（西華大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 611730）

1 問題重述

問題一：建立數(shù)學(xué)模型，選擇三個國家進行研究，評估它們出[1]現(xiàn)第二次高峰的風(fēng)險大小，并給出復(fù)工復(fù)產(chǎn)的政策性建議，以避免第二次高峰的出現(xiàn)；

問題二：建立合理的數(shù)學(xué)模型并討論哪些參數(shù)是最重要的，而這些參數(shù)如果不準確，會對防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響；

問題三：我國的無癥狀感染者的數(shù)量持續(xù)降低，但是并未清零，也有一些無癥狀感染者未被發(fā)現(xiàn)，請結(jié)合第一階段的模型，充分考慮我國的疫情現(xiàn)狀，評估重啟大型體育賽事（比如中超足球聯(lián)賽或者 CBA 籃球聯(lián)賽）的可能性，并給出分階段（無觀眾賽事、部分觀眾賽事、全部觀眾但要求戴口罩賽事、全面放開賽事）重啟的時間表；

問題四：為了能夠順利重啟一些大型體育賽事，給有關(guān)部門寫一份有關(guān)于疫情防控的備忘錄。

2 問題分析

2.1 問題1 分析

2.1.1 總體分析

首先問題1 是一個非常值得深度關(guān)注的問題，因為“二次高峰”的影響力或許會遠超第一次疫情爆發(fā)所帶來的影響并可能會隨著病毒的變異以及各類指標的失效而更難以控制[2]這樣顯然是對整個國家乃至全球都是相當不利的，因此需要給定一個閾值，針對不同的國家來評估其“二次高峰”的風(fēng)險大小，結(jié)合各個國家的醫(yī)療水平以及社會形勢然后做出相應(yīng)的措施以及復(fù)工復(fù)產(chǎn)規(guī)劃來避免二次高峰的到來。

2.1.2 影響因素分析與聯(lián)系

在第一次疫情得到有效緩解后，各個國家各個地區(qū)便會陸續(xù)開展復(fù)工復(fù)產(chǎn)。因此隨著人流量的逐步上升，個體的日平均接觸率也會有所上升，各地區(qū)的無癥狀感[3]染者此時便會穿插在人群中，感染率不由的有所增長，而此時隔離率卻并沒有迅速跟進，病人的恢復(fù)率也沒有大幅度上升。這些因素與第“二次高峰”到來的隱患大小密切相關(guān)。雖然此時醫(yī)療條件相比于疫情初期會有很大提升，但是如果未能正確把控復(fù)工復(fù)產(chǎn)的時間，那么第二次高峰的到來或許是必然的。因此在上一階段模型的分析基礎(chǔ)上，需要著重考慮在疫情期間各國人流量的移入移出，然后做出相應(yīng)的措施。

2.2 問題2 的分析

2.2.1 總體分析

建立了加入個人防護因素的SEIR 模型，對基本再生數(shù)、潛伏期時間、代間隔等幾個重要的參數(shù)進行變量控制，討論出最重要的參數(shù)以及會對防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響。

2.2.2 影響因素分析與聯(lián)系

通過建立模型考慮重要的參數(shù)，對防疫工作和疾病流行的過程給出了具體的預(yù)測，對后面的疫情防控工作起了重要的預(yù)防工作。

2.3 問題3 的分析

當前我國疫情還存在無癥狀感染者，這些無癥狀感染者的存在嚴重影響了我們的生活，使得整個社會的管控不確定性越來越大，并且這個因素不僅僅會造成感染人數(shù)急劇增加和疫情的二次爆發(fā)，也影響著一些重大賽事是否能重啟。重啟的時間，重啟后怎么制定觀眾的觀看方式等等，因此引入SIR 模型來對被傳染率的影響因素進行研究，從而可以分析得出重啟重大賽事的時間和防護措施。

無癥狀感染者的概念：根據(jù)國家衛(wèi)生健康委發(fā)布的《新型冠狀病毒肺炎防控方案(第六版)》，無癥狀感染者是指無相關(guān)臨床癥狀(如發(fā)熱、咳嗽、咽痛等可自我感知或可臨床識別的癥狀與體征)，呼吸道等標本新冠病毒病原學(xué)(通常指核酸檢測)或血清特異性免疫球蛋白M(IgM)抗體檢測陽性者。無癥狀感染者不是確診病例，因此不算新增感染病人。2020年3 月4 日國家衛(wèi)生健康委公布的第七版中，對這一規(guī)定沒有[4]改變（參考于百度百科）。

