周美含, 姜 宏, 孫 帥

(吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院, 長春130012)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO: Multiple-input Multiple-output) 雷達(dá)是2004 年提出的一種新興雷達(dá)系統(tǒng)[1],它能將MIMO 通信與雷達(dá)領(lǐng)域相結(jié)合, 而目標(biāo)檢測作為MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)中的重要領(lǐng)域[2-4], 引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。 目前, MIMO 雷達(dá)的目標(biāo)檢測方法包含廣義似然比檢測[5]、 奈曼皮爾遜檢測[6]、 壓縮感知檢測[7]和恒虛警檢測[8]等, 這些方法雖然可以提高目標(biāo)檢測性能, 但當(dāng)存在信噪比較低、 快拍數(shù)較少甚至單快拍的情況時(shí), 檢測結(jié)果將存在較大誤差。

近年來, 考慮拓普利茲-厄米特正定(THPD: Toeplitz Hermitian Positive Definite)矩陣會在信號空間中形成流形[9-11]現(xiàn)象, 將黎曼流形應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的一個(gè)研究熱點(diǎn), 如水聲通信[12]、物理學(xué)[13]、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]、 圖像處理[15]和通信編碼[16]等領(lǐng)域。 文獻(xiàn)[17] 利用黎曼流形理論設(shè)計(jì)了一種信號分類方法; 文獻(xiàn)[18]以黎曼流形為數(shù)學(xué)理論, 研究了對稱正定矩陣的黎曼距離。 文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步擴(kuò)充了黎曼距離及黎曼均值的計(jì)算方法。 當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí), 樣本協(xié)方差矩陣則不能代替統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣,假設(shè)接收信號和噪聲的協(xié)方差矩陣位于黎曼流形上的兩點(diǎn), 則可利用流形上的最短距離即黎曼距離判斷它們的相似性。 筆者在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上, 提出一種基于黎曼流形和burg 遞推法的單基地MIMO 雷達(dá)目標(biāo)檢測新方法, 即通過burg 遞推法分別生成單快拍下接收信號和噪聲的THPD 協(xié)方差矩陣, 并求解噪聲THPD 協(xié)方差矩陣的黎曼均值, 將其與接收信號THPD 協(xié)方差矩陣間的黎曼距離作為檢測統(tǒng)計(jì)量, 并根據(jù)虛警概率以及噪聲的統(tǒng)計(jì)分布推導(dǎo)出判決閾值, 從而實(shí)現(xiàn)低信噪比和單快拍下的目標(biāo)檢測。

1 單基地MIMO 雷達(dá)信號模型

考慮一個(gè)收發(fā)陣元均為均勻線陣的單基地MIMO 雷達(dá)系統(tǒng), 分別采用M 和N 個(gè)發(fā)射陣元和接收陣元同時(shí)發(fā)射和接收信號。 假定有一個(gè)遠(yuǎn)場窄帶目標(biāo), 其收發(fā)方向角均為θ, 則接收信號矩陣可表示為

其中ar( θ) = [1, e-j2πsin(θ)d/λ,…, e-j2πsin(θ)(N-1)d/λ]T表 示 接 收 導(dǎo) 向 矢 量, at( θ) = [ 1, e-j2πsin(θ)d/λ, …,e-j2πsin(θ)(M-1)d/λ]T表示發(fā)射導(dǎo)向矢量, d 和 λ 分別表示陣元間距離和信號波長, β 為單快拍下的目標(biāo)散射系數(shù), S 為M 個(gè)發(fā)射波形組成的歸一化正交矩陣, 且SSH=IM, Z 是高斯噪聲矩陣。 對接收信號矩陣X 進(jìn)行匹配濾波和矢量化處理后, 可得到單快拍下的觀測信號矢量

其中a =at(θ)?ar(θ)為MN×1 維發(fā)射-接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量, ?為Kronecker 積; z 為處理后的MN×1 維的噪聲矢量。

2 THPD 協(xié)方差矩陣

在計(jì)算協(xié)方差矩陣的過程中, 傳統(tǒng)方法通常用樣本協(xié)方差矩陣代替統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣, 但當(dāng)快拍數(shù)較小甚至為單快拍時(shí), 這種方法將不再適用, 筆者采用burg 遞推法對觀測信號矢量y 的統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。 首先, 將y 表示為

則y 的統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣R 為一個(gè)THPD 矩陣, 可表示為

其中rm=E[y1y*m], m=1,…,MN。

對R 的每個(gè)元素進(jìn)行burg 計(jì)算, 設(shè)前、 后向預(yù)測誤差以及預(yù)測誤差功率的初始值分別為

則對階次m=1,…,MN, 前向誤差fm和后向誤差bm的遞推關(guān)系分別為

其中km為反射系數(shù), 其計(jì)算方法為[20]

其中f(p)m-1、b(p)m-1分別表示fm、bm從第p 行開始截取的子矢量, 根據(jù)反射系數(shù)及Levinson-Durbin 公式, 得burg 遞推法模型系數(shù)為

