劉博 趙瑩

摘 要：本模型是一個在消費者偏好為連續(xù)的情況下，機構(gòu)通過二階段定價，來招攬更多消費者，并提高自己總收入的模型。結(jié)論是：雖然盡早結(jié)束打折且?guī)缀鯖]有折扣能達到最大利潤，但機構(gòu)會顧及名譽而不這樣做。選擇適當(dāng)?shù)恼劭酆驼壑械臅r間依舊可以取得比無折扣更多的利潤。

關(guān)鍵詞：連續(xù)消費;二階段定價;構(gòu)造模型

一、 提出問題

筆者發(fā)現(xiàn)考試機構(gòu)報名費政策安排類似一個二階段定價問題，即：在某一時間點之前繳納報名費，會享受一定的折扣。這樣的折扣應(yīng)當(dāng)會吸引一大部分價格敏感型的考生進行報名，只要新增的報名人數(shù)足夠多，機構(gòu)便可以獲得更多的利潤，但需要安排才可以獲得最大的利潤。

二、 構(gòu)造模型

設(shè)某考試機構(gòu)在t=（0，1）的連續(xù)時間內(nèi)征收報名費P，并在1時刻舉行考試。這個考試機構(gòu)準(zhǔn)備在時間t之前按照折扣a（a≤1）征收報名費aP，他們首先要確認折扣政策相比單一定價更為有利可圖，其次準(zhǔn)備通過求出最優(yōu)的a和t來達到利潤最大化。

報考考試的考生對金錢有著不同的時間偏好，具體形式可寫成eKitM，其中Ki∈（0，1）且為均勻分布。它可以看作考生對金錢的重視程度：Ki越大，表示越愿意晚繳納報名費。

考試機構(gòu)也可以用收到的報名費進行投資，回報為連續(xù)復(fù)利的形式，即estM。其中s>1，即所有考生個人投資的回報都不會超過機構(gòu)投資的回報。

為表示出不征折扣之前和征收折扣之后的考生數(shù)量變化，應(yīng)當(dāng)構(gòu)造一個需求曲線，為求簡單，僅假設(shè)一些關(guān)鍵點。

首先，當(dāng)沒有折扣政策時，第K1個考生發(fā)現(xiàn)花Pe-K1×1的報名費和不花錢對他的效用是一樣的。則所有小于K1的人都會選擇報名，所有大于K1的人都不會報名;同理，當(dāng)有折扣時，也是小于K2的人都會選擇報名，所有大于K2的人都不會報名。

接下來求出有折扣政策時，有多少考生選擇提前繳費。對于時間一個偏好為Ki的考生，當(dāng)Pe-Ki×1≥aPe-Ki×t0時，他會選擇提前繳費。由此解得：Ki≥logat-1，設(shè)為K0。我們的需求函數(shù)有0

三、 求解模型

機構(gòu)未實行打折政策時，1時刻收入為K1P（1）;實行打折政策后，1時刻總收入為：K0P+es（1-t）（K2-K0）aP（2）。

經(jīng)計算，在a→1，t→0時，（1）<（2）一定有解，即實行打折政策會有更多收入。接下來求解最大值。對收入方程（2）右式中的a和t0求導(dǎo)，得到的一階條件為：Rt=-loga（t-1）2+aes（1-t）loga（t-1）2-（K2-logat-1）=0（3）和Ra=1a（t-1）+es（1-t）K2-logat-1-1（t-1）=0（4）。它沒有解析解。

但因為函數(shù)（3）和（4）都連續(xù)，則可以代入一些極值點。具體來說，針對（3）式令t→0，則R′t→-loga+aes（2loga-K2）（5）;再令t→1，則R′t→aes（2loga）-K2（6）。當(dāng)a→0時，（5）和（6）符號相反，所以當(dāng)a趨近于0時，最優(yōu)的t一定在（0，1）之間。當(dāng)a→1時，（5）和（6）均為負，意為當(dāng)a趨近于1時，t=0時利潤才會取得最大值。

再針對（4）式，先令a→0，則R′a→∞，再令a→1，則R′a→1（t-1）+es（1-t）K2-1（t-1）（7）經(jīng)計算，當(dāng)t=1時（7）式為0。而且當(dāng)t=0時，（7）式>0，這證明a在（0，1）區(qū)間的導(dǎo)數(shù)均為正，那么a無限趨近1才可以使得利潤達到最大。這剛好與分析（3）式時的a→1假設(shè)相吻合。

于是，模型的解為：a=1，t=0，即在0時刻征收一個無限接近于原價的報名費，才是最有利可圖的。但這樣的收費政策會讓考生覺得這個機構(gòu)過于吝嗇、唯利是圖，所以還是適當(dāng)加大折扣才能讓考生們?nèi)菀捉邮堋?/p>

作者簡介：

劉博，趙瑩，中央財經(jīng)大學(xué)中國經(jīng)濟與管理研究院。