3 模型假設(shè)

（1）假設(shè)地區(qū)和國家的總?cè)丝跀?shù)不變。

（2）將境外輸入病例作為該國家的初始患病人數(shù)。

（3）與感染者密切接觸的人群若被感染則其定位為易感染內(nèi)（Sk）或者潛伏內(nèi)（Ek）。

（4）復(fù)工之前本國人口流動為0。

（5）新冠肺炎對不同年齡組的感染率略有不同，對健康人的感染率一樣。

（6）處于潛伏期的患者在一定時間后會出現(xiàn)患病特征成為患病者。

（7）SI 服從均值的指數(shù)分布。

（8）人群中所有人都有被感染的概率，康復(fù)人群不會再被感染。

（9）真實的感染者=感染者I-假陽性患者I2+假陰性患者I1。

（10）假設(shè)假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測的患者中，真實的新冠病毒感染者占20%，而檢測的靈敏度為70%，特異度為90%所計算出來）。

（11）潛伏期患者與以表現(xiàn)出癥狀的的傳染能力是相同的。

（12）隔離的患者都是住院患者。

（13）假設(shè)武漢的患者人數(shù)接觸率的額影響曲線等于中國的患者接觸率的影響。

（14）附件中所給的數(shù)據(jù)真實有效。

（15）不會出現(xiàn)超級感染者，如果出現(xiàn)，會被第一時間隔離，不會造成大范圍傳播。

（16）新型肺炎病毒在此階段不會出現(xiàn)變異。

（17）確診者被完全完全隔離，不再具有傳染性。

（18）境外輸入病歷已基本得到控制，不再是影響我國疫情的主要因素。

4 定義與符號說明

問題一的符號：

問題二的符號：

問題三的符號：

5 模型的建立與求解

5.1 問題一的模型建立

從新冠病毒疫情爆發(fā)開始，世界全球各個國家都陸續(xù)在積極整合疫情實時大數(shù)據(jù)報告，主要針對了各國疫情的新增趨勢、確診疑似趨勢、累計死亡和治愈人數(shù)、治愈率和死亡率、境外輸入輸出比例和累計趨勢等。我們主要收集了我國和美國還有意大利的各項數(shù)據(jù)，并且進行了數(shù)據(jù)整理與選擇。由于我國是首先發(fā)現(xiàn)該病例，因此我們以我國為中心，并考慮境外輸入輸出的影響來研究各國的疫情的發(fā)展趨勢。我們從微信公眾號青檸疫服上收集到[5]了我國境外輸入新增趨勢和境外輸入累計趨勢（參考微信程公眾號青檸疫服）。為了估計各個國家的初期患病人數(shù)，我們從“世界人口網(wǎng)”（https://www.renkou.org.cn/）上收集了三個國家截止到2020年4 月11 日的總?cè)丝跀?shù)量（見表格一所示）。

表一

表二

依據(jù)目前疫情的發(fā)展情況，以及各國政府采取的控制措施，我們建立了一個SEIR 倉室模型。針對于各個國家的隔離措施，如果有近似k 比率與感染者接觸的人被隔離了且被感染，則其自動轉(zhuǎn)為Ek，反之不變。對于被隔離的個體，如果被感染則會以A*B*O 的速度被送到Ek 內(nèi)，如果沒有被感染則會以A*(1-B)*O 的速度轉(zhuǎn)移到Sk 內(nèi)。同時感染者從被確診（確診速率E1 參數(shù)估計為0.133）到恢復(fù)到健康水平，其恢復(fù)率為F3（參數(shù)估計為0.1022），考慮到遷入遷出其SEIR 具體模型如下所示:

其中下標i 可取值分別為1、2、3 分別代表中國、美國、意大利。人口的流動用表示，其中j 表示人的狀態(tài)（分別包含易感染者、潛伏期者、有感染癥狀者和無癥狀感染者）。由于疫情從1 月28 日在中國發(fā)生，并在之后的一段時間內(nèi)美國和意大利并沒有報告病例數(shù)。所以我們只考慮我國人口的境外輸入量和輸出量（參考微信程公眾號青檸疫服），則表示人口從我國流向第i 個國家。我國在3月28 日正式宣布封國，因此，可以假設(shè)在3 月28 日以后沒有人口流動了。此時=0?？紤]到復(fù)工復(fù)產(chǎn)時人口重新開始流動了。此時有境外的輸入輸[6]出比例又呈上升趨勢，大約有700 人出入中國，其中黑龍江、上海等地所占比例最大，大約占了52%。由此根據(jù)人口的流動趨勢和分布可以計算出函數(shù)矩陣，這里矩陣表示人口流動的鄰接矩陣,一共分為三段（1 月28-3 月28）。由我國的遷入遷出趨勢圖，以及人口數(shù)量表可以計算出不同國家的控制數(shù)，并假設(shè)在中間階段人口沒有流動，取值為0。

