吉偉康，王順利，鄒傳云，夏黎黎，時(shí)浩添

(西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010)

0 引言

目前，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，世界所面臨的污染問(wèn)題與交通問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)重，能源損耗過(guò)度所造成的能源危機(jī)已經(jīng)引起世界各國(guó)廣泛關(guān)注。因此，各個(gè)國(guó)家都致力于新型能源的開發(fā)與研究，以滿足巨大的能源需求，緩解環(huán)境污染問(wèn)題[1]。在眾多新能源項(xiàng)目研究成果中，鋰電池以其能量密度高、壽命長(zhǎng)、體積小、無(wú)污染、無(wú)記憶效應(yīng)、輸出功率大等優(yōu)點(diǎn)，得到業(yè)界的廣泛關(guān)注與研究，并且在新能源領(lǐng)域得到了諸多應(yīng)用，已成為新能源開發(fā)領(lǐng)域的重點(diǎn)項(xiàng)目，發(fā)展前景廣闊[2]。在鋰電池技術(shù)蓬勃發(fā)展的同時(shí)，其荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)與健康狀態(tài)(state of health,SOH)成為了鋰電研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)。準(zhǔn)確的鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)，對(duì)充分發(fā)揮鋰電池性能與實(shí)現(xiàn)對(duì)鋰電池實(shí)時(shí)狀態(tài)檢測(cè)與安全控制具有重要意義[3]。因動(dòng)力鋰電池具有強(qiáng)烈的非線性，故其SOC無(wú)法通過(guò)傳感器或其他測(cè)量手段直接獲取，必須通過(guò)測(cè)量電池電壓、工作電流、電池內(nèi)阻等物理量并采用一定的數(shù)學(xué)方法估計(jì)得到[4]。這使得鋰電池的荷電狀態(tài)估計(jì)需要依賴于針對(duì)鋰電池特性建立的等效模型。不僅如此，由于鋰電池在復(fù)雜工況下所表現(xiàn)出的強(qiáng)烈非線性特性，僅僅依靠等效模型很難準(zhǔn)確地對(duì)鋰電池特性進(jìn)行表征[5]。將由無(wú)跡卡爾曼濾波算法改進(jìn)后的平方根無(wú)跡卡爾曼算法運(yùn)用于鋰電池SOC估算，建立準(zhǔn)確的等效電路模型，可提高算法估算效果。試驗(yàn)結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)無(wú)跡卡爾曼算法，平方根無(wú)跡卡爾曼算法在SOC估算方面具有更高的精確性[6]。

1 理論分析

1.1 等效電路建模

在進(jìn)行鋰電池SOC估算時(shí)，建立電池等效模型來(lái)模擬電池工作狀態(tài)與工作特點(diǎn)十分重要。SOC的估算精度很大程度上取決于等效模型對(duì)電池動(dòng)態(tài)特性的表征程度?？紤]到方法、環(huán)境、工程應(yīng)用等多方面因素，在幾種常用等效模型中選擇等效電路模型中的Thevenin模型作為鋰電池仿真模型。Thevenin模型由內(nèi)阻模型并聯(lián)一個(gè)RC回路所構(gòu)成，具有原理簡(jiǎn)單、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，并且模型中的RC回路能夠較好地模擬電池充放電過(guò)程中的極化效應(yīng)，表征電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)[7]。Thevenin模型是常用的等效電路模型之一，其電路圖如圖1所示。

圖1 Thevenin等效電路圖Fig.1 Thevenin equivalent circuit model

圖1中：UOC為開路電壓；UL為電路端電壓；Ro為歐姆內(nèi)阻；RP為極化電阻；CP為極化電容。

采用Ro反映鋰電池放電以及放電結(jié)束瞬間電池端電壓變化，RP和CP的并聯(lián)電路表征電池充放電過(guò)程中的極化效應(yīng)[8]。由圖1的電路模型可得電路方程：

(1)

對(duì)應(yīng)圖1，以電池放電時(shí)的電流方向?yàn)檎?、充電時(shí)電流方向?yàn)樨?fù)，用UP(0)表示電池極化過(guò)程的初始電壓，并根據(jù)τ=RPCP，可建立如式(2)所示的Thevenin等效電路模型時(shí)域關(guān)系方程。

