劉德宇，郭勤濤，陶言和，王秀剛

(南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016)

橡膠減振器具有形狀自由度大、減振性能良好、成本相對低廉等優(yōu)勢，被廣泛應用于軌道列車的減振系統(tǒng)中，連接地板與車體的橡膠減振塊對列車的運行平穩(wěn)性與乘員的舒適性起著重要作用。橡膠是一種典型的超彈性材料，硫化體系復雜，并且硫化過程中溫度、壓力和時間對制品質量影響較大[1-2]。在材料和加工工藝相近的情況下，橡膠結構的剛度和阻尼存在較大的不確定性，因此對減振系統(tǒng)中橡膠減振元件的不確定性進行量化，有利于提高仿真計算的準確性。黃建龍等[3]使用Mooney-Rivlin模型對橡膠材料進行仿真分析，介紹了獲取模型材料參數(shù)的實驗方法。劉萌等[4]僅使用單軸拉伸實驗識別模型參數(shù)，證明了在某些工況下簡化材料實驗種類的可行性。潘孝勇[5]介紹了橡膠材料動態(tài)特性實驗的方法，總結了橡膠元件動態(tài)特性參數(shù)的確定公式。郭勤濤等[6]對有限元模型確認方法進行了研究，介紹了模型確認的總體思路與實現(xiàn)方法。

本文選用Mooney-Rivlin超彈性模型表征橡膠材料的彈性特性，用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性，對材料進行單軸拉伸實驗與簡單剪切實驗，通過公式計算與擬合應力-應變關系曲線獲取模型參數(shù)，并對模型參數(shù)及其仿真響應進行不確定性量化分析。

1 橡膠材料的本構模型

1.1 橡膠材料的超彈性理論模型

橡膠是一種超彈性材料，常使用應變能密度函數(shù)表征其力學特性。實際應用中常使用Mooney-Rivlin模型描述橡膠的應變能密度函數(shù)，該模型基于唯象理論，使用張量不變量作為應變能密度函數(shù)的自變量，在小應變范圍內(nèi)擬合效果良好，同時模型方程簡單，參數(shù)獲取方便，因此被廣泛應用于橡膠件的工程分析中。二參數(shù)Mooney-Rivlin模型應變能密度函數(shù)為：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(1)

式中：W為應變能密度；C10與C01均為Rivlin系數(shù)；Ii(i=1,2,3)為第i階Green應變不變量。

橡膠材料的不同應力-應變狀態(tài)可由單軸拉伸、單軸壓縮以及純剪切實驗表示，考慮到實際實驗過程中的難易程度與精度，常用等雙軸拉伸與平面拉伸實驗代替單軸壓縮與純剪切實驗。由于橡膠材料的不可壓縮性，可以認為I3=λ1λ2λ3=1，其中λj(j=1,2,3)為3個方向的主伸長率。不同變形狀態(tài)時的工程應力σ與對應的主伸長率的關系為[7]：

單軸拉伸

(2)

等雙軸

(3)

平面剪切

(4)

式中：λU,λB,λP分別為不同變形狀態(tài)下的主伸長率。

變形張量不變量與實驗中主伸長率的關系為[7]：

單軸拉伸

(5)

等雙軸

(6)

平面剪切

(7)

將式(1)和式(5)(式(6)、(7))代入式(2)(式(3)、(4))，便可計算得到材料在不同變形狀態(tài)時的工程應力。考慮到橡膠結構件的實際工況及實驗室條件，本文僅使用單軸拉伸實驗識別橡膠材料參數(shù)。

1.2 橡膠材料的頻域黏彈性理論模型

橡膠隔振器的動態(tài)特性與激振頻率的高低及振幅大小有關，小振幅工況下可以忽略振幅變化對橡膠動態(tài)特性的影響，只考慮由橡膠材料黏彈性確定的頻率相關性。本文使用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性。

對橡膠材料進行動態(tài)簡單剪切實驗時，試件受到的諧波剪切應變激勵κ(t)為[8]：

κ(t)=κ0eiωt

(8)

τ(t)=G*(ω)κ0eiωt=[Gs(ω)+

iG1(ω)]κ0eiωt

(9)

