1的上方向下并掛有砝碼，沒有設(shè)置砝碼靜止點的參考面，實驗中砝碼行走的距離較短，砝碼靜止點的參考位置不好選定.

實驗過程中，讓砝碼自由下落，記錄下砝碼從參考面到地面所用的時間，由于采用秒表測量時間誤差較大，需要反復測量多次.同時，為了得到M-α函數(shù)關(guān)系，還需要改變砝碼質(zhì)量多次，并測量相應(yīng)下落時間.計算角加速度需要測量出參考面與地面的距離，為了得到拉力矩還需要測量轉(zhuǎn)軸的半徑.

1.2 實驗原理

根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定律，轉(zhuǎn)動系統(tǒng)所受合外力矩M和與角加速度α的關(guān)系為[10]：

M和=Iα，

(1)

其中I表示轉(zhuǎn)動慣量，為待測物理量，α為轉(zhuǎn)動物體的角加速度，M和表示合外力矩，主要由引線的張力矩M拉[11]和物體間摩擦力矩M阻構(gòu)成，它們的關(guān)系為M和=M拉+M阻，代入(1)式得：

M和=M阻+Iα，

(2)

上式中，I為系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，摩擦力矩M阻是未知的，并且很難測量，但它主要來源于接觸摩擦，可認為是恒定的.引線所受到的張力FT就是砝碼的重力mg，將轉(zhuǎn)軸的半徑用R來表示，則載物臺和待測物體一起所受的拉力矩為：

M拉=mgR，

(3)

由(3)式可見，確定砝碼的質(zhì)量，并測量得到轉(zhuǎn)軸的半徑R后就可以計算出轉(zhuǎn)臺所受的拉力矩.

由于轉(zhuǎn)臺和砝碼之間由引線連接，因此，砝碼的線速度和轉(zhuǎn)軸上所繞引線的速度是一致的，也就是轉(zhuǎn)軸外邊緣的線速度和砝碼的線速度相同，對應(yīng)的線加速度也就是一致的.砝碼下落的過程是一個勻加速運動，砝碼運動的距離為h，所需要的時間t由實驗測量得到，可以計算得帶線加速度a為：

(4)

利用線量和角量的關(guān)系，可以得到轉(zhuǎn)臺的角加速度α為：

(5)

多次改變拉力，并測量相應(yīng)的砝碼下落時間，通過計算就可以得到一組M拉-α的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可以計算得到轉(zhuǎn)臺和待測物體的轉(zhuǎn)動慣量I總.

由于(2)式是一個線性關(guān)系式，因而，為了得到待測物的轉(zhuǎn)動慣量，只需要在I總的基礎(chǔ)上減去轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量I空，就可以得到待測物的轉(zhuǎn)動慣量.

2 實驗數(shù)據(jù)處理

2.1 實驗數(shù)據(jù)

實驗中分別考慮3種情況，(1)空載；(2)在載物臺上加上一個圓環(huán)；(3)在載物臺上加上一個不規(guī)則的待測物體.空載是為了計算轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量I空；加圓環(huán)時，可以通過理論計算得到圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，并與實驗結(jié)果進行比較，以驗證轉(zhuǎn)動慣量的正確性；對于情況(3)，則是為了測量任意待測物體的轉(zhuǎn)動慣量.實驗過程中的測量結(jié)果由表1及原始數(shù)據(jù)記錄給出.

表1 砝碼下落過程的時間測量

測量結(jié)果都進行了多次測量，計算中舍棄了高度異常值，在此不將測量結(jié)果一一列出，且僅給出最后計算出來的平均值.

原始數(shù)據(jù)記錄：規(guī)則物體(圓環(huán))的內(nèi)徑D內(nèi),17.56 cm;外徑D外,19.74 cm;質(zhì)量m,482.66 g;繞線轉(zhuǎn)軸的直徑d,5.02 cm;參考面離地面的高度及砝碼的下落距離h,147.50 cm.

