王 晶 羅 敏 林志強(qiáng) 徐亭亭

（東北石油大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院）

超短半徑徑向側(cè)鉆水平井技術(shù)在挖潛剩余油、降低鉆井成本及提高原油產(chǎn)量等方面有著不可忽視的作用［1～4］。 目前，超短水平井技術(shù)主要采用的鉆井方法可分為高壓射流鉆井［5，6］和柔性鉆具鉆井［7，8］兩種。

國內(nèi)外學(xué)者對柔性鉆具的研究做了相關(guān)工作。 蘇義腦和趙俊平在二維井身?xiàng)l件下建立了鉸接式柔性鉆具的力學(xué)模型，并進(jìn)行了分析，得到了影響鉆頭側(cè)向力的主要參數(shù)［9］。 趙俊平等將鉸看作平面鉸，通過靜力學(xué)分析，確定了井底鉆壓與大鉤載荷之間的關(guān)系以及任一鉸鏈處的受力情況［10］。 Liu H等對柔性鉆桿進(jìn)行了力學(xué)分析，得到了柔性鉆桿所能承受的極限載荷［11］。 帥健等采用凝聚自由度的方法推導(dǎo)出含鉸接梁單元和桿系結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和載荷列陣［12，13］。 Gourley G對設(shè)計(jì)的柔性鉆具開展了實(shí)驗(yàn)研究，并對其開窗側(cè)鉆能力進(jìn)行了評價(jià)，結(jié)果表明采用柔性鉆具鉆井可提高采收率［14］。

雖然學(xué)者們對柔性鉆具開展了相關(guān)的研究工作，但是大都針對鉸接柔性鉆桿，而對于單側(cè)開槽的導(dǎo)向篩管的研究則較少。 為此，筆者根據(jù)導(dǎo)向篩管的工作狀態(tài)，采用有限單元法，建立導(dǎo)向篩管材料和接觸雙重非線性有限元模型，采用響應(yīng)面法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對優(yōu)化后的導(dǎo)向篩管進(jìn)行力學(xué)分析。

1 導(dǎo)向篩管有限元模型

1.1 物理模型

導(dǎo)向篩管是柔性鉆具的關(guān)鍵部件，在超短半徑水平井鉆井中，導(dǎo)向篩管主要傳遞軸向力。 導(dǎo)向篩管結(jié)構(gòu)如圖1 所示， 單節(jié)篩管長度l1為100mm， 豎縫長度l為58mm， 篩管豎縫寬度b為4mm，兩豎縫中心線的夾角θ為70°，篩管橫縫寬度h為4mm，外徑D為110mm，內(nèi)徑d為95mm，d′為截面形心到y(tǒng)軸的距離，y1為開縫截面上距離形心的最大距離，它與豎縫夾角有關(guān)。

1.2 有限元模型

導(dǎo)向篩管的材料為35CrMo， 彈性模量為211GPa，泊松比為0.3，屈服極限為835MPa，強(qiáng)度極限為980MPa。 以單節(jié)導(dǎo)向篩管為研究對象，采用有限單元法將導(dǎo)向篩管離散為實(shí)體單元，將導(dǎo)向篩管應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化為多線性等向強(qiáng)化模型。 當(dāng)應(yīng)力未達(dá)到屈服極限σs時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系符合彈性關(guān)系；當(dāng)應(yīng)力值超過屈服極限σs時(shí)，則為線性強(qiáng)化關(guān)系。 邊界條件為：導(dǎo)向篩管下端全固定，上端加40kN的軸向力Fy（鉆井時(shí)承受的開窗點(diǎn)軸向力），橫縫之間為接觸摩擦邊界，摩擦系數(shù)取0.3。 導(dǎo)向篩管的力學(xué)模型及有限元模型如圖2 所示。

圖1 導(dǎo)向篩管結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 導(dǎo)向篩管的力學(xué)模型及有限元模型

導(dǎo)向篩管應(yīng)力σ與應(yīng)變ε之間的關(guān)系是非線性的，物理方程可寫為：

由于橫縫寬度較小，因此導(dǎo)向篩管的變形為小變形，應(yīng)力表達(dá)的平衡方程仍是線性的，幾何關(guān)系依然成立，但是以節(jié)點(diǎn)位移列陣表示的平衡方程則是非線性的，可表示為：

其中，K（δ）為導(dǎo)向篩管的彈塑性剛度矩陣，δ、F分別為節(jié)點(diǎn)位移列陣和節(jié)點(diǎn)力列陣。

為了分析導(dǎo)向篩管橫縫上、 下表面間的接觸，分別在上、下表面創(chuàng)建接觸單元和目標(biāo)單元，采用增廣拉格朗日法計(jì)算接觸力。 將實(shí)體單元與接觸單元相結(jié)合，可以得到分析導(dǎo)向篩管材料和接觸雙重非線性的靜力學(xué)總體平衡方程：

其中，Kn（δ）為接觸剛度矩陣；Fn為接觸力列陣，是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。

上述方程均采用修正的牛頓辛普森法進(jìn)行求解。

2 導(dǎo)向篩管靜力學(xué)分析

通過對導(dǎo)向篩管的靜力學(xué)分析，得到剖切過后的導(dǎo)向篩管等效應(yīng)力云圖如圖3所示。 可以看出，單節(jié)導(dǎo)向篩管的最大等效應(yīng)力為941.81MPa，位于豎縫兩端。

