李建明, 丁 謙

(1.山西梅園永興煤業(yè)有限公司，山西 太原 030024; 2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引 言

起重機(jī)械是現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中用于大型物料搬運(yùn)的重要設(shè)備。同樣在煤礦生產(chǎn)制造中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。起重機(jī)工作時(shí)主梁承受著起升貨物帶來的交變載荷，隨著使用年限的增加，其金屬結(jié)構(gòu)內(nèi)部由于焊接及冶煉所造成的夾渣、氣孔等微小損傷將不斷積累，當(dāng)損傷達(dá)到臨界值的瞬間，會(huì)發(fā)生疲勞失效，給人們帶來巨大傷害。因此，對(duì)起重機(jī)主梁進(jìn)行疲勞可靠性分析具有重大意義。

在工程可靠性分析中常使用概率模型，這種隨機(jī)概率可靠性分析方法的發(fā)展已非常成熟，并且在機(jī)械金屬結(jié)構(gòu)、橋梁、建筑等各個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)取得了一些成就。但概率模型也有一定的局限性，即需要知道變量的分布規(guī)律，然而在實(shí)際工程中有些不確定性變量的精確統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)難以得到，在計(jì)算時(shí)往往都是通過經(jīng)驗(yàn)假設(shè)，簡化得到其分布函數(shù)，這可能使結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差。為描述這些無法獲得分布規(guī)律的不確定性變量，出現(xiàn)了非概率可靠性分析方法。1994年Ben-Haim提出了基于凸集模型的非概率可靠性概念，隨后這一理論在結(jié)構(gòu)可靠性分析中的應(yīng)用得到了廣泛研究。針對(duì)某些只知道取值范圍的不確定變量，1995年基于區(qū)間模型的非概率可靠性分析方法又被Ben-Haim和Elishakoff提出，該方法將不確定性參數(shù)定義為區(qū)間變量，通過區(qū)間四則運(yùn)算進(jìn)行可靠性分析。由于無法獲知不確定參數(shù)的概率分布，楊淑偉等[9]等采用凸模型非概率方法對(duì)起重機(jī)臂架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了可靠性分析。崔智勇等[10]基于微粒子群算法的區(qū)間模型的非概率可靠性分析方法計(jì)算了懸臂梁的可靠性指標(biāo)。近年來，國內(nèi)郭書祥[8]又提出了一種概率-非概率混合可靠性分析方法。目前，在起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析中主要采用概率可靠性分析方法。例如：徐格寧等[4]將初始裂紋作為隨機(jī)變量應(yīng)用概率的方法，對(duì)起重機(jī)焊接箱型梁疲勞壽命的可靠度進(jìn)行了計(jì)算。史朝陽等[3]采用概率模型對(duì)橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行了疲勞可靠性分析。杜永恩等[5]采用基于區(qū)間非概率的方法計(jì)算了飛機(jī)機(jī)翼主梁螺栓孔的疲勞可靠性指標(biāo)。

由于在起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性分析中，不僅存在著能用概率分布描述的隨機(jī)變量，還存在著難以用概率描述其分布類型的區(qū)間變量。鑒于此，筆者將概率和非概率分析理論相結(jié)合，并首次用于起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析。即通過運(yùn)用斷裂力學(xué)法對(duì)起重機(jī)箱型主梁疲勞剩余擴(kuò)展壽命進(jìn)行估算，將初始裂紋尺寸a0、應(yīng)力幅σ以及材料參數(shù)m作為隨機(jī)變量，將臨界裂紋尺寸ac、材料參數(shù)C以及形狀參數(shù)F作為區(qū)間變量，根據(jù)Paris公式，建立概率—非概率疲勞可靠性分析的混合模型，并給出了求解疲勞混合概率可靠度的計(jì)算方法。經(jīng)數(shù)值案例和起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的工程案例計(jì)算表明，與傳統(tǒng)的概率可靠性分析相比,這種分析方法更符合實(shí)際也更安全。

1 概率可靠性分析方法

可靠性分析的概率模型中，可靠度Pr可表示如下：

Pr=P(g(X)>0)

(1)

