郭建國(guó)，魯寧波，周軍

西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072

高超聲速飛行器由于有諸多優(yōu)點(diǎn)，備受世界各國(guó)重視，同時(shí)也具有諸多的研究難點(diǎn)，其中之一是飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，原因在于其飛行環(huán)境復(fù)雜，以及數(shù)學(xué)模型存在非線性、強(qiáng)耦合、快時(shí)變、強(qiáng)不確定性等特點(diǎn)[1-2]。

對(duì)于高超聲速飛行器而言，為了實(shí)現(xiàn)大范圍機(jī)動(dòng)通常采用傾側(cè)轉(zhuǎn)彎的控制策略，在這一過程中，由于彈體的快速滾轉(zhuǎn)會(huì)使得俯仰和偏航通道出現(xiàn)強(qiáng)烈的耦合，同時(shí)，角速度子系統(tǒng)和角度子系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的耦合，這些耦合很容易造成高超聲速飛行器不穩(wěn)定而導(dǎo)致任務(wù)失敗。

另外，由于高超聲速飛行器的飛行空域特殊性以及舵的控制能力有限給高超聲速飛行器的飛行控制帶來了巨大的挑戰(zhàn)。

目前對(duì)耦合的處理有2種方法：解耦和不解耦。解耦最常用的方法是動(dòng)態(tài)逆[3]，其思想是首先對(duì)非線性耦合特性進(jìn)行準(zhǔn)確建模，之后采用動(dòng)態(tài)逆的方法設(shè)計(jì)控制器使得模型解耦，解耦后的模型采用變結(jié)構(gòu)控制[4-10]、μ綜合[11-12]、H∞控制[12]等方法設(shè)計(jì)控制器。

解耦方法的局限性有兩點(diǎn)：首先，高超聲速飛行器的飛行環(huán)境復(fù)雜，高度變化范圍大，這導(dǎo)致氣動(dòng)參數(shù)出現(xiàn)大范圍變化，同時(shí)存在諸多不確定因素，例如：風(fēng)干擾等，以及無法建模的動(dòng)態(tài)過程造成其數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況有一定的差距，無法得到精確的數(shù)學(xué)模型，另外，加之耦合具有快時(shí)變性。在這種情況下采用解耦的控制器設(shè)計(jì)方法，會(huì)使得高超聲速飛行器的控制性能受到很大影響。其次，由于耦合是快時(shí)變的，因此，無法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)解耦。

不解耦方法的核心思想是在控制器的設(shè)計(jì)中充分考慮耦合的影響，通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行補(bǔ)償。首先，將耦合系統(tǒng)表示成的關(guān)聯(lián)大系統(tǒng)形式，利用關(guān)聯(lián)大系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定理論及其Riccati方程設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)及變結(jié)構(gòu)控制[13]，該方法對(duì)于處理系統(tǒng)的耦合具有很好的效果，但是缺點(diǎn)是對(duì)舵的控制要求較高，要求控制器具有很強(qiáng)的控制能力。其次，為了兼顧控制性能和控制器的控制能力，控制領(lǐng)域?qū)＜覀冮_始注重于研究耦合評(píng)價(jià)問題[14-16]，早在1966年，就有學(xué)者開始研究多變量系統(tǒng)耦合測(cè)量問題[17]。首先在頻域范圍內(nèi)進(jìn)行耦合分析[18-20]，如印度學(xué)者Gigi和Tangirala[17]對(duì)耦合進(jìn)行了分析評(píng)價(jià)，并將其應(yīng)用到控制器設(shè)計(jì)，該方法對(duì)于耦合的處理提出了一種新的思想，但是其局限性在于僅在頻域范圍內(nèi)對(duì)耦合進(jìn)行評(píng)價(jià)，缺少時(shí)域的分析評(píng)價(jià)，對(duì)于時(shí)域范圍內(nèi)的控制器設(shè)計(jì)缺乏指導(dǎo)。