為了使導(dǎo)向篩管的變形在彈性范圍內(nèi)，需以導(dǎo)向篩管危險(xiǎn)部位為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即導(dǎo)向篩管背部不能出現(xiàn)塑性應(yīng)變，所以筆者在導(dǎo)向篩管內(nèi)部受壓的危險(xiǎn)截面設(shè)置一條路徑，以這條路徑上的最大應(yīng)力為響應(yīng)參數(shù)，得到該路徑上的最大等效應(yīng)力為703.11MPa，如圖4所示。

圖3 剖切過后的導(dǎo)向篩管等效應(yīng)力云圖

圖4 自定義路徑上的等效應(yīng)力

導(dǎo)向篩管轉(zhuǎn)過的弧長如圖5所示， 最大值為1.672 6mm。 為了提高導(dǎo)向篩管的柔度，使導(dǎo)向篩管能夠更好地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向能力，需要導(dǎo)向篩管具有更大的彎曲量，所以以導(dǎo)向篩管的弧長為響應(yīng)參數(shù)， 把危險(xiǎn)截面上的最大等效應(yīng)力作為約束函數(shù)，在后續(xù)的響應(yīng)面優(yōu)化分析中求解出符合強(qiáng)度條件的導(dǎo)向篩管優(yōu)化模型尺寸。

3 優(yōu)化模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量

以導(dǎo)向篩管的轉(zhuǎn)角為響應(yīng)參數(shù)，把危險(xiǎn)截面上的最大等效應(yīng)力作為約束函數(shù)，求解出符合強(qiáng)度條件的導(dǎo)向篩管優(yōu)化模型尺寸。 該優(yōu)化問題可描述為：

圖5 導(dǎo)向篩管轉(zhuǎn)過的弧長

為了給出設(shè)計(jì)變量的取值范圍，根據(jù)幾何關(guān)系和強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算。 隨著豎縫夾角的增加，截面面積隨之增加， 距離形心的最大距離增大，慣性矩增加，最大應(yīng)力和彎矩增加，安全系數(shù)降低。

當(dāng)導(dǎo)向篩管整體結(jié)構(gòu)達(dá)到井眼曲率半徑ρ1時(shí)，強(qiáng)度條件為：

其中，N為安全系數(shù)，σmax為導(dǎo)向篩管等效應(yīng)力的最大值，E為材料的彈性模量。

導(dǎo)向篩管達(dá)到井眼曲率半徑ρ1時(shí)其初彎矩M的計(jì)算式為：

其中，Iy′為開縫截面對形心軸y′的慣性矩。

根據(jù)式（5）、（6）可以得出，井眼曲率為2.8m時(shí)導(dǎo)向篩管中心夾角不小于50°，所以在優(yōu)化過程中給出夾角的范圍為50～70°。

內(nèi)壁最大應(yīng)力強(qiáng)度條件為：

其中，ρ為彎曲導(dǎo)向篩管的曲率半徑，k1為單節(jié)導(dǎo)向篩管豎縫的長度與單節(jié)長度的比值，k1min為k1的最小值。

豎縫長度l的計(jì)算式為：

由幾何關(guān)系可得豎縫寬度最小值bmin為：

通過計(jì)算可以得出， 豎縫長度的范圍為40～70mm，豎縫寬度的范圍為2～8mm。 考慮到橫縫寬度h太小會造成加工不便，而h太大又不利于密封，綜合考慮后給出橫縫寬度的范圍為2.0～7.5mm。

3.2 響應(yīng)面法

二階響應(yīng)面模型為：

其中，xi是m維優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的第i階分量，β0、βi、βii、βij是多項(xiàng)式的待定系數(shù)。

選取n個(gè)樣本點(diǎn)， 采用最小二乘法對多項(xiàng)式的待定系數(shù)進(jìn)行確定，即：

3.3 優(yōu)化結(jié)果

通過優(yōu)化分析，得到了導(dǎo)向篩管結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化結(jié)果（表1）。

表1 導(dǎo)向篩管尺寸優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化后，導(dǎo)向篩管強(qiáng)度滿足要求，其危險(xiǎn)截面上的最大等效應(yīng)力（672.99MPa）相比原結(jié)構(gòu)的（703.11MPa）有所降低。

4 結(jié)論

4.1 以單節(jié)導(dǎo)向篩管為研究對象，根據(jù)導(dǎo)向篩管各結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，考慮導(dǎo)向篩管材料非線性及導(dǎo)向篩管橫縫之間的接觸非線性， 采用實(shí)體單元，建立了單節(jié)導(dǎo)向篩管的有限元模型，給出了數(shù)值求解方法。

4.2 通過靜力學(xué)分析，得到了導(dǎo)向篩管應(yīng)力分布狀態(tài)及危險(xiǎn)截面位置，應(yīng)力較大位置出現(xiàn)在豎縫內(nèi)壁邊緣。

4.3 采用響應(yīng)面法對導(dǎo)向篩管的主要尺寸進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后：兩豎縫中心線的夾角為62°，豎縫長度40mm，豎縫寬度4mm，橫縫寬度7.5mm。優(yōu)化后的導(dǎo)向篩管強(qiáng)度滿足要求， 整體應(yīng)力水平與原結(jié)構(gòu)相比有所降低， 轉(zhuǎn)過的弧長增加了90.8%。