式中：Gs(ω),G1(ω)分別為剪切模量G*(ω)的實部和虛部，定義為剪切存儲模量和剪切損失模量[5]。

剪切松弛函數(shù)g(t)定義為[8]：

(10)

式中：GR(t)為與時間相關的剪切松弛模量；G∞為準靜態(tài)剪切模量，可通過試樣的靜力加載實驗分析獲得。

Gs(ω)和G1(ω)可表示為：

Gs(ω)=G∞[1-ωIm(g*)]

(11)

G1(ω)=G∞ωRe(g*)

(12)

式中：g*為g*(ω)的簡寫，g*(ω)為g(t)的傅里葉變換；Re(g*)和Im(g*)分別為g*(ω)的實部和虛部。

剪切應力的幅值|τ|和相位角δ可分別表示為：

(13)

(14)

1.3 模型精度的確認準則

模型的精度與適用范圍通過確認準則判斷，考慮不確定性因素時，使用重合度準則判定不同響應分布的一致程度[6]：

J(P)=PDFtest∩PDF

(15)

式中：PDF和PDFtest分別為仿真計算和實驗響應特征的概率密度分布；J(P)的值為兩個響應概率密度分布的重合面積。該準則可以比較全面地判定仿真計算與實驗結果是否保持一致，當兩個結果的概率密度函數(shù)曲線完全重合時，J(P)的值為1，表示仿真的響應特征完全可以取代實驗數(shù)據(jù)體現(xiàn)的結構特性。

2 本構模型的參數(shù)確定及量化

2.1 單軸拉伸實驗及參數(shù)識別

根據(jù)1所述的本構模型參數(shù)獲得方法，采用單軸拉伸實驗[9]對橡膠材料進行應力-應變測試，選用標準GB/T 528—2009中的1A型啞鈴狀試樣，應變水平選擇與實際工況相近的0.5。單軸拉伸試樣如圖1所示。

圖1 單軸拉伸試樣

橡膠材料的非線性特性使其在材料參數(shù)識別過程中存在較大的不確定性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計技術為不確定性量化分析提供了統(tǒng)計及檢驗方法。實際工程中通常使用正態(tài)分布對隨機變化的不確定性參數(shù)進行分布估計與檢驗，本文通過正態(tài)分布方法對橡膠參數(shù)進行不確定性量化分析。單軸拉伸實驗過程中，為了量化材料本身差異與實驗操作中所帶來的不確定性，分別對11件試樣進行了拉伸實驗，考慮到Mullins效應的影響，正式拉伸實驗前對試樣循環(huán)加載5次，以消除Mullins效應。將試樣對稱地夾在拉力實驗機的上下夾持器上，使拉力均勻地分布在試樣的橫截面上。啟動拉力實驗機，在整個實驗過程中連續(xù)監(jiān)測試樣長度和受力變化，如果試樣在其狹窄部位以外的地方斷裂則舍棄該實驗結果，并另取試樣重新進行實驗。實驗獲得的11件試樣的應力-應變關系如圖2所示，使用最小二乘法擬合關系曲線可獲得模型參數(shù)C10和C01。

圖2 單軸拉伸應力-應變關系

對單軸拉伸實驗所獲得的參數(shù)進行正太分布擬合，得到Mooney-Rivlin本構模型參數(shù)C10服從N(0.589 8,0.042 72)，C01服從N(0.258 2,0.061 32)。

2.2 簡單剪切實驗及參數(shù)識別

通過動態(tài)簡單剪切實驗獲得橡膠材料的頻域黏彈性材料模型參數(shù)，簡單剪切試樣及實驗臺如圖3所示，該實驗臺可以測量不同頻率下激振力與剪切變形的大小。

降低激振頻率進行準靜態(tài)簡單剪切實驗，由準靜態(tài)簡單剪切實驗可測得剪切力Fs0與試樣位移xs0，從而得到剪切應力τs0為：

(16)

式中：2A為橡膠試件的剪切面積。

剪切應變κs0為：

圖3 簡單剪切實驗臺

(17)

式中：t0為橡膠試件的厚度。

準靜態(tài)剪切模量G∞為：

(18)

式中：Δτs0,Δκs0為準靜態(tài)剪切應力與準靜態(tài)剪切應變。

由動態(tài)簡單剪切實驗可以測得試樣隨頻率變化的存儲剛度Ks、損失剛度Kl和阻尼角，存儲力Fs(ω)和損失力Fl(ω)分別為：

Fs(ω)=Ks(ω)x0(ω)