根據(jù)所給模型，利用再生矩陣的方法，我們可以計算出控制措施實施過程中再生數(shù)的取值。其公式如下：Rc=[(BAp(1-k))/(E1+g+F1) ...+(BA(1-p)(1-k)τ)/F2...+(BAω(1-k))/C]S(0)

5.2 模型一的求解

其中S(0)表示易感染者的初值，然而考慮到前期社會整體對這種新型病毒的認識不足(此時重視程度較低),再加上醫(yī)療資源緊張,因此導(dǎo)致前期我國的報告病例數(shù)相對較低,而其它國家疫情暴發(fā)比我國晚,報告病例數(shù)據(jù)相比我國較為模糊。因此,我們基于除我國外的其他國家的累計病例數(shù)（參考微信程公眾號青檸疫服）,采用最小二乘法來估計系統(tǒng)參數(shù)。由于大部分國家的報告病例數(shù)基本都是從2 月15 日開始,并且前幾天的數(shù)據(jù)也不太準確,所以我們采用從2 月15 日至 4 月 30 日 的數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計。我們將數(shù)據(jù)分為三個階段以期評估各國逐步加強的控制措施的影響,第一階段為 2 月 15 日至 3 月 5 日,第二階段為 3 月 6 日至4 月 12 日,第三階段為 4 月 13 日至 4 月30 日。首先,根據(jù)所建模型我們先分析第一階段包含數(shù)據(jù)的所有參數(shù)。為了考慮各地不斷加強的控制措施對疫情的影響,而控制措施的影響主要體現(xiàn)在接觸數(shù)A 和隔離率k 的變化,假設(shè)各國家間的參數(shù)A 和k 的取值不同，固定其他參數(shù)不變,分別利用這三段數(shù)據(jù)重新估計每個國家的參數(shù)A 和k.模擬的起始時間 為 2 月 15 日,我國的模型初值見表2,其他國家易感者的初值假設(shè)為當?shù)乜側(cè)丝跀?shù),其余初值為 0 (見表3).具體參數(shù)估計值和三個時間段期間的控制再生數(shù)的估計值見表2和3,利用Matlab 仿真軟件進行模型擬合。表3 中的數(shù)字下標1、2、3 分別代表3 個不同的階段。

表三

圖4

在疫情初期，由于需要花大量的時間在病毒的研究上，因此統(tǒng)計出來的病例數(shù)是明顯低于實際的病例數(shù)的。并且由于我國是第一個發(fā)現(xiàn)病例的國家，因此從其它國家的病例數(shù)來估計我國的實際病例數(shù)也是很重要的[7]，根據(jù)模型可以知道在我國在3 月28 日封國以后，我國疫情已經(jīng)得到了較好的控制。根據(jù)估計的參數(shù)值，我們得到了中國、意大利、美國三個國家的三個階段的再生數(shù)（表三）[8]。從表中可以看出，在全球疫情初期美國的再生數(shù)為5.15，明顯大于我國和意大利，因此美國的疫情惡化趨勢有著很大的潛伏性。而我國的再生數(shù)較小，一方面由于一部分病例流入了其它的國家（占很小的比例），另一方面可能為核酸檢測試劑并沒有完全檢查出所有的病例（與社區(qū)宣傳效果、檢查范圍等因素密切相關(guān)）[9]。而對于之后的階段，我國再生數(shù)已經(jīng)有了明顯的下降，意大利也是如此，但是美國還在上升(由于各國的疫情防治的重視程度不同以及醫(yī)療體系的因素)。對于再生數(shù)小于1 表明：目前新發(fā)感染率比較低，疫情已經(jīng)得到了有效的控制。