式中:P(.)表示概率;g(X)為功能函數(shù)，g(X)=0為極限狀態(tài)方程，設(shè)向量X={x1,x2,…,xm}為與結(jié)構(gòu)失效相關(guān)的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，m為變量個(gè)數(shù)。一般通過一階二次矩法或MonteCarlo方法求解。文中采用MonteCarlo方法求解。

2 基于區(qū)間分析的非概率可靠性

在區(qū)間分析的非概率可靠性模型中，設(shè)向量Y={y1,y2,…,yn}為與結(jié)構(gòu)功能相關(guān)的區(qū)間變量集合，并且區(qū)間變量之間相互獨(dú)立。于是可得功能函數(shù)如下：

M=g(Y)=g(y1,y2,...yn)

(2)

(3)

用標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量表示變量yi，可得如下功能函數(shù):

g(Y)=g(y1,y2,…yn)=G(δ1,δ2,…δn)

(4)

式中:(δ1,δ2,…,δn)是標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量，通過非概率可靠性優(yōu)化法，可得其下上限:

(5)

(6)

Mu,Ml分別為功能函數(shù)上下界，那么非概率可靠性指標(biāo)可得：

(7)

3 概率-非概率混合可靠性分析

當(dāng)影響結(jié)構(gòu)功能的不確定性變量中，隨機(jī)變量和區(qū)間變量同時(shí)存在時(shí)，那么其功能函數(shù)可以表示為：

M=g(X,Y)=g(x1,...,xm,y1,...,yn)

(8)

其中，X={x1,...,xm}為隨機(jī)變量向量，Y={y1,...,yn}為區(qū)間變量向量。設(shè)向量X取常值，那么式中僅有區(qū)間變量，為非概率可靠性問題。當(dāng)向量Y為常值時(shí)，式中僅有隨機(jī)變量，為概率可靠性問題。基于這一思想，首先將隨機(jī)變量X視為常值向量，應(yīng)用非概率優(yōu)化法進(jìn)行可靠性分析，那么非概率可靠性指標(biāo)η為：

(9)

M(2)=η(X)-1=0

(10)

上式只存在隨機(jī)變量,可以通過概率可靠性分析方法求解。于是結(jié)構(gòu)的可靠概率可表示為：

Pr=P(M(2)>0)=P(η(X)-1>0)

(11)

此時(shí)不可靠失效概率為：

Pf=1-P(η(X)-1>0)

(12)

4 基于斷裂力學(xué)理論疲勞壽命估算及其參數(shù)的分析

4.1 疲勞擴(kuò)展速率da/dN

根據(jù)斷裂力學(xué)理論可以得到疲勞裂紋擴(kuò)展速率da/dN與應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值ΔK之間的關(guān)系，如圖1所示，可分為3個(gè)階段。

圖1 雙對(duì)數(shù)曲線

第Ⅰ階段:這一階段ΔK≤ΔKth，此時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值ΔK小于裂紋擴(kuò)展門檻值ΔKth，疲勞裂紋不會(huì)發(fā)生擴(kuò)展，稱為裂紋不擴(kuò)展階段。

第Ⅱ階段：這一階段ΔKth<ΔK≤ΔKc，ΔKc裂紋擴(kuò)展臨界值，此時(shí)為裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段。這一階段是疲勞壽命主要組成部分。文中采用Paris[2,4]公式來表示裂紋擴(kuò)展率如下:

(13)

式中：a是裂紋長度;N是應(yīng)力循環(huán)次數(shù);da/dN是裂紋擴(kuò)展速率;C,m是與材料、構(gòu)件形狀等有關(guān)的系數(shù);ΔK是應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值，表示如下：

(14)

式中：F是修正系數(shù);σ是應(yīng)力幅值。

第Ⅲ階段：這一階段ΔK>ΔKc臨界值，是裂紋迅速擴(kuò)展階段，稱之為失穩(wěn)擴(kuò)展。這一階段壽命很短，計(jì)算時(shí)根據(jù)實(shí)際情況可以不予考慮。