(19)

Fl(ω)=Kl(ω)x0(ω)

(20)

式中：x0(ω)為不同頻率下的響應位移振幅。

與存儲力Fs(ω)和損失力Fl(ω)對應的剪切應力τs(ω)和τl(ω)分別為：

(21)

(22)

剪切應變κ(ω)為：

(23)

剪切存儲模量Gs(ω)和剪切損失模量Gl(ω)為：

(24)

(25)

表示橡膠材料黏彈性的參數(shù)ωRe(g*)和ωIm(g*)分別為：

(26)

(27)

用以上計算公式處理實驗數(shù)據(jù)，得到剪切試樣的ωRe(g*)和ωIm(g*)隨激振頻率變化的曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，|ωRe(g*)|和|ωIm(g*)|隨激振頻率的增加而增加，并且|ωIm(g*)|的增幅更明顯。

圖4 ωRe(g*)和ωIm(g*)頻變曲線

對激振頻率為20 Hz時的6組橡膠試樣進行動態(tài)剪切實驗，得到該頻率下的黏彈性參數(shù)，對參數(shù)進行正態(tài)分布擬合，得到ωRe(g*)服從N(0.204 2,0.001 42)，ωIm(g*)服從N(-0.385 8,0.000 392)。

3 橡膠減振系統(tǒng)的響應預測

3.1 減振系統(tǒng)的響應驗證

某橡膠減振系統(tǒng)的有限元模型如圖5所示，含有7 128個六面體單元，橡膠單元材料屬性為超彈性與黏彈性疊加，約束面為橡膠塊底面，加載處為鋼板中心位置，在加載點施加掃頻集中力。雖然橡膠元件尺寸及形狀與實際工程中列車的減振塊不同，但為減振塊的分析提供了方法。使用激振器、力傳感器及加速度傳感器搭建動力掃頻實驗臺，實驗中在加載點施加掃頻集中力，測量加載力信號與鋼板加速度信號，對信號進行頻域變換后與模型的仿真計算結果進行比較，如圖6所示。

圖5 減振系統(tǒng)有限元模型

圖6 頻響曲線對比

為了對減振系統(tǒng)模型的響應進行預測，在激振頻率為20 Hz時進行多組實驗，記錄鋼板加速度信號。對實驗值進行擬合，實驗得到的加速度響應服從Ae～N(0.269 3,0.028 22)。

3.2 基于重合度準則的量化

對減振系統(tǒng)模型進行20 Hz激勵下的響應計算，使用蒙特卡羅法隨機抽取材料黏彈性參數(shù)，計算20組加載后的減振系統(tǒng)模型加速度響應，對結果進行正態(tài)分布擬合，模型響應峰值服從As～N(0.256 2,0.002 12)。

模型預測響應峰值概率密度分布與3.1節(jié)實驗測得加速度峰值分布的比較結果如圖7所示，超彈性-黏彈性模型與實驗值的重合度為76.08%。根據(jù)重合度準則，可判斷使用超彈性-黏彈性模型對減振系統(tǒng)響應預測進行的量化是合理的。

圖7 預測與實驗的概率密度分布

4 結束語

本文對橡膠減振器試樣進行了實驗，識別其超彈性模型與黏彈性模型材料參數(shù)，驗證了小振幅激勵下橡膠元件超彈性-黏彈性疊加模型的有效性。將模型確認技術引入非線性材料的建模中，考慮材料參數(shù)識別過程的不確定性因素，驗證了重合度準則的有效性，得到了具有一定置信度的減振器模型。所涉及的理論與方法具有深入研究的必要，對后續(xù)研究工作的建議如下：1)超彈性模型參數(shù)識別可增加等雙軸拉伸實驗與平面拉伸實驗，提高所得參數(shù)的精度；2)橡膠材料建模忽略了材料的幅變特性，所得模型不適用于大變形工況，若需研究橡膠材料的幅變特性，有必要在本模型基礎上增加彈塑性模型；3)本文所有實驗均在室溫進行，未考慮橡膠材料的溫變特性，后續(xù)的相關研究可考慮這一因素的影響。