5.3 問題二的模型建立

SEIR 模型，將人群分為：（如圖4）

基礎(chǔ)的SEIR 模型沒有考慮到防控隔離、假陽性、假陰性對防疫工作和疾病流行過程的影響，因此在原有的基礎(chǔ)上新增了幾類人群，如圖4 所示。

表5.1

表5.2

在疫情初期，基本再生數(shù)R0 的均值由公式⑧和第一階段計算所得指數(shù)增長K 指，計算的出初期的基本再生數(shù)均值為3.4，即為在初期指數(shù)增長階段，一個典型的患者可以傳染大約3.4 個人。

表6.1（疫情爆發(fā)期）

表6.2（數(shù)據(jù)來源：國家衛(wèi)生委員會）

疫情爆發(fā)期由建立的模型可得，基本再生數(shù)R0=2.8，即為一個典型的新冠患者可以傳染2.8 個易感人，代間隔均值約為5.0d。

表4

5.4 問題三的模型建立

結(jié)合一階段問題2 對無癥狀感染者預(yù)測的模型來分析無癥狀感染者的人數(shù)的范圍。由第一階段的模型可知，無癥狀感染者的人數(shù)在四月份基本得到控制，現(xiàn)在每日新增人數(shù)基本控制在個位數(shù)，整體疫情基本得到控制[10]。

當病毒高度適應(yīng)人群后，無癥狀感染者是否更難發(fā)現(xiàn)，是否會造成疫情的二次爆發(fā)這些種種的問題都值得去勘測。為了更好預(yù)估賽事重啟時間，我們決定研究被傳染比例的重要影響因素，如何來降低被傳染的比例是最賽事能否重啟的重[11]要參考。以CBA 籃球聯(lián)賽是否能重啟為例，如果要重啟該賽事，我們需要對有足夠的應(yīng)對能力來降低感染者的日接觸率，足夠的醫(yī)療能力來提高日治愈率，只有這樣，才能為重啟賽事提供切實可行的保障。由此我們引入SIR模型[12]。

在可行域D 中進行分析：

在可行域中繪制兩條曲線。當s0 大于s 時，i(t）先上升后下降到0，表示傳染病擴散；當s0 小于s 時，i(t)單調(diào)下降到0，表示傳染病不再擴散,在可行域中繪制出了兩條曲線，令k=。

預(yù)防傳染病蔓延的手段,傳染病不蔓延的條件—s0

提高閾值k,則當防護措施提高時，日接觸率降低；醫(yī)療水平提高時，日治愈率增加。

當s=無窮時，帶入相關(guān)軌跡線，可得i=0。

提高閾值k,降低被傳染比例。

6 結(jié)果分析

6.1 問題一的結(jié)果以及模型檢驗

為了研究復(fù)工對各個國家的疫情的影響，我們基于我國在疫情期間的流動網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和流動量的模擬模型，并且考慮了不同的復(fù)工時間以及控制強度的影響分別采用第一階段和第二階段的人均接觸數(shù)A 和隔離率k 在模擬時只考慮其它國家對我國的境外輸入量得到，在復(fù)工時間分為3個時間段，分別為2 月3 日、3 月15 日、4 月3 日對各個國家疫情的影響用Matlab 軟件進行預(yù)測分析[13]。

可得，在前兩個時間段內(nèi)復(fù)工的話，只有我國的疫情擴大趨勢沒有過大的增幅，其它兩個國家都有明顯的上升，因此如果控制措施不嚴格的話[14]，病情將會在20 天內(nèi)再次爆發(fā)。對于在最后一個時間段內(nèi)復(fù)工的話，我國和意大利的疫情并不會嚴重化，但是對于美國來講，這段時間復(fù)工仍然是非常的不樂觀。

因此由于各個國家從2 月15 日才相繼給出疫情發(fā)展情況（我國較為提前），為了不斷加強防控措施的有效性，我們分階段的給出了三個國家的控制再生數(shù)。并有數(shù)據(jù)分析，模型仿真可以知道，在前兩個時間點里開展復(fù)工復(fù)業(yè)的話，再生數(shù)除了我國在第二個階段比較低以外，其它國家都比較大。有很大的傳播風(fēng)險，然而對于第三個時間點即4 月3 日復(fù)工，我國和意大利的再生數(shù)均小于1，則新發(fā)感染率明顯降低。因此模型仿真完畢，與實際情況近似相符[15]。

