于江龍 董希旺,2 李清東 呂金虎,2 任章,2

未來戰(zhàn)爭將會呈現(xiàn)高動態(tài)、強博弈的特點,智能化體系作戰(zhàn)博弈對抗將會成為未來作戰(zhàn)的趨勢,單彈攔截智能化惡意機動目標難度將會大大提升,多彈協(xié)同攔截是應對惡意機動目標的重要作戰(zhàn)方式,多彈進行設備與功能的差異配置,憑借數(shù)量和策略優(yōu)勢,采取合適的協(xié)同博弈攔截策略,能夠實現(xiàn)對惡意機動目標的有效攔截[1?5].

然而經(jīng)典的多導彈協(xié)同制導策略大多關注攻擊時間的同時性[6]、攻擊角度的一致性[7],或者二者兼?zhèn)鋄8],適合攔截靜止的或者低速小機動的目標.因此需要研究適合攔截機動目標的新型協(xié)同導引律.

在博弈對抗場景下,基于微分博弈理論的導引律并不需要目標的機動信息,能夠充分發(fā)揮攔截導彈的機動性能與機動策略.文獻[9?10]針對單枚導彈攔截單目標的微分對策制導問題開展了研究,文獻[11?15]運用動態(tài)博弈理論設計了最優(yōu)協(xié)同策略導引律.近年來,學者對三體(攔截導彈、目標和防御導彈)協(xié)同制導問題進行了廣泛的研究[16?18],其原理就是協(xié)同微分對策制導的應用.

本文將重點研究基于微分對策的協(xié)同制導問題,構建新型的協(xié)同微分對策導引律,實現(xiàn)多導彈對惡意機動目標的有效攔截,以期為未來信息時代的防空反導體系建設及智能作戰(zhàn)指揮與控制系統(tǒng)的發(fā)展提供可能的技術支撐.

1 基礎知識

1.1 動態(tài)系統(tǒng)的微分對策問題

考慮以下一般的非線性動態(tài)博弈系統(tǒng)[9];

其中,x∈Rn為上述系統(tǒng)的狀態(tài)變量,(u,v)為博弈雙方的控制量,t表示時間,t0＞0和tf＞0為博弈的初始時刻和終止時刻.

博弈問題的終端任務狀態(tài)集為:

選取代價函數(shù)為

其中,h(t,x(t),u(t),v(t))為任意的給定實值函數(shù),且有

μ的維數(shù)與φ(t,x(t))是匹配的,g(t,x(t))是附加終端狀態(tài)集合.

引理1[19],設U和V是兩個閉區(qū)域且邊界光滑,函數(shù)f(t,x,u,v)和h(t,x(t),u(t),v(t))連續(xù)可微且在[t0,tf]×Rn×U×V的有界子集中關于(t,x)是一致李雅普諾夫連續(xù);函數(shù)g(t,x(t))和φ(t,x(t))在[t0,tf]×Rn的有界子集中一致李雅普洛夫連續(xù)且連續(xù)可微.如果(u?(t),v?(t))是微分對策問題的鞍點,則(u?(t),v?(t),x?(t))滿足以下方程:

其中,x?(t)是相對于鞍點(u?(t),v?(t))的最優(yōu)軌跡,?t是從初始狀態(tài)沿著最優(yōu)軌跡到達目標集邊界所用的時間.

1.2 代數(shù)圖論基礎

在多導彈的協(xié)同制導問題中,每枚導彈除了對目標進行制導,還受到其他鄰居導彈的影響,而形成協(xié)同制導,本文利用代數(shù)圖來描述描述導彈之間的相互影響.

定義集合V={1,2,···,M} 用來表示多導彈集,ε ?V×V用來表示導彈之間對應的邊集,用圖G=G(V,ε)來描述多導彈之間的拓撲關系,邊集中的邊(i,j)用來表示信息從導彈i流向j,如果滿足(i,j)∈ε ?(j,i)∈ε,則(i,j)為雙向邊,如果圖G中每一個邊都是雙向邊,則稱該圖為無向圖;反之,如果圖G中存在一個邊是單向的,則稱之為有向圖.

如果(j,i)∈ε,則j是i的一個鄰居導彈,定義一個圖的鄰接矩陣A=[μij] ∈RM×M,如果(j,i)∈ε,則μij＞0,反之,則有μij=0,定義圖G的入度矩陣D=[dij]∈RM×M,如果i≠j,則dij=0,如果i=j,則有dij=

對于無向圖G,如果任意兩枚導彈之間都存在一條路徑,則稱該圖是連通的;對于有向圖G,若對于任意兩枚導彈之間都存在一條路徑,則該圖是強連通的,在圖G中,存在一枚導彈,到其他任意一枚導彈都存在路徑,則圖G含有一棵有向生成樹.

