鄭 雙，張 斌，符文熹

(1. 四川大學水利水電學院，成都 610065；2. 四川大學水力學與山區(qū)河流保護國家重點實驗室，成都 610065; 3. 四川省公路規(guī)劃勘察設計研究院有限公司，成都 610041)

0 引 言

西南地區(qū)是我國水利能源開發(fā)的主要地區(qū)，目前已修建和在建大量的水利工程，大壩特別是高壩多位于基巖上，基巖的滲透性往往決定了整個壩基的滲漏[1]。然而，西南地區(qū)地質條件十分復雜，巖體在長期內外動力地質作用下，巖體內部常常發(fā)育大量的裂隙，形成裂隙網絡巖體[2]。因此，研究裂隙巖體的滲透特性具有重大工程意義。

對于裂隙巖體，可采用裂隙網絡方法進行滲流分析。Wittke[3]不考慮巖塊的滲流，以真實的裂隙網絡為基礎，利用線單元法，創(chuàng)建了線素法，最早提出了巖體裂隙網絡滲流模型。Wilson和Witherspoon[4]將有限單元法引入到線素法，計算了壩下理想裂隙網絡巖體的滲流特性。王恩志[5]利用圖論的思想對巖體裂隙網絡進行了數學描述，給出了描述裂隙網絡連通關系的數學方法，提出了一個新的地下水滲流數值模型。莫海鴻[6]基于拓撲學的理論，提出了裂隙網絡的離散模型。趙紅亮[7]通過計算機模擬構筑了三維裂隙網絡系統(tǒng)。經過不斷的發(fā)展，巖體裂隙網絡滲流模型逐步走向成熟，得到了廣泛的應用。

對于裂隙網絡巖體的滲透特性，通常基于立方定理計算單裂隙的滲流量，通過裂隙組合進行分析[8]。Zimmerman[9]通過研究單相流在粗糙巖石裂隙中的運動，基于立方定理給出了Navier-Stokes方程的解，從理論上說明了立方定理的適用條件(雷諾數Re<<1)。柴軍瑞[10]研究了裂隙水流為紊流且不滿足立方定理條件下的裂隙滲透特性，給出了巖體裂隙網絡非穩(wěn)定滲流的控制方程。朱紅光[11]在立方定理的基礎上，推導了交叉裂隙的滲流計算公式，并將其應用到巖體裂隙網絡分析中。劉日成[12]為了研究裂隙網絡的非線性滲流，建立了兩種離散裂隙網絡模型，根據相應邊界條件，對Navier-Stokes方程進行求解，并且通過室內透水試驗進行了驗證，提出粗糙的裂隙表面會導致滲流量降低，但是誤差可以忽略不計。

綜上所述，巖體裂隙的粗糙度、開度、交叉情況以及裂隙流的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)問題都得到了廣泛細致的研究，然而，由于風化和侵蝕作用，天然巖體裂隙中常常存在一定厚度的充填物，此時直接采用立方定理進行計算，將產生較大誤差。為了研究含充填介質裂隙網絡巖體的滲透特性，本文建立了部分充填條件下的單裂隙滲透模型，結合Navier-Stokes方程和Brinkman-extended Darcy方程，得到了單裂隙流場分布特征，推求出單裂隙滲流量的解析解；在無充填的情況下，該滲流量表達式可以簡化為經典的立方定理。后基于裂隙網絡滲流原理，構建了含充填介質裂隙巖體滲流網絡的數學模型，可以得到裂隙網絡節(jié)點水頭。結合案例分析，探討了充填介質對裂隙網絡巖體滲透特性的影響。

1 含充填介質裂隙滲透模型

1.1 理論模型

本文為了研究充填物對裂隙巖體滲透特性的影響，建立如圖1所示的概化模型，裂隙寬度為e，填充物厚度為b1，空裂隙的厚度為b2，模型長度為L。假設裂隙中滲流流速為u，充填介質中滲流流速為w。模型存在下述的假設，①流體不可壓縮，為層流；②滲流只沿著x軸的流動；③裂隙中滲流u符合Navier-Stokes方程[13]，充填物中的滲流w符合Brinkman-extended Darcy方程[14]；④充填物與裂隙滲流的交界面符合流速相等和剪應力連續(xù)的邊界條件[15]。

圖1 巖體裂隙的概化模型Fig.1 Generalized model of rock mass fracture

根據假設③，裂隙中流速u和充填介質中滲透流速w分別滿足Navier-Stokes方程和Brinkman-extended Darcy方程，同時它們還滿足連續(xù)性方程。

(1)

(2)

式中：p為流體壓強，M/(L·T2)；ρ為水流密度，M/L3；n為孔隙率；η為水的動力黏度，M/(L·T)；K為充填介質的滲透率，L2；▽為Hamilton算子。