為了解決時(shí)域控制器設(shè)計(jì)問題，提出了基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的耦合評(píng)價(jià)方法，來設(shè)計(jì)控制器[21-22]。這一理論對(duì)于時(shí)域的控制器設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義，但是，還存在如下問題：

1) 基于耦合評(píng)價(jià)指標(biāo)切換引起的控制輸入抖振問題。

2) 系統(tǒng)對(duì)耦合效應(yīng)的自適應(yīng)問題。

3) 伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性問題。

針對(duì)以上前問題，采用模糊控制的方法，將耦合對(duì)系統(tǒng)的影響連續(xù)化處理，既解決了控制輸入引起抖振問題，又能保證系統(tǒng)對(duì)耦合特性的自適應(yīng)性。另外，考慮到工程實(shí)際中舵系統(tǒng)的效應(yīng)，因此這里將舵系統(tǒng)引入到控制模型中。

1 問題分析及描述

1.1 高超聲速飛行器數(shù)學(xué)模型

高超聲速飛行器動(dòng)力學(xué)模型為[22]

(1)

氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式為

(2)

式中：q=0.5ρV2為動(dòng)壓，ρ為大氣密度；S、L為飛行器的特征面積和特征長(zhǎng)度；CY、CZ為氣動(dòng)系數(shù)；mx、my和mz為氣動(dòng)力矩系數(shù)，實(shí)際飛行過程中，通過氣動(dòng)插值得到。

氣動(dòng)力系數(shù)與氣動(dòng)力矩系數(shù)關(guān)于飛行狀態(tài)的近似表達(dá)式為

(3)

(4)

式中:τ1、τ2和τ3為滾轉(zhuǎn)航系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。

綜合式(1)和式(4)，可得控制模型為

(5)

1.2 跟蹤問題描述

(6)

式中：x2c、x3c為虛擬控制量；B1e2、B2x1和B3e3為子系統(tǒng)間的耦合項(xiàng)，B1e2為角速度子系統(tǒng)對(duì)角度子系統(tǒng)的影響，B2x1、B3e3為角度子系統(tǒng)和舵系統(tǒng)對(duì)角速度子系統(tǒng)的影響。

假設(shè)1參考指令及其一階導(dǎo)數(shù)光滑、有界并且已知。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

高超聲速飛行器要求響應(yīng)具有快速性和對(duì)各種不確定性具有強(qiáng)魯棒性，并對(duì)耦合進(jìn)行“選擇性”的補(bǔ)償[20]，在此過程中，采取了模糊控制的思想，使得控制律更為平滑。

實(shí)際中，外部干擾難以獲取，因此采用了干擾觀測(cè)器對(duì)其估計(jì)，并在控制律中進(jìn)行補(bǔ)償，干擾觀測(cè)器具體形式為

(7)

對(duì)系統(tǒng)(6)采用基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的耦合評(píng)價(jià)方法，采用終端滑模設(shè)計(jì)控制律。

引理[5]采用如下滑模面

(8)

式中：a，b，c均為可調(diào)參數(shù)。當(dāng)l=2時(shí)，當(dāng)進(jìn)入滑模面后，從任意有限初始狀態(tài)x(0)出發(fā)的軌跡收斂到原點(diǎn)所需要的時(shí)間為

(9)

當(dāng)|x(0)|>1時(shí),

(10)

當(dāng)|x(0)|≤1時(shí),

(11)

式中：k為正整數(shù)；Θ(·)取最小正值。

選取滑模面為

(12)

(13)

因此，基于這個(gè)目的定義評(píng)價(jià)指標(biāo)：

式中：J(Θ12)=sgn(s1?B1e2)，Θ12表征第一通道受第二通道的影響。

采用指數(shù)趨近律

(14)

式中：k1、ε1為對(duì)角正定矩陣。

考慮e1子系統(tǒng)，得虛擬控制器

(15)