2 協(xié)同制導問題描述

2.1 協(xié)同微分對策制導問題建模

多導彈憑借數(shù)量和策略優(yōu)勢,能夠降低目標逃逸區(qū)域、增大有效殺傷區(qū),進而實現(xiàn)對惡意機動目標的有效攔截,本文考慮N(N≥2)枚導彈對1枚目標的協(xié)同制導問題,如圖1所示.

圖1 多導彈協(xié)同制導示意Fig.1 Schematic of multiple missile cooperative guidance

在本文中,將三維協(xié)同制導問題分解為縱向制導與橫向制導的兩個二維制導問題.

在二維平面內的慣性坐標系下,導彈i和目標T運動學模型可以表示為:

其中,i∈{1,2,···,N},導彈i和目標T的坐標分別為(xi(t),yi(t))和(xT(t),yT(t)),VM,i(t)為飛行器i速度大小,VT(t)為目標速度大小,γM,i(t)、γT(t)分別為速度角(速度傾角或者速度偏角,本文簡稱速度角).

根據(jù)上述模型,本文研究的是運動學層面的制導問題,也就是通過速度角的控制實現(xiàn)位置回路的制導,此外,本文研究多枚同樣配置(同構)導彈的協(xié)同制導問題,暫不考慮多導彈之間的性能匹配問題.

在二維平面內視線坐標系下,可以將式(1)轉化得到彈目相對運動學模型:

其中,λi(t)表示二維平面內的視線角,θM,i(t)、θT,i(t)分別表示導彈i和目標的前置角,在本文中,假設導彈和目標的速度均為常值.

2.2 協(xié)同微分對策問題描述

在經(jīng)典的微分對策制導問題中,微分對策制導問題一般描述為單枚導彈經(jīng)過最優(yōu)機動實現(xiàn)對目標的攔截,而在現(xiàn)有的協(xié)同微分對策制導問題中,大多考慮三體協(xié)同微分對策制導問題[16?18];或者僅考慮了多彈在過載約束下的攔截問題,而沒有考慮多彈之間的信息交互問題[11?15].

本文考慮了多導彈之間的信息交互問題,多導彈之間的通信拓撲滿足下列假設.

假設1[20],多導彈之間的通信拓撲圖用G描述,G為一個連通的有向圖,且每枚導彈均能夠獲得對于目標的制導信息.

多導彈協(xié)同微分對策制導問題的核心一般包括兩個方面,一是協(xié)同制導的模型,二是代價函數(shù)的選擇.上節(jié)已給出運動學層面的制導問題.本節(jié)核心在于給出協(xié)同微分對策制導問題的代價函數(shù),包括以下方面.

考慮初始制導時刻為0,首先定義各枚導彈對目標的攔截時刻分別為tF,i,i∈{1,2,···,N}.

1)協(xié)同的代價建模

多枚攔截導彈在各自的攔截時刻,如果他們之間的相對距離越小,則說明多枚導彈實現(xiàn)了準同時攔截,在一定程度上表征了多攔截導彈之間的攔截時間一致性,因此,定義一個代價函數(shù)為:

2)攔截的代價建模

本文考慮的協(xié)同制導問題在于實現(xiàn)多枚導彈對目標的攔截,如果攔截時刻導彈i和目標T之間的相對距離(可近似為脫靶量)越小,則代表了導彈i對目標T的攔截效果越好.因此,定義一個代價函數(shù)為:

其中,μi表示導彈i和目標T的通信權重.

3)能量的代價建模

攔截過程中,期望導彈機動的范圍越小越好,這樣能夠節(jié)省攔截過程中的能量,因此定義一個代價函數(shù)為:

其中,βi＞0,γM,i,0為常數(shù),表示初始時刻的最佳速度角(其值可參考文獻[9]),對于攔截導彈來說,越小,則代表攔截軌跡約平緩.為了將微分對策中的目標最優(yōu)逃逸問題引入,在這里將修正為J3,即:

其中,ψT＞0,γT,0也為一個常數(shù),表示目標T初始時刻的最佳速度角(其值可參考文獻[9]).

因此,多導彈和目標組成了一個最優(yōu)攔截追逃的協(xié)同微分對策制導問題,控制輸入為(γM,i(t),γT(t)),代價函數(shù)定義為:

可以看出,代價函數(shù)(6)是由子代價函數(shù)(1)、(3)、(5)組成的,因此代價函數(shù)(6)表征了多彈協(xié)同制導過程中需要同時滿足協(xié)同約束、攔截約束和能量約束,此外,3個子代價函數(shù)的加權系數(shù)可以通過參數(shù)μik、μi、βi、ψT來進行調節(jié).

