葉增林，陳 華，吳 昊

(馬鞍山學(xué)院 人工智能創(chuàng)新學(xué)院，安徽 馬鞍山 243100)

加減速控制算法是機(jī)器人控制系統(tǒng)插補(bǔ)器的重要組成部分，也是運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)之一。合理的加減速控制算法在實(shí)際的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中可提高機(jī)器人運(yùn)行效率，減少機(jī)器人本體的振動(dòng)和沖擊。目前在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中，梯形速度規(guī)劃算法和S型速度規(guī)劃算法較為常用。梯形速度的規(guī)劃方式由于加速度的不連續(xù)變化會(huì)引起機(jī)構(gòu)的振動(dòng)和沖擊[1-2]。S型速度規(guī)劃算法因其速度曲線類似字母“S”的形狀而得名，其加速度曲線規(guī)律為梯形，在機(jī)器人和高精度的數(shù)控加工系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用[3]。在運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中一般采用加速度連續(xù)變化的位移曲線，而S型速度曲線光滑，加速度曲線連續(xù)，能有效減少?zèng)_擊和振動(dòng)，非常適用于高速高精的運(yùn)動(dòng)控制場(chǎng)合[4-7]。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)S型速度曲線進(jìn)行了詳細(xì)的研究[8-11]。Jahanpour等[12]研究了一種基于S型速度曲線的規(guī)劃算法，但是該算法未考慮固定路徑約束會(huì)對(duì)規(guī)劃的速度參數(shù)產(chǎn)生一定影響。段曉斌等[13]提出了一種基于Gutman運(yùn)動(dòng)規(guī)律的修正梯形速度曲線機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法，解決了普通S型速度規(guī)劃中加加速度不連續(xù)的問題，但是該方法計(jì)算量較大，增加了控制器的計(jì)算負(fù)擔(dān)，并且沒有考慮給定最大速度對(duì)規(guī)劃的影響。

本研究根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃對(duì)加減速曲線的基本要求，提出了一種具有速度與加速度約束且?guī)в行拚禂?shù)的梯形加速度規(guī)律規(guī)劃算法，對(duì)于給定的速度與加速度約束，基于時(shí)間判別法將該段規(guī)劃劃分為對(duì)應(yīng)的加速度規(guī)律類型，從而來(lái)調(diào)整速度與加速度之間的適配關(guān)系。將算法編成軟件并采用8組給定的約束參數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本算法的合理性與有效性。

1 修正梯形加速度規(guī)律的加減速曲線

1.1 修正梯形加減速曲線構(gòu)造

在常用的七段式加速度規(guī)律的基礎(chǔ)上加入修正系數(shù)n，加速度規(guī)律由加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段構(gòu)成，圖1為加減速全過程中的位移、速度及加速度曲線。

圖1 修正梯形加減速曲線Fig.1 Modified trapezoidal acceleration and deceleration curve

圖1中，0～t7為整個(gè)加減速規(guī)劃的周期，時(shí)間記為T。0～t1表示分段時(shí)刻，為加加速階段，時(shí)間記為nT,其中n為梯形加速度的修正系數(shù)；t1～t2為勻加速階段，時(shí)間記為T0；t3～t4為勻速階段，時(shí)間記為T1。通過推導(dǎo)可以得到修正梯形加減速全過程的加速度A、速度V及位移S的公式，分別如式(1)、(2)、(3)所示：

(1)

(2)

(3)

式中：T=4nT+2T0+T1；Amax為給定的最大加速度。

1.2 修正梯形加速度規(guī)律的特性分析

由圖1和式(1)～(3)可知：該七段式加速度規(guī)律由加速、勻速和減速3部分組成；加速部分的加加速和減加速的加速度圖形是對(duì)稱分布的，即t1=t3-t2=nT，勻加速部分的時(shí)間t2-t1=T0；勻速部分的時(shí)間t4-t3=T1;減速部分與加速部分的圖形是關(guān)于t3和t4的中點(diǎn)對(duì)稱的，即t5-t4=t7-t6=nT，t6-t5=T0。

從圖1中可以看出，該加減速規(guī)律中的加速度曲線連續(xù)，速度曲線平滑過渡，三階公式計(jì)算量較小，是一種良好的運(yùn)動(dòng)控制規(guī)劃規(guī)律，并且該規(guī)劃規(guī)律中引入了修正系數(shù)n，在實(shí)際的動(dòng)態(tài)規(guī)劃中可根據(jù)給定的位移和規(guī)劃總時(shí)間及時(shí)調(diào)整規(guī)劃的加減速段時(shí)間，從而減少機(jī)構(gòu)的振動(dòng)與沖擊。但在實(shí)際的規(guī)劃應(yīng)用中，由于給定的位移、最大速度和最大加速度的不確定性，會(huì)導(dǎo)致規(guī)劃規(guī)律中沒有圖1中的勻加速或勻速段等情況。