4.2 起重機(jī)主梁疲勞擴(kuò)展壽命模型

起重機(jī)箱型主梁由于生產(chǎn)制造、材料缺陷以及焊接缺陷等原因，主梁金屬結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在許多的疲勞源，從而使得起重機(jī)箱型主梁的形成壽命較短，有時(shí)甚至沒有萌生壽命。所以，起重機(jī)箱型主梁的疲勞壽命主要取決于穩(wěn)定擴(kuò)展階段，由于Paris公式形式簡單，應(yīng)用廣泛，最關(guān)鍵是它對(duì)第Ⅱ階段的適用性較好，因此本文采用Paris公式來表示起機(jī)箱型主梁的裂紋擴(kuò)展率。將公式(14)代入式(13),通過積分后可得起重機(jī)主梁的疲勞壽命N,如下式：

(15)

4.3 確定主梁疲勞危險(xiǎn)位置

通過疲勞試驗(yàn)和起重機(jī)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，得出發(fā)生疲勞斷裂的兩個(gè)位置:一是腹板-下蓋板縱向受拉翼緣連續(xù)貼角焊縫上;二是橫隔板-腹板連接焊縫底部的焊趾處。

4.4 影響裂紋擴(kuò)展速率的不確定性參數(shù)的選取

起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料屬性等參數(shù)會(huì)受到生產(chǎn)制造、工作環(huán)境以及測(cè)量誤差等的影響，所以這些參數(shù)是具有不確定性的，從而使疲勞分析結(jié)果出現(xiàn)較大的差異。因此，要全面考慮參數(shù)的不確定性。下面將對(duì)影響起重機(jī)箱型主梁疲勞壽命參數(shù)進(jìn)行分析與取值。

Paris公式中的裂紋擴(kuò)展參數(shù)C，m與材料屬性和構(gòu)件的幾何形狀有關(guān)，可通過疲勞試驗(yàn)得到，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究[2,4]。由工作環(huán)境、生產(chǎn)制造以及測(cè)量誤差等的影響，C和m應(yīng)當(dāng)是不確定性參數(shù)。對(duì)于起重機(jī)焊接箱型梁，文中取C的均值uc=2.61×10-13，變異系數(shù)δc=0.1～0.3之間，從最不利角度出發(fā)，取δc=0.3[7]，則可得區(qū)間變量C=[1.827,3.393]×10-13。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，m服從正態(tài)分布，并可取m～N(3,0.032)。

由于起重機(jī)箱型主梁生產(chǎn)完成時(shí)就會(huì)因?yàn)椴牧先毕?、焊接缺陷等因素就已?jīng)形成初始裂紋，因此，a0選為常數(shù)不合理。根據(jù)文獻(xiàn)[3]文中擬將a0取為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量lga0～N(0.5,0.52)。根據(jù)疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù),起重機(jī)結(jié)構(gòu)裂紋臨界長度ac值范圍在80～120 mm[2,4,6]，文中取其為區(qū)間變量ac∈[80,120]mm。

形狀參數(shù)F，是疲勞裂紋尺寸與板寬等的函數(shù)，取值通常跟板寬、應(yīng)力集中等因素的作用有關(guān)，無法用統(tǒng)一的公式來表示，屬于一個(gè)不確定性參數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[7]將形狀參數(shù)取為區(qū)間變量F=[0.95,1.05]。

5 橋式起重機(jī)箱型主梁混合可靠性分析模型

以起重機(jī)箱型主梁疲勞壽命安全余量作為功能函數(shù)，得極限狀態(tài)方程如下:

M=N-ND≥0

(16)

式中:M為功能函數(shù);N為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，可通過式(15)獲得;ND為設(shè)計(jì)壽命。

根據(jù)上節(jié)對(duì)影響起重機(jī)箱型主梁疲勞壽命的不確定性參數(shù)的分析，可知，功能函數(shù)中既存在隨機(jī)變量a0、σ、m，又存在區(qū)間變量C、F、ac，因此功能函數(shù)可表示為如下混合不確定性形式：

M=g(a0,σ,m,CI,FI,acI)=0

(17)