圖9

圖10

6.2 問題二的結(jié)果及模型分析

哪些參數(shù)是最重要的：

時間段不變,根據(jù)各個參數(shù)的變化值，控制變量法可以得出最重要的參數(shù)有：基本再生數(shù)、感染規(guī)模加倍時間、個人防護。

對防疫工作和疾病流行程度帶來了什么影響：

假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測的患者中，真實的新冠病毒感染者占20%，而檢測的靈敏度為70%，特異度為90%所計算出來），這部分假陰性患者不能被檢測計檢測出來，所以可能會造成的危害較大。個人防護和隔離措施一定要做好。

假陽性率雖然也是檢測計的故障，容易造成感染患者統(tǒng)計數(shù)據(jù)上的夸大，但是假陽性的危害沒有假陰性的危害嚴重。

時刻關(guān)注潛伏期時間，有特殊患者的潛伏期時間超過了14 天。對于無癥狀患者的分布要時刻采取注意。

6.3 問題三的結(jié)果

由于每只球隊都會有自己的主場地，并且現(xiàn)在每個地方的疫情情況不太一樣，有感染率相對高一些的地方，這個時候就需要每個地方的球隊董事會根據(jù)當?shù)厍闆r來設(shè)置一個閾值k0，當計算所得的值高于這個閾值時，就可以考慮開賽。由問題一的模型我們可知，我國疫情可能在二次爆發(fā)，這個時間段應(yīng)該尤為注意防護措施。滿足什么條件時能不帶口罩呢？一是在無人員聚集的地方可以不帶口罩，二是在通風(fēng)條件良好地方可以不帶口罩。顯然，對于CBA 的舉報地就不滿足第一點，如果由模型3 評估可以重啟賽事時，那么每個觀眾席之間的距離需要間隔一米以上。僅僅如此還不夠，也需要滿足良好的通風(fēng)條件以及相應(yīng)的應(yīng)急措施。由此我們可以制定出CBA 賽事的重啟時間表。

6.4 問題四的結(jié)果

給國家安全局的備忘錄：6 月初就可以舉行賽事了，但是有幾點必須要注意的事項：限制現(xiàn)場觀眾的人數(shù)（根據(jù)場地限制，以及該地區(qū)近段時間的疫情控制情況而定）；觀眾于觀眾之間的位置距離要設(shè)計>1.5 米；在進場處進行溫度檢測，溫度超過37.2 攝氏度請移步網(wǎng)上觀看；現(xiàn)場設(shè)置醫(yī)護人員，處理應(yīng)對緊急狀況；賽前對于運動員的身體狀況一定要反復(fù)檢查，確保不能有一點疏漏，舉行賽事時不可避免的時隊員與隊員之間的接觸。[16]

7 模型評價與推廣

7.1 模型的優(yōu)點

（1）在建模過程中，模型一巧妙的運用SEIR 模型，結(jié)合人口流動矩陣，評估了二次疫情高峰的隱患大小。

（2）模型二引入了個人防護因素的SEIR 模型更加貼近實情，考慮了基本再生數(shù)、潛伏期時間、代間隔幾個重要的參數(shù)。

（3）模型三建立SIR 模型，引入了被傳染率，較準確的評估出重大賽事的重啟時間。

（4）各個模型之間緊密聯(lián)系，和真實情況較為貼近，仿真結(jié)果進行了多次測量更具有可行性。

（5）將國內(nèi)外的疫情情況相結(jié)合，使得防疫指標更具有普遍性。

7.2 模型的缺點

（1）模型一的評估結(jié)果，主要是以我國為中心，而沒有特別注重其他國家之間的相互的影響。

（2）模型二的參數(shù)考慮涉及不全面，數(shù)據(jù)不是特別準確。

（3）模型三僅僅是從理論進行分析，沒有進行仿真實驗，結(jié)果與實際可能存在偶然性誤差。

（4）關(guān)于潛伏期患者和無癥狀患者的數(shù)據(jù)難以獲得，因此模型具有一定的局限性。

7.3 模型的改進

（1）對各問題的模型進行優(yōu)化，使得擬合精度更高。

（2）對于模型二多考慮一些參數(shù)。

（3）對模型三進行Matlab 仿真，使得結(jié)論更加準確。

（4）整合各個國家?guī)讉€月以來的人口流動，多去查閱國外的疫情數(shù)據(jù)以及國家間的人群流動數(shù)據(jù)再與國內(nèi)疫情展趨勢相聯(lián)系，使得評估指標適用性更強。