最后, 利用如下burg 遞推方法估計(jì)R 中的每個(gè)元素

3 基于黎曼流形的目標(biāo)檢測方法

3.1 黎曼距離

筆者方法的目標(biāo)是增加接收信號與噪聲間的差異性。 由于THPD 矩陣會在信號空間中形成黎曼流形, 分別使用如下兩種黎曼距離[19]進(jìn)行度量

其中Rm和Rn是黎曼流形上存在的任意兩個(gè)THPD 協(xié)方差矩陣。

3.2 黎曼均值

實(shí)際環(huán)境中得不到確切的噪聲均值, 所以需要計(jì)算多次觀測噪聲THPD 協(xié)方差矩陣的黎曼均值, 作為后續(xù)目標(biāo)檢測的噪聲均值。 假設(shè)單快拍下的觀測噪聲矢量為

由d1推導(dǎo)黎曼均值MR1: 收集L 個(gè)噪聲矢量的THPD 協(xié)方差矩陣, 用Rlz(l=1,…,L)表示, 則L 個(gè)噪聲THPD 協(xié)方差矩陣的算術(shù)平均矩陣為

根據(jù)黎曼流形的等距映射, 定義函數(shù)

對(Rlz)1/2M1進(jìn)行奇異值分解, 并將左、 右奇異值矩陣Ul、Vl與噪聲矩陣相乘, 得

其中d1(M′,M)表示M′與M之間的黎曼距離。 設(shè)局部閾值為ε, 若h＞ε, 用M″代替M繼續(xù)迭代; 若h＜ε, 迭代中止, 此時(shí)得出黎曼均值為MR1=M′。

由d2推導(dǎo)黎曼均值

3.3 目標(biāo)檢測的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

將y的THPD 協(xié)方差矩陣R與噪聲的黎曼均值MR之間的黎曼距離作為檢測統(tǒng)計(jì)量T, 即

為得到判決閾值, 分別用H0和H1表示目標(biāo)存在和不存在的情況, 根據(jù)噪聲的黎曼均值得出統(tǒng)計(jì)分布, 并定義虛警概率Pfa與閾值rα的關(guān)系為

4 仿真結(jié)果及分析

對筆者所提算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。 考慮高斯白噪聲背景, 發(fā)射和接收陣元數(shù)分別為M= 8,N= 3,收發(fā)方向角為θ=20°, 進(jìn)行1 000 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

圖1 和圖2 分別為MR1和MR2兩種黎曼均值情況下, 采用和不采用burg 處理方法的檢測概率與信噪比(SNR: Signal-to-Noise Ratio,RSNR)關(guān)系曲線。 仿真中, 虛警概率為Pfa=0.1。 仿真結(jié)果表明, 在單快拍數(shù)時(shí), 利用burg 遞推法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理是可行的, 即預(yù)先經(jīng)過burg 處理可有效提升目標(biāo)的檢測性能。

圖1 MR1情況下采用和不采用burg 處理方法對比Fig.1 Comparison of methods with MR1 and without burg under

圖2 MR2情況下采用和不采用burg 處理方法對比Fig.2 Comparison of methods with MR2 and without burg under

在驗(yàn)證了burg 遞推法的合理性后, 將筆者提出的基于黎曼距離和黎曼均值MR1和MR2的兩種檢測方法與傳統(tǒng)基于歐幾里得距離和均值ME的檢測方法進(jìn)行了性能對比, 在采用和不采用burg 遞推法的情況下, 分別得出Pfa=0.01 時(shí)檢測概率與SNR 關(guān)系曲線, 如圖3 所示, 其局部放大圖如圖4 所示。 其中MR1-burg、MR2-burg 和ME-burg 分別表示基于MR1,MR2和ME并結(jié)合burg 遞推的目標(biāo)檢測方法。

圖3 和圖4 的仿真結(jié)果表明, 這6 種方法的檢測概率都隨信噪比的增加而增加。 其中,MR1-burg 方法的檢測性能最優(yōu), 其次是MR2-burg 方法, 而ME方法最差。 尤其是在RSNR=0 時(shí),MR1-burg 方法檢測概率仍接近100%, 而此時(shí)ME方法的檢測性能嚴(yán)重下降。 因此, 筆者所提出的基于黎曼流形和burg 遞推的檢測方法始終保持優(yōu)越的檢測性能, 且適合于低SNR 和單快拍環(huán)境。

圖3 Pfa =0.01 時(shí)不同方法的性能對比Fig.3 Performance of different methods when Pfa =0.01

圖4 對圖3 的局部放大圖Fig.4 Partially enlarged view of Fig.3

5 結(jié) 語

筆者提出了一種基于黎曼流形的單基地MIMO 雷達(dá)目標(biāo)檢測方法, 該方法通過burg 遞推法分別生成單快拍下接收信號和噪聲的THPD 協(xié)方差矩陣, 并充分利用THPD 矩陣在信號空間中形成的黎曼流形,基于黎曼均值和黎曼距離實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測, 解決了低信噪比下目標(biāo)檢測性能較差的問題。 仿真結(jié)果表明,與傳統(tǒng)利用歐幾里得均值和距離進(jìn)行檢測的方法相比, 在低信噪比和單快拍的MIMO 雷達(dá)環(huán)境中, 筆者所提出的方法具有更好的目標(biāo)檢測性能。