接下來(lái)將提出一種基于時(shí)間判別法的梯形加速度規(guī)劃算法，該算法可根據(jù)給定的參數(shù)來(lái)劃分規(guī)劃類型并自動(dòng)適配加速度與速度參數(shù)，并可針對(duì)小位移、大加速度的約束參數(shù)調(diào)整修正系數(shù)，并對(duì)最大速度和最大加速度進(jìn)行約束，從而達(dá)到良好的控制效果。

2 基于時(shí)間判別法的梯形加速度規(guī)劃

首先將給定的位移、最大速度和最大加速度參數(shù)代入式(4)，計(jì)算對(duì)于該段位移的規(guī)劃總時(shí)間T：

(4)

由于后續(xù)規(guī)劃采用等時(shí)插補(bǔ)的方式，所以為保證插補(bǔ)的完整性，在此需要對(duì)計(jì)算出的規(guī)劃總時(shí)間T進(jìn)行處理后代入式(5)，計(jì)算得到新的T：

(5)

式中：Δt為后續(xù)等時(shí)插補(bǔ)的時(shí)間間隔；ceil為向上取整函數(shù)。采用該方法處理可保證后續(xù)等時(shí)插補(bǔ)的完整性，即保證位移的精度。由于對(duì)總時(shí)間T做出了微小的調(diào)整，所以在此將T作為已知參數(shù)代入式(6)，計(jì)算新的最大加速度參數(shù)：

(6)

將新的加速度與時(shí)間參數(shù)代入式(7)，即可求得勻加速段時(shí)間T0和勻速段時(shí)間T1：

(7)

以上所有計(jì)算都是在假定規(guī)劃規(guī)律為七段式梯形加速度規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但由于給定參數(shù)的不確定性，如果將所有路徑一律按照七段式梯形加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃，那么在某些給定參數(shù)的情況下將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)而無(wú)法進(jìn)行規(guī)劃。因此，對(duì)上述基于七段式梯形加速度規(guī)律計(jì)算得到的T0和T1進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果將不同的給定參數(shù)按照相對(duì)的梯形加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃。

圖2 六段式加速度規(guī)律Fig.2 Six-segment acceleration law

類型一：七段式加速度規(guī)律。若T0>0、T1>0，則在給定的距離S范圍內(nèi)可以達(dá)到最大加速度Amax和最大速度Vmax，采用七段式加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃，即如圖1中所示規(guī)律和采用上述公式進(jìn)行計(jì)算。

類型二：六段式加速度規(guī)律。若T0>0、T1<0，則表明在給定的距離S范圍內(nèi)以當(dāng)前的最大加速度Amax無(wú)法達(dá)到以最大速度Vmax進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)。在此，令T1=0，采用六段式加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃，加減速曲線規(guī)律如圖2所示。將給定的Amax代入式(8)中進(jìn)行計(jì)算，得到新的時(shí)間T和新的速度Vnew參數(shù)：

(8)

類型三：五段式加速度規(guī)律。若T0<0、T1>0，則表明在給定的距離S范圍內(nèi)無(wú)法達(dá)到最大加速度Amax進(jìn)行勻加速運(yùn)動(dòng)，但可達(dá)到給定的最大速度Vmax勻速運(yùn)行。在此令T0=0，采用五段式加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃，加減速曲線規(guī)律如圖3所示。將給定的Vmax代入式(9)中進(jìn)行計(jì)算，得到新的時(shí)間T和加速度Anew參數(shù)：

圖3 五段式加速度規(guī)律Fig.3 Five-segment acceleration law

(9)

分析式(7)可得，不可能出現(xiàn)T0<0和T1<0的情況，所以對(duì)于規(guī)劃的分類主要有以上3種。但對(duì)于機(jī)器人實(shí)際運(yùn)行情況中給定較小的位移和較大的加速度參數(shù)來(lái)說(shuō)，將會(huì)出現(xiàn)如下兩種情況：(1)由于給定的最大速度參數(shù)較小，在給定的較小位移S內(nèi)能以最大加速度參數(shù)加速到最大速度，隨后保持最大速度勻速運(yùn)行一段時(shí)間，屬于類型三。但由于位移小、加速度較大，會(huì)在很短時(shí)間內(nèi)加速到最大速度，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的過沖與振動(dòng)。(2)由于給定的最大速度參數(shù)較大，在給定的較小位移S內(nèi)無(wú)法以最大加速度參數(shù)加速到最大速度，但仍以給定的最大加速度參數(shù)加速到一個(gè)新的最大速度，屬于類型二。同樣，在較小位移時(shí)采用較大的加速度參數(shù)會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的過沖。