通過文中第3節(jié)所述的混合可靠性分析方法即可求解。

6 工程應(yīng)用

文中通過文獻(xiàn)[1]的算例來對(duì)36TU型集裝箱門式起重機(jī)主梁進(jìn)行概率-非概率混合可靠性分析?；赑aris公式的疲勞估算，其相應(yīng)的各不確定參數(shù)a0、σ、m，C、F、ac的取值如上所述。

載荷通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè),以周(7天)為單位統(tǒng)計(jì)載荷數(shù)據(jù),再應(yīng)用雨流計(jì)數(shù)法得到載荷譜,最后通過有限元分析得到危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力譜。根據(jù)應(yīng)力幅σi與最大應(yīng)力幅值σmax的比值分為8級(jí)。相應(yīng)的應(yīng)力幅值和其頻率如表1所列。圖2是各級(jí)應(yīng)力幅出現(xiàn)的概率圖。

表1 一周內(nèi)主梁危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力幅譜

圖2 各級(jí)應(yīng)力幅出現(xiàn)的概率

由圖2所示的概率圖可見應(yīng)力幅可能服從正態(tài)分布，為此基于Matlab軟件對(duì)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)判別與擬合，得出σ～N(71.4445，25.73932)。應(yīng)用本文的混合可靠性分析方法對(duì)該門機(jī)主梁進(jìn)行疲勞可靠性分析。

同樣將區(qū)間變量根據(jù)上述方法假設(shè)為隨機(jī)變量，可以得到：

C～N(2.61×10-13,(2.61×10-14)2)

F～N(1,(1.67×10-2)2)

ac～N(100,6.672)

在通過概率可靠性方法求解，將混合可靠性和概率可靠性分析計(jì)算出的可靠度結(jié)果列于表2。

表2 36TU門機(jī)可靠性分析結(jié)果

為了便于對(duì)36TU門機(jī)不同可靠性模型分析結(jié)果的比較，將表4的可靠度結(jié)果列于圖3。

圖3 36TU門機(jī)主梁可靠度變化曲線

從圖3可以發(fā)現(xiàn)混合疲勞可靠性分析模型得出可靠度小于概率模型，這說明當(dāng)影響疲勞壽命的不確定性參數(shù)沒有確切的分布規(guī)律時(shí)，采用隨機(jī)變量進(jìn)行處理來進(jìn)行疲勞可靠性分析，忽略了真實(shí)數(shù)據(jù)的分散性，而使所得結(jié)果產(chǎn)生一定的差異。而用區(qū)間變量對(duì)參數(shù)的不確定性進(jìn)行定量化比用隨機(jī)變量來描述更精確。因此混合可靠性方法考慮到的影響疲勞失效因素更全面，更符合實(shí)際，也更能保障起重機(jī)的安全使用。

7 結(jié) 論

(1) 針對(duì)起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的不確定性變量既存在隨機(jī)變量又存在區(qū)間變量的問題, 首次提出用概率—非概率混合可靠性分析方法對(duì)起重機(jī)疲勞進(jìn)行分析，根據(jù)Paris公式構(gòu)建了疲勞壽命安全余量混合可靠性分析模型，并利用本文所述概率—非概率混合可靠性分析方法對(duì)橋式起重機(jī)箱形主梁進(jìn)行了疲勞可靠性分析。

(2) 這種疲勞混合可靠性模型,根據(jù)結(jié)構(gòu)疲勞失效準(zhǔn)則建立一級(jí)功能方程, 在其中的隨機(jī)變量取其實(shí)現(xiàn)值的條件下, 進(jìn)行非概率可靠性分析;再根據(jù)非概率可靠度指標(biāo)大于1結(jié)構(gòu)可靠的這一理論建立了二級(jí)功能方程,并進(jìn)行隨機(jī)可靠性分析。通過實(shí)例驗(yàn)證與傳統(tǒng)的概率可靠性分析相比,這種分析方法更復(fù)合實(shí)際也更安全。

(3) 通過文中分析為起重機(jī)疲勞可靠性分析提供了一條新的思路，可以看出，混合可靠性分析方法在起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析中有比較好的適用性。但是目前這種混合可靠性分析方法還不太成熟，可以通過對(duì)這種混合可靠性方法進(jìn)行改進(jìn)后再與起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)相結(jié)合做進(jìn)一步的研究。