注1實(shí)際中，式(15)的導(dǎo)數(shù)難以獲取，故采用一階濾波器。

(16)

接下來證明角度子系統(tǒng)在式(15)的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

(17)

(18)

從式(18)中可以看出，如果判斷耦合有利于系統(tǒng)穩(wěn)定，則第1項(xiàng)會(huì)被保持，如果不利于系統(tǒng)穩(wěn)定，則第1項(xiàng)會(huì)被抵消，如果判斷J(Θ12)=0，則表明系統(tǒng)不存在耦合，故第1項(xiàng)不存在。第2項(xiàng)、第3項(xiàng)以及第4項(xiàng)均為負(fù)值，而最后一項(xiàng)，根據(jù)Young不等式，有以下不等式成立。

(19)

式中:σb為指令信號(hào)變化的邊界值，綜合以上分析，得到如下不等式:

(20)

(21)

從式(21)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間收斂到一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。其中，σb由一階濾波器引入，實(shí)際上降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

為了克服切換所引起的抖動(dòng)，引入模糊系統(tǒng)代替切換[9]，同時(shí)能保證控制輸入的平滑。令Θ1為模糊系統(tǒng)的輸入，UF為模糊系統(tǒng)的輸出，對(duì)UF和Θ1的規(guī)則集合作如下定義：

Θ1={NB, NM, Z, PM, PB}

UF={NBU, NMU, ZU, PMU, PBU}

式中: 耦合項(xiàng)Θ1為對(duì)系統(tǒng)的影響：NB為強(qiáng)度較大的不利耦合;NM為強(qiáng)度中等的不利耦合;Z為系統(tǒng)不存在耦合；PM為強(qiáng)度中等的有利耦合。PB強(qiáng)度較大的有利耦合。同樣，模糊系統(tǒng)的輸出UF與之對(duì)應(yīng)為：NU不利影響下的輸入，ZU為無影響下的輸入，PU是有利影響下的輸入，因此，以上的模糊規(guī)則總結(jié)如下：

Rule1: ifΘ1is NB, thenUFis NBU.

Rule2: ifΘ1is NM, thenUFis NMU.

Rule3: ifΘ1is Z, thenUFis ZU.

Rule4: ifΘ1is PM, thenUFis PMU.

Rule5: ifΘ1is PB, thenUFis PBU.

采用中心平均去模糊化的方法，設(shè)計(jì)控制律：

x2c=

(22)

式中：w11、w12、w13、w14、w15均為對(duì)角陣，取值為[0 1]，并且滿足:

w11+w12+w13+w14+w15=I

標(biāo)稱虛擬控制量為

(23)

虛擬控制器為

(24)

式(24)即為角度子系統(tǒng)的虛擬控制器。

下面證明系統(tǒng)在式(24)的作用下是穩(wěn)定的。

證明：選取Lyapunov函數(shù)如V1所示，區(qū)別起見，記為V′1，對(duì)其關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，可得

(25)

由于，r12是時(shí)變的，因此，式(25)做如下處理:

(26)

由于第1項(xiàng)始終為負(fù)，所以可得

(27)

因此，在控制律(24)的作用下，角度子系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)很小的鄰域。

tangle≤max{tα，tβ，tγv}

(28)

式中:tα、tβ和tγv為通過引理確定的最大值。

對(duì)于角速度子系統(tǒng)，選取滑模面為

(29)

(30)

綜上所述，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)，定義J(Θ21)和J(Θ23)為

式(31a)和式(31b)分別表示第二通道受到第一通道和第三通道的耦合影響，可得虛擬控制器為

(32)

以下證明角速度系統(tǒng)在式(32)作用下是穩(wěn)定的。

(33)

式中:T1為時(shí)間濾波常數(shù)。

(34)

(35)

從式(35)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間收斂到一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。其中，σ1同樣由一階濾波器引入，會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