2.2 轉(zhuǎn)動慣量測定

利用空載，加圓環(huán)和加不規(guī)則物體時的實驗數(shù)據(jù)，分別計算得到一組M拉-α數(shù)據(jù)，見表2.運用最小二乘法，可以得到轉(zhuǎn)動慣量I和阻力矩M阻，事實上M阻是可以直接由最小二乘法的結(jié)果得到，這也是實驗中不計算或測量滑輪的轉(zhuǎn)動慣量、阻力和阻力矩的原因.

表2 拉力矩和角加速度的計算結(jié)果

圖2給出了空載時實驗數(shù)據(jù)的最小二乘擬合結(jié)果，黑色正方形為實驗數(shù)據(jù)，直線為擬合結(jié)果，直線的斜率就是空載的轉(zhuǎn)動慣量I空，截距則表示阻力矩M阻.由圖2的擬合結(jié)果可知：I空=0.001 70±0.000 03=(1.70±0.03)×10-3kg·m2，M阻=(1.2±0.3)×10-3N·m.

圖3表示加規(guī)則物體(圓環(huán))時實驗數(shù)據(jù)的最小二乘擬合結(jié)果，與圖2一樣，黑色正方形為實驗數(shù)據(jù)，直線為擬合結(jié)果，直線的斜率是載物臺和圓環(huán)的總轉(zhuǎn)動慣量I總，截距則表示阻力矩M阻.

圖2 空載時的M拉-α直線擬合結(jié)果 圖3 加圓環(huán)時的M拉-α直線擬合結(jié)果

由圖3的結(jié)果可知：I總=0.005 97±0.000 13=(5.97±0.13)×10-3kg·m2，M阻=(1.94±0.28)×10-3M·m.結(jié)合圖2的結(jié)果可得圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為：

I環(huán)=I總-I空=(4.27±0.16)×10-3kg·m2.

(6)

為了驗證實驗結(jié)果的正確性，在此，根據(jù)理論力學的方法計算圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量I圓，根據(jù)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量計算公式：

(7)

由于圓環(huán)的內(nèi)徑和外徑由游標卡尺測量結(jié)果，計算中會導致誤差的傳遞，圓環(huán)內(nèi)徑的測量誤差為：

(8)

其中，uA(D內(nèi))表示內(nèi)徑測量的A類分量，簡單計算就可得到uA(D內(nèi))≈1.38×10-4m，內(nèi)徑不確定度的B類分量uB(D內(nèi))≈5.77×10-4m.同樣的方法可以得到圓環(huán)外徑的測量不確定度為：

(9)

圖4 加不規(guī)則物體時的M拉-α直線擬合結(jié)果

其中：uA(D外)≈1.70×10-4m，uB(D外)≈5.77×10-4m，利用(7)(8)式，根據(jù)誤差理論計算得到圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的不確定度為：

0.02×10-3kg·m2，

(10)

于是，計算得出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為：

I圓=(4.21±0.02)×10-3kg·m2.

(11)

比較式(6)和式(11)兩種轉(zhuǎn)動慣量的測量結(jié)果，可知在測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量時，本文所采用的實驗方法所測得的轉(zhuǎn)動慣量比測量圓環(huán)的內(nèi)外徑后進行計算得到的轉(zhuǎn)動慣量還要精確.

圖4給出了不規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量實驗數(shù)據(jù)的最小二乘擬合結(jié)果，與圖2一樣，黑色正方形為實驗數(shù)據(jù)，直線為擬合結(jié)果，直線的斜率是載物臺和圓環(huán)的總轉(zhuǎn)動慣量I總，截距則表示阻力矩M阻，由圖3的擬合結(jié)果可知：I總=(2.13±0.07)×10-3kg·m2，相應(yīng)的阻力矩則為：M阻=(1.52±0.44)×10-3N·m.結(jié)合圖2的結(jié)果可得待測物的轉(zhuǎn)動慣量為：I=I總-I空=(0.43±0.10)×10-3kg·m2.