又由模型假設b，可得：

(3)

分別代入式(1)、(2)，可得

(4)

求解式(4)中的微分方程，可得：

(5)

(6)

式中：ΔP分別為裂隙兩端的壓強差。

根據假設，式(5)和(6)滿足下述邊界條件：

(2)裂隙滲流與巖石交界面處流速為0，即y=b1+b2時，ux= 0。

(3)充填物中滲流與巖石交界面處流速為0，即y= 0時，wx= 0。

聯立上述邊界條件即可求出參數B1、B2、C1、C2。

(7)

根據流速分布，可以求得整個裂隙斷面的流量為：

(8)

可以發(fā)現當填充比(β=b1/b2)為0，即b1= 0時，式(8)可以化簡得到：

(9)

式(9)即為經典的立方定理計算的裂隙流量。式(8)更具有普遍性，立方定理是它的一種特殊情況。

1.2 模擬試驗

本文為了驗證理論模型的正確性，開展物理模型試驗進行驗證。試驗裝置設計圖如圖2所示，整個模型長為30 cm，寬為20 cm，高為20 cm。其中的不透水巖塊利用亞克力版制作的長方體模擬，長為20 cm，寬為20 cm，高為9.5 cm，可以達到不透水的效果，充填物采用河砂模擬，經過試驗測定，滲透率K為3.54×10-8cm2，孔隙率n為0.39。為了防止填充物發(fā)生侵蝕破壞，采用鐵絲網進行固定。根據設計進行組裝，裝填完的試驗裝置如圖3所示。

圖2 試驗裝置設計圖Fig.2 Design drawing of test device

圖3 試驗裝置Fig.3 Test device

參照土工試驗方法標準進行滲透試驗，分別在填充比為25%、50%、75%，在不同水頭差ΔH條件下進行試驗。將試驗結果記錄在表1中。表1中試驗值均為多次試驗的平均值。

將試驗值與理論值進行對比，如圖4所示。從圖4中可以發(fā)現，理論值與試驗值較接近，誤差相對較小(小于10%)。在一定程度上可以驗證本文提出含充填介質的巖體裂隙的滲流模型。

圖4 試驗值與理論值對比Fig.4 comparison between experimental and theoretical values

2 巖體裂隙網絡模型

裂隙網絡滲流模型首先由Wittke提出，后經過Louis、Wilson和王恩志等人的發(fā)展，現可以用于二維穩(wěn)定和非穩(wěn)定裂隙流的計算[16]。裂隙網絡模型如圖5所示，以巖體裂隙的交點為節(jié)點，兩個節(jié)點之間的裂隙為一個線元。假設滲流域內有n個節(jié)點，與第i個節(jié)點相連的線元有m個，在節(jié)點i處，根據水流均衡原理[17]，可得節(jié)點i處的水流控制方程為：

表1 試驗記錄表Tab.1 Test record table

圖5 裂隙網絡模型Fig.5 Fracture network model

(10)

式中：Qi為節(jié)點i的源項，i取值為：1，2，3,…,n。

若裂隙中存在充填物，則裂隙中的滲流量可按式(8)進行計算。將式(8)帶入式(10)可得：

(11)

式中：bj-1為線元j中填充物的厚度；bj-2為線元j中空裂隙的厚度；wj-x為填充物中滲流的流速；uj-x為空裂隙中的滲流流速。

式(11)為裂隙中存在充填物條件下，節(jié)點i處的流量控制方程。由于整個滲流域內總共有n個節(jié)點，則整體的滲流控制方程為：

(12)

式中：A為裂隙網絡的銜接矩陣，其為n×m階矩陣。

它是用來描述滲流域中線元與節(jié)點的鏈接關系的矩陣，根據文獻[5]可以求得。Q= {Q1,Q2, …，Qn}T。結合模型的邊界條件，可以得到裂隙中存在填充物條件下，巖體裂隙網絡滲流的數學模型為：

(13)

式中：Γ1和Γ2分別為已知水頭邊界；h1和h2分別為相應邊界上的水頭。

通過Matlab編程，求解式(13)，可以得到各個節(jié)點的水頭。

3 算 例

如圖6所示，大壩下的巖體中存在兩組相互垂直的理想裂隙，巖塊不透水，邊界AC、BD、CD、EF分別為不透水邊界。滲流沿著裂隙網絡流動。邊界AE的水頭為100 m，邊界BF的水頭為20 m，AB長度為100 m，AC長度為40 m。裂隙的寬度為0.01 m，深度為0.1 m。水平向的裂隙含有厚度為0.005 m的充填介質，充填比β=50%，滲透率K=3.5×10-8m2。根據裂隙網絡滲流原理，對節(jié)點進行編號，整個滲流域內共有51個節(jié)點，66個線元。