采用模糊控制方法克服耦合控制中的抖動(dòng)問題，得到控制器為

(36)

(37)

下面證明角速度系統(tǒng)在式(37)作用下是穩(wěn)定的。

證明：選取Lyapunov函數(shù)如V2所示，區(qū)別起見，記為V′2，對(duì)其關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得

(38)

由于式(38)的前兩項(xiàng)始終為負(fù)，可得

(39)

因此，在控制律(36)的作用下，角速度子系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)很小的鄰域。

trate≤max{tωz,tωy,tωx}

(40)

式中：tωz、tωy和tωx為通過引理確定的最大值。

下面考慮舵系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)。由于舵系統(tǒng)不存在通道間的耦合，所以直接進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。選取滑模面為

(41)

采用指數(shù)趨近律，得到如下所示的控制器：

(42)

下面證明舵系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(43)

(44)

(45)

從式(45)可以看出，舵系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間收斂到一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。

tδ≤max{tδz,tδy,tδx}

(46)

式中：tδz、tδy、tδx為通過引理確定的最大值。

由此可得閉環(huán)系統(tǒng)收斂的時(shí)間為

tclose≤tangle+trate+tδ

(47)

注5為避免滑模控制設(shè)計(jì)中引入的符號(hào)項(xiàng)引起抖動(dòng)，采用邊界層方法進(jìn)行替換。

下面證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

證明：選取Lyapunov函數(shù)為

V=V1+V2+V3

(48)

對(duì)式(48)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)

(49)

根據(jù)Young不等式，

(50)

3 仿真分析

高超聲速飛行器的模型參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù)可參考文獻(xiàn)[21]，設(shè)置迎角指令為5°的方波信號(hào)，傾側(cè)角指令為-5°的方波信號(hào)。初始高度為27 km，初始速度為5Ma，下面分別從舵系統(tǒng)、控制方法的有效性以及氣動(dòng)拉偏3個(gè)方面對(duì)基于耦合的模糊控制(Coupling-based Fuzzy Control, CBFC)與基于耦合控制(Coupling-based Control, CBC)進(jìn)行對(duì)比分析。

控制器參數(shù)為

a11=0.1,a12=5,a13=3,b11=1,b12=7,b13=5,k11=0.5,k12=0.5,k13=0.5,ε11=0.5,ε12=0.5,ε13=0.5,a21=0.1,a22=5,a23=3,b21=1,b22=5,b23=5,k21=0.1,k22=0.5,k23=0.5,ε21=5,ε22=0.5,ε23=0.5,a31=0.1,a32=5,a33=3,b31=1,b32=5,b33=5,k31=0.1,k32=0.5,k33=0.5,ε31=0.5,ε32=0.5,ε33=0.5。

觀測(cè)器參數(shù)為

σ01=0.1,σ02=0.1,σ03=0.1,σ11=100,σ12=100,σ13=100。

3.1 引入舵系統(tǒng)仿真

考慮了一階環(huán)節(jié)舵系統(tǒng)的特性，時(shí)間常數(shù)為15 s-1。下面對(duì)這兩者進(jìn)行仿真分析。

首先給出了給出了考慮舵系統(tǒng)和不考慮舵系統(tǒng)的情形下采用CBFC控制器的對(duì)比情況。圖1 為迎角、側(cè)滑角以及傾側(cè)角的對(duì)比仿真，圖2為與之對(duì)應(yīng)的舵偏曲線。圖1 中考慮舵系統(tǒng)的CBFC控制器，從迎角、側(cè)滑角以及傾側(cè)角可以看出響應(yīng)曲線更加平滑，超調(diào)量更小，對(duì)于系統(tǒng)要求較低，主要原因是一階環(huán)節(jié)的延遲特性引起的。圖2中是與之對(duì)應(yīng)的舵偏角曲線，從中可以看出由于考慮了舵系統(tǒng)后，舵偏曲線變化程度有所減弱，舵偏曲線較CBFC控制器的舵偏曲線更加平滑，同樣響應(yīng)的速度有所減緩。

