福建 郭 威

帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動備受高考命題者的青睞，是歷年高考中的一個重要考點，有關(guān)理想邊界“嵌入型”交變磁場的題型對學(xué)生的核心素養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力有一定的要求，最近幾年在各地模擬考試題中時有出現(xiàn)，但測驗的結(jié)果不盡如人意，因此此類問題成為了教學(xué)中一個新的難點。學(xué)生遇到此類題型，不是無從下手就是漏答、漏解錯失分?jǐn)?shù)，究其原因，關(guān)鍵還是在于未能深入掌握該題型的命題特點和解題策略，一旦掌握了該模型的解題策略，此類問題將迎刃而解，難點不再難。

一、理想邊界“嵌入型”交變磁場模型的特點

理想邊界“嵌入型”交變磁場的情景為在較大的磁場中嵌入一個區(qū)域磁場，其模型特點為：

1.“嵌入型”磁場方向一般與外磁場方向相反，與外磁場構(gòu)成交變磁場，只受洛倫茲力的帶電粒子在理想邊界的“嵌入型”交變磁場中運(yùn)動具有往復(fù)性，軌跡就會在交變磁場中形成一條連續(xù)的反轉(zhuǎn)曲線；

2.“嵌入型”磁場的形狀為不同幾何形狀的磁場區(qū)域，可為圓形、半圓形、三角形、正方形等幾何形狀與外磁場構(gòu)成有理想邊界的交變磁場；

3.帶電粒子在磁場中運(yùn)動的半徑與入射的速度、磁場的大小及方向有關(guān)，條件不同，軌跡不同，可一旦題設(shè)條件為帶電粒子的入射初始點相同，到達(dá)終點相同，帶電粒子在交變磁場中回旋往復(fù)運(yùn)動的情景因具有周期性與對稱性的特點，速度的大小與運(yùn)動時間將是一個多解問題。

二、理想邊界“嵌入型”交變磁場模型的解題策略

1.利用“等分法”和“周期性”求解粒子入射速度大小

【調(diào)研試題1】如圖1所示，直線CD下方無磁場，上方空間存在兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是邊長為a的正方形PMQN，內(nèi)外的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點沿邊長向左側(cè)射出，要求微粒始終做曲線運(yùn)動并最終打到Q點，不計微粒的重力，外部磁場范圍足夠大，求：從P點到Q點，微粒的運(yùn)動速度大小。

圖1

圖2

圖3

【調(diào)研試題2】如圖4所示，空間存在兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電離子(不計重力)從A點沿OA方向射出。求：

(1)若向外的磁場范圍足夠大，離子自A點射出后在兩個磁場中不斷地飛進(jìn)飛出，最后又能返回A點，求其返回A點對應(yīng)離子速度的可能值。

(2)若向外的磁場是有界磁場，分布在以O(shè)點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述離子仍從A點沿OA方向射出，且離子仍能返回A點，求離子返回A點的最大速度。(可能用到的三角函數(shù)值：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan72°=3.1，tan36°=0.73)

圖5

【技巧總結(jié)】帶電粒子在半徑為R的圓形磁場中的運(yùn)動有幾個重要的特點：

①在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。

③對準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動時間越短。

④入射速度相同，運(yùn)動半徑相同時，弧長越長對應(yīng)的時間越長。

⑤不沿徑向射入的粒子，從磁場射出時，射入點和射出點連線的中點、磁場圓圓心、軌跡圓圓心在同一條直線上。

2.利用“歸納法”和“對稱性”求解粒子在磁場中的運(yùn)動時間

【調(diào)研試題3】如圖6所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點，不計微粒的重力。求：

圖6

(1)微粒在磁場中運(yùn)動的周期；

(2)從P點到Q點，微粒的運(yùn)動時間。

【解題思路】(1)由微粒在磁場中的運(yùn)動可知

(2)根據(jù)運(yùn)動的周期性可知，帶電粒子必須要經(jīng)過兩次穿越才能回到Q點，粒子的運(yùn)動軌跡將磁場邊界分成n等份(n=2，3，4……)，把n等分?jǐn)?shù)段分奇偶各作出兩個圖，找出時間的通項式，如圖7所示，觀察n=2和n=4或n=3和n=5的運(yùn)動軌跡，由對稱性可以找出以下規(guī)律，即

圖7

①當(dāng)n為偶數(shù)時，每一次穿越兩個磁場，剛好是一個整圓，t為周期的整數(shù)倍，即

②當(dāng)n為奇數(shù)時，每一次穿越兩個磁場，剛好是一個整圓再多一個優(yōu)弧，t為周期的整數(shù)倍加上最后一段的運(yùn)動時間，即

【技巧總結(jié)】無論是求解速度還是時間，都應(yīng)該以“等分法”入手，求速度時無需分奇偶討論，而求帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間，一般都需要分奇偶來討論不同的運(yùn)動，用“歸納法”得出時間的通項公式，不管“嵌入型”磁場是什么幾何形狀，帶電粒子運(yùn)動是周期性大回旋還是部分回旋，該類問題都是通法通解。

【調(diào)研試題4】如圖8所示，邊長為L的等邊三角形ABC為兩有界勻強(qiáng)磁場的理想邊界，三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，三角形外的磁場(足夠大)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B。把粒子源放在頂點A處，它將沿∠A的角平分線發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為v0的帶電粒子(粒子重力不計)。若從A射出的粒子

圖8

則下列判斷正確的是

( )

A.t1=t3

C.t1

【解題思路】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動的向心力。

根據(jù)幾何關(guān)系，作出運(yùn)動軌跡r=L，如圖9所示

圖9

圖10

【技巧總結(jié)】帶電粒子只在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，由于多種原因會使問題形成多解，如帶電粒子的電性不確定、磁場的方向不確定、初速度的方向不確定、臨界狀態(tài)不唯一、運(yùn)動的周期性、初速度的大小不確定等等。帶電粒子在“嵌入型”交變磁場運(yùn)動是一個典型的多解問題，隨著近幾年高考試題的不斷改革，試題更加趨于基礎(chǔ)，所以這類問題常常改頭換面以選擇題的形式出現(xiàn)或轉(zhuǎn)向考查最大速度、最大半徑、最短運(yùn)動時間，調(diào)研試題4以“嵌入型”交替磁場模型為背景，以選擇題的形式出現(xiàn)，只考查把邊界兩等分，題目新穎，考向明確，難度不大，應(yīng)引發(fā)關(guān)注，但萬變不離其宗，關(guān)鍵還是要進(jìn)行運(yùn)動的可能性分析，養(yǎng)成規(guī)范作圖的習(xí)慣，找出通解通法，才能以不變應(yīng)萬變。