圖6 模型與節(jié)點編號和節(jié)點詳圖Fig.6 Model node numbered and node detail

在裂隙分別為充填和不充填的條件下，根據本文的數學模型(含充填介質)進行計算，得到各節(jié)點的水頭，如圖7所示。根據節(jié)點編號，可以分為5個區(qū)間(1～9、10～20、21～31、32～42、43～51)，分別表示2條水平邊界(AB、CD)和3條水平向裂隙上的節(jié)點水頭?？梢园l(fā)現，在每個區(qū)間內，兩種方式計算的水頭變化趨勢保持一致，都是逐漸減小，但是具有一定的差距，明顯在裂隙含充填介質條件下，計算得到的水頭變化幅度更大，具有更大的最大值和更小的最小值。

圖7 各節(jié)點水頭Fig.7 Water head of each node

圖8為滲流域內的水頭等值線圖，可以發(fā)現，兩種方式計算的結果具有明顯的差別。在靠近滲流入口和溢出面的位置，裂隙含充填介質條件下，計算的水頭等值線更加稀疏，水力比降較小，說明考慮充填介質會導致裂隙巖體的滲流量減小。另一方面，在滲流域的中部，含有充填介質裂隙巖體的等水頭線較密，水力比降較大，滲流的流速增大，可能會導致局部的侵蝕破壞，影響裂隙巖體的強度。

在裂隙無充填的條件下，基于立方定理計算的滲流量為2.25 m3/s，在裂隙存在充填物的條件下，根據本文數學模型計算的滲流量為1.43 m3/s，相比下降了36.44%。可見，巖體裂隙填充物對裂隙巖體滲流特性的影響較大，不能忽略不計。

圖8 滲流域內水頭等值線圖Fig.8 Isometric map of water head in seepage basin

為了研究充填介質的滲透率K對滲流量Q的影響，在不同填充比β的工況下，計算得到滲透率K與流域滲流量Q的關系，從圖9中可以看出，隨著滲透率下降，滲流量逐漸減小，當滲透率較大時，滲透率變化對流量的影響較大。當滲透率低于1×10-7cm2，滲流量隨著滲透率的變化率將趨于0。填充度(β)越高，滲流量越小，當填充度為0時，計算的滲流量和文獻基于立方定理計算的滲流量相等，這個也印證了式(9)的推導。

圖9 不同填充度下滲透率與流量的關系Fig.9 Relationship between permeability and seepage volume with different filling degree

含填充介質裂隙巖體的滲透特性不僅與填充介質的滲透系數有關，還和裂隙的填充比β有關，在實際的工程中，它可以通過野外調查獲得。為了研究填充比對含充填介質裂隙巖體滲透特性的影響，在充填介質具有不同滲透率的情況下，計算填充比與滲流量的關系，獲得圖10中的曲線，發(fā)現滲流量與填充比具有非線性的關系，曲線具有兩個拐點。當填充比較小，低于30%時，曲線斜率較小，滲流量隨填充比的變化率較小。當填充比較高，位于30%到70%之間時，曲線斜率較陡，滲透量隨填充比的變化率較大。當填充比高于70%，曲線再次變緩，滲透量隨填充比的變化率再次減小。

從不同滲透系數的關系曲線上看，填充比越高，充填介質滲透系數對滲流量的影響也越大，這是由于當填充比較低時(β<50%)，巖體裂隙的滲透量主要由空裂隙中的滲流量控制，滲流量受填充介質的影響較??；當填充比較高時(β>50%)，巖體裂隙的滲透量主要由填充介質中的滲流量控制，滲流量受填充介質的影響較大。

圖10 不同滲透率下填充比與流量的關系Fig.10 relationship between filling ratio and seepage volume under different permeability

4 結 論

通過對部分充填條件下的單裂隙滲透模型的理論分析，推導出了含充填介質的巖體裂隙的流速分布，獲得了單裂隙的流量公式。當填充度為0時，該滲流量公式可以化簡到立方定理，室內滲流試驗的結果驗證了理論分析的正確性。后結合裂隙網絡的滲流原理，建立了含充填介質的裂隙網絡的數學模型，可以求解裂隙巖體的滲流場。

在算例中，以填充比和填充介質的滲透 系數為指標，討論了填充介質性質對裂隙巖體滲透性質的影響。充填介質滲透率越小、填充比越高，裂隙巖體的滲流量越低。充填介質的存在會還導致裂隙兩端的水力比降增加，提高裂隙的滲流流速，增加局部發(fā)生沖刷侵蝕破壞的可能性，進而影響裂隙巖體的整體強度。