2.3 阻力矩與轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系

圖5 轉(zhuǎn)動慣量I總和阻力矩M阻之間的函數(shù)關(guān)系

圖5由表3的數(shù)據(jù)得到，由圖5可知，總的轉(zhuǎn)動慣量越大，則對應(yīng)的阻力矩越大，相應(yīng)轉(zhuǎn)動慣量的測量誤差也大，這表明轉(zhuǎn)動慣量較大的物體轉(zhuǎn)動時，由于轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的摩擦力也越大，這些摩擦力就是產(chǎn)生阻力矩的原因.但阻力矩的誤差則可能與待測物的形狀及轉(zhuǎn)動軸相對待測物體的位置有關(guān)，對于規(guī)則物體，轉(zhuǎn)軸在其質(zhì)心，此時，連接載物臺與底座的轉(zhuǎn)軸所受的壓力是均勻的，因而，此時產(chǎn)生的阻力矩不大.如果待測物體不規(guī)則，且轉(zhuǎn)動軸不經(jīng)過待測物的質(zhì)心，此時，連接載物臺與底座的轉(zhuǎn)軸所受的力就不均勻，這個不均勻的受力可能使得相對轉(zhuǎn)動軸有一個額外的力矩，這個力矩就是一個阻力矩，因而測量不規(guī)則物體的時候反而會出現(xiàn)較大的阻力矩.

3 結(jié)論及討論

本文在傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量實驗儀器的基礎(chǔ)上對實驗裝置進行了改進，增加了砝碼下落的高度.改進后的實驗結(jié)果表明，采用本裝置測量規(guī)則物體(圓環(huán))的轉(zhuǎn)動慣量，其測量精度高于采用游標卡尺測量圓環(huán)內(nèi)外徑后的計算結(jié)果.本實驗裝置不僅可以測量規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量，也能測量不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量.測量中，總的轉(zhuǎn)動慣量越大時對應(yīng)較大的阻力矩，相應(yīng)轉(zhuǎn)動慣量的絕對誤差也變大，其相對誤差不發(fā)生明顯變化.這樣的實驗結(jié)果表明，轉(zhuǎn)動慣量較大的物體轉(zhuǎn)動時，由于轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的摩擦力也越大，這些摩擦力就是產(chǎn)生阻力矩的原因.但阻力矩的誤差則可能與待測物的形狀及其與轉(zhuǎn)動軸相對待測物體的位置有關(guān)，對于規(guī)則物體且轉(zhuǎn)軸在其質(zhì)心時，連接載物臺與底座的轉(zhuǎn)軸所受的壓力是均勻的，因而產(chǎn)生的阻力矩不大.如果待測物體不規(guī)則，且轉(zhuǎn)動軸不經(jīng)過待測物的質(zhì)心，那么連接載物臺與底座的轉(zhuǎn)軸所受的力就不均勻，這個不均勻的受力可能使得相對轉(zhuǎn)動軸有一個額外的力矩，因而測量不規(guī)則物體的時候反而會出現(xiàn)較大的阻力矩.

為使測量更為精確，還可以對實驗裝置做進一步改進.由實驗結(jié)果可以看出，阻力矩的大小對于實驗精度的影響較小，降低實驗精度的原因在于測量過程中連接載物臺和底座的轉(zhuǎn)軸受力不均勻.為了解決這一問題，可以在轉(zhuǎn)軸與底座之間用滾珠軸承加以連接，在載物臺和底座之間也加上有支撐作用的滾珠軸承.這樣的實驗改進會增加阻力矩，但是能保證阻力矩沿轉(zhuǎn)動軸均勻分布，實驗中只需要增加砝碼的質(zhì)量來提高拉力矩就能夠順利完成實驗.