因此，在針對(duì)此種情況進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，若給定的總位移小于加加速段和減加速段產(chǎn)生的位移的2倍，即S<2S1，則采用四段式加速度規(guī)律，此時(shí)T0=0、T1=0、n=0.25，加減速曲線規(guī)律如圖4所示。

圖4 四段式加速度規(guī)律Fig.4 Four-segment acceleration law

將給定的Amax和Vmax代入式(10)中進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)時(shí)間參數(shù)調(diào)整加速度與速度參數(shù)，從而得到新的速度Vmax和加速度Anew：

(10)

圖5 時(shí)間判別法規(guī)劃流程Fig.5 Flow chart of time discriminant planning

綜上所述，針對(duì)給定的位移S、最大速度Vmax和最大加速度Amax約束參數(shù)，利用常用的七段式加速度規(guī)律規(guī)劃進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)計(jì)算得到的勻加速段時(shí)間T0和勻速段時(shí)間T1，判別不同的給定約束參數(shù)適用于哪種加速度規(guī)律，并對(duì)速度和加速度參數(shù)進(jìn)行適配。另外，針對(duì)位移較小和加速度較大的情況，利用位移進(jìn)行判別，若符合類型四的規(guī)劃規(guī)律，則對(duì)規(guī)劃總時(shí)間進(jìn)行調(diào)整并對(duì)加速度和速度根據(jù)時(shí)間和位移進(jìn)行適配，從而獲得較好的規(guī)劃曲線。規(guī)劃流程如圖5所示。

3 規(guī)劃仿真

采用軟件編制程序，對(duì)該規(guī)劃算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真中采用的參數(shù)設(shè)定如表1所示，得到的結(jié)果如圖6所示。將圖1和圖6對(duì)比可知，圖1中為普通七段式加速度規(guī)律曲線，而在圖6的仿真曲線中可以看出，本算法對(duì)于給定的位移、速度與加速度參數(shù)，可自動(dòng)判別且選擇類型進(jìn)行規(guī)劃，并對(duì)給定的速度和加速度進(jìn)行適配處理，構(gòu)成了良好的運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線；對(duì)于給定的位移較小和加速度較大的情況，該算法可自動(dòng)選擇四段式加速度規(guī)律進(jìn)行規(guī)劃，并對(duì)給定的較大加速度進(jìn)行約束處理，從而有效避免了機(jī)構(gòu)的沖擊振動(dòng)。例如圖6中的(g)和(h)，針對(duì)位移較小、加速度大和速度較大的情況，算法自動(dòng)進(jìn)行四段式規(guī)劃，從而適當(dāng)增加了加減速時(shí)間，有效地緩解了加減速?zèng)_擊。

表1 修正梯形加速度仿真驗(yàn)證參數(shù)Tab.1 Modified trapezoidal acceleration simulation verification parameters

圖6 速度和加速度約束的修正梯形規(guī)律仿真驗(yàn)證Fig.6 Simulation verification diagram of the modified trapezoidal law of velocity and acceleration constraints

4 結(jié)論

(1)基于位移、最大速度和最大加速度約束提出了一種帶有速度和加速度約束的修正梯形加速度規(guī)律規(guī)劃算法，通過時(shí)間判別法對(duì)給定的約束參數(shù)自動(dòng)選擇規(guī)劃類型，并對(duì)速度和加速度自動(dòng)適配。針對(duì)位移小、加速度大的約束，自動(dòng)調(diào)整修正系數(shù)，并對(duì)速度和加速度進(jìn)行約束處理，有效減少了沖擊與振動(dòng)。(2)仿真結(jié)果表明該算法能夠讓給定的最大速度和加速度參數(shù)在規(guī)劃中起到約束作用，并根據(jù)不同的給定參數(shù)自動(dòng)選擇規(guī)劃類型并對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整適配。另外，該算法計(jì)算量較小，可提高運(yùn)動(dòng)插補(bǔ)器的實(shí)時(shí)性，具有簡(jiǎn)單、高效的特點(diǎn)。