3 協(xié)同微分對策導引律設計

在本節(jié)中,將給出協(xié)同微分對策導引律的設計過程.

針對攔截導彈來說,期望J最小化;針對目標來說,期望J最小化,因此定義哈密頓函數(shù)為:

其中,λi1(t)、λi2(t),i∈{1,2,···,N},λT1、λT2為伴隨狀態(tài),.

對于攔截導彈i來說,由

可得攔截導彈i的協(xié)同微分對策導引律:

根據(jù)引理1,伴隨狀態(tài)動態(tài)特性及其終端值為:

因此,有:

可以看出,協(xié)同微分對策導引律(9)是一個超越方程,如果βj≡0,則式(9)有解析解;而如果βj是一個小量的話,可以用牛頓迭代法進行精確的數(shù)值求解,如果βj取小量,則式(9)的近似可行解為:

此外,對哈密頓函數(shù)H求二次微分,有

因此,微分對策導引律(9)在一定范圍內是最優(yōu)制導問題的解.

用同樣方法,可得到目標最優(yōu)逃逸導引律:

其中

tF,T為目標逃逸成功的時刻.

值得注意的是,導引律(9)和式(15)中并不顯含時間t,而是含有攔截時刻tF,i,一般來說,tF,i的獲取相對復雜,可采用初始相對距離除以相對速度得到,也可通過分段求解進行計算tF,i.

此外,如果目標T有多個,則本文的問題轉化為多對多協(xié)同博弈對抗的問題.從目標角度來看,協(xié)同攔截導引律構成了協(xié)同突防導引律.因此,本文方法對多對多協(xié)同博弈對抗問題求解具有一定的啟發(fā).

4 仿真試驗分析

本節(jié)將給出兩個仿真示例來說明本文提出的協(xié)同微分對策導引律的有效性.

兩枚導彈和目標的初始陣位設置為:xT(0)=以及VT=400 m/s,γM,1=35?,γM,2=32?,γT=180?.

兩枚導彈之間可以互相通信,兩枚導彈也均能獲得目標的信息,因此多導彈與目標之間的通信拓撲結構滿足假設1的條件.

協(xié)同微分對策導引律的目標是使得代價函數(shù)J取極小值,而攔截效果則與導彈、目標的速度以及其他設計參數(shù)有關,實際攔截情況應以仿真脫靶量為準.本節(jié)主要關注多彈對目標的攔截情況,目標過載設置為aT=0.5 g,仿真結果如圖2和圖3所示.

多導彈協(xié)同微分博弈模式下的攔截軌跡曲線如圖2所示,多導彈在攔截過程中的過載曲線aM,1(t)和aM,2(t)如圖3所示,可以看出過載是有界的,此外,兩枚導彈的最終攔截脫靶量為0.55 m和0.62 m,而且兩枚導彈的攔截時間之差為0.17 s,這意味著兩枚導彈在導引律(9)對目標實現(xiàn)了對目標的協(xié)同攔截.

為了證明本節(jié)算法有效性,增加一組仿真實驗,初始狀態(tài)與本節(jié)相同,導彈導引律為比例導引法,導引系數(shù)為4,仿真結果如圖4和圖5.

圖2 多導彈協(xié)同攔截目標的軌跡Fig.2 Trajectories of multiple missile cooperative interception against target

圖3 多導彈協(xié)同攔截目標的過載曲線Fig.3 Overload curves of multiple missiles cooperative interception against target

圖4 多導彈比例導引律下攔截目標的軌跡Fig.4 Trajectories of multiple missiles cooperative interception against target using proportional guidance law

圖5 多導彈比例導引律下攔截目標的過載曲線Fig.5 Overload curves of multiple missiles using proportional guidance laws

5 結論

本文研究了智能化體系作戰(zhàn)博弈對抗場景下的協(xié)同博弈制導問題,基于微分對策理論設計了一種新型的多導彈協(xié)同導引律,進行了協(xié)同微分對策導引律與比例導引律的對比仿真實驗,證明協(xié)同導引律較經(jīng)典的比例導引律具有更好的攔截效果.此外,協(xié)同微分對策導引律可以進一步轉化為多目標協(xié)同突防導引律,及多對多協(xié)同博弈導引律,因此,本文方法對于多對多協(xié)同博弈對抗的問題求解具有一定的啟發(fā)性,后續(xù)研究中,將進一步考慮多彈之間的過載匹配、功能匹配問題.