圖1 舵效特性下的姿態(tài)角曲線Fig.1 Curves of attitude angle under rudder effectiveness

圖2 舵效特性下的舵偏角曲線Fig.2 Curves of deflections under rudder effectiveness

總體而言，引入舵系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性后，可以使系統(tǒng)的響應(yīng)曲線以及舵偏的變化更加平滑，同時(shí)減少了超調(diào)量，考慮舵系統(tǒng)在仿真過程中更接近實(shí)際情況。

3.2 對(duì)比仿真

考慮對(duì)采用CBFC控制器和CBC的控制器進(jìn)行對(duì)比仿真。圖3分別為迎角跟蹤指令、傾側(cè)角跟蹤指令以及側(cè)滑角穩(wěn)定控制的仿真對(duì)比分析。

圖3為高超聲速飛行器的迎角、側(cè)滑角以及傾側(cè)角的響應(yīng)曲線，從圖3中的迎角響應(yīng)曲線中可以看出，在跟蹤方波信號(hào)時(shí)，采用CBFC控制器與CBC控制器相比，更平滑，沒有抖振，有效抑制了耦合評(píng)價(jià)過程中的抖振現(xiàn)象。同樣從側(cè)滑角和傾側(cè)角的響應(yīng)曲線可以看出，抖振明顯減小并且具有很快的收斂性，圖4為與之對(duì)應(yīng)的舵偏曲線，從圖4可以看出，舵偏曲線的抖振現(xiàn)象明顯降低。

圖3 攻角、側(cè)滑角和傾側(cè)角響應(yīng)曲線Fig.3 Curves of angle of attack, angle of sideslip and bank angle

圖4 俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)舵偏曲線Fig.4 Curves of pitch, yaw and roll deflections

因此本文提出的CBFC控制器在保證飛行器跟蹤性能的同時(shí)，有效降低了舵偏的抖振特性。

3.3 氣動(dòng)拉偏

為了驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性，首先對(duì)氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行拉偏，其中氣動(dòng)力系數(shù)拉偏正負(fù)30%，力矩系數(shù)拉偏正負(fù)30%。

圖5～圖7分別給出了俯仰、滾轉(zhuǎn)以及偏航通道在氣動(dòng)拉偏情況下的系統(tǒng)性能。從圖5可以看出，俯仰通道在氣動(dòng)參數(shù)拉偏的情況下，仍然能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)指令的穩(wěn)定跟蹤，并且具有較短的響應(yīng)時(shí)間，具有良好的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性。同樣從圖6、圖7也可以看出偏航和滾轉(zhuǎn)通道也具備良好的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性。

因此可以看出，CBFC控制器在氣動(dòng)拉偏的情況下，各通道均能實(shí)現(xiàn)對(duì)指令的精確跟蹤和穩(wěn)定控制，因此說明本文提出的CBFC控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖5 俯仰通道變化曲線Fig.5 curves of pitch channel

圖6 偏航通道變化曲線Fig.6 Curves of yaw channel

圖7 滾轉(zhuǎn)通道變化曲線Fig.7 Curves of roll channel

4 結(jié) 論

1) 本文提出的CBFC控制器解決了系統(tǒng)在對(duì)耦合適應(yīng)的過程中，由評(píng)價(jià)指標(biāo)切換引起的控制輸入抖振問題。

2) CBFC控制器使得系統(tǒng)對(duì)耦合效應(yīng)具有更好的自適應(yīng)能力，同時(shí)使得閉環(huán)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性。

3) 解決了工程設(shè)計(jì)中舵系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的問題，本文將一階舵系統(tǒng)引入到繞質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型中。通過仿真校驗(yàn)說明了本文提出的方法具有較好的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性。