(2)

1.2 模型參數(shù)辨識(shí)

為建立能夠模擬電池工作狀態(tài)的等效電路模型，選用三元鋰電池進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)。電池的額定容量為70 A，經(jīng)過(guò)三次完整充放電試驗(yàn)測(cè)得電池的實(shí)際容量為68.2 A。在溫度為25 ℃條件下，對(duì)電池進(jìn)行混合動(dòng)力充放電(hybrid pulse power characterization,HPPC)試驗(yàn)。通過(guò)電路關(guān)系方程式以及構(gòu)建的參數(shù)方程對(duì)模型中的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真辨識(shí)結(jié)果對(duì)模型精確度進(jìn)行驗(yàn)證。

為獲取模型參數(shù)辨識(shí)所需的電壓、電流等數(shù)據(jù)，對(duì)三元鋰電池進(jìn)行HPPC試驗(yàn),分析在特定溫度條件下下電池的工作過(guò)程以求取所需參數(shù)。HPPC試驗(yàn)一次充放電循環(huán)的電壓與電流變化曲線如圖2所示。

在圖2(a)所示的電壓變化曲線中，造成電池放電以及放電結(jié)束瞬間電壓突變的原因是電池歐姆內(nèi)阻的分壓作用，分別對(duì)應(yīng)U1～U2以及U3～U4段；造成電壓緩慢下降與緩慢回升的原因是電池的極化效應(yīng)，分別對(duì)應(yīng)U2～U3以及U4～U5段。利用式(1)中等效電路端電壓與參數(shù)之間的關(guān)系，可建立參數(shù)方程：

圖2 HPPC試驗(yàn)數(shù)據(jù)變化曲線Fig.2 Data change curves of HPPC experiment

(3)

三個(gè)參數(shù)a、b、c為曲線擬合目標(biāo)系數(shù)，與模型參數(shù)具有如下關(guān)系：

(4)

根據(jù)式(4)所示的辨識(shí)系數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系，再通過(guò)曲線擬合得到的具體辨識(shí)系數(shù)，就可以得到在不同SOC值下各個(gè)模型參數(shù)的具體數(shù)值。

3.3 平方根無(wú)跡卡爾曼迭代計(jì)算

目前，常用的電池荷電狀態(tài)估算方法有以下幾種：開路電壓法、安時(shí)積分法以及卡爾曼濾波法。①開路電壓法無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)電池SOC的實(shí)時(shí)在線估計(jì)。②安時(shí)積分法雖然能夠滿足實(shí)時(shí)SOC估計(jì)的要求，但由于其計(jì)算過(guò)程容易產(chǎn)生較大的累積誤差，故不適用于精度較高的SOC估算場(chǎng)合。③卡爾曼濾波(Kalman filter，KF)算法，以其能夠?qū)崟r(shí)估算SOC值并且具有較高估算精度等優(yōu)點(diǎn)，成為目前SOC估計(jì)的研究熱點(diǎn)[9]。KF算法是由時(shí)域內(nèi)的狀態(tài)空間理論創(chuàng)立的濾波理論，算法的核心思想是對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行小均方意義上的最優(yōu)估計(jì)，利用“預(yù)測(cè)估計(jì)預(yù)測(cè)”的算法體系提高系統(tǒng)估算精度。然而，KF算法只適用于線性系統(tǒng)，在鋰電池工作過(guò)程中，大部分呈現(xiàn)出非線性特性，必須首先運(yùn)用卡爾曼波算法將非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。這個(gè)過(guò)程會(huì)引入誤差[10-11]。

平方根無(wú)跡卡爾曼濾波算法(square root unscented Kalman filter，SR-UKF)是基于無(wú)跡卡爾曼算法(unscented Kalman filter，UKF)改進(jìn)的算法，它與無(wú)跡卡爾曼算法一樣，摒棄了對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化的做法，直接對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行處理[12]。它與無(wú)跡卡爾曼算法最大的區(qū)別在于：SR-UKF算法用狀態(tài)變量的誤差協(xié)方差的平方根來(lái)代替狀態(tài)變量的誤差協(xié)方差，直接將協(xié)方差的平方根值進(jìn)行傳遞，避免在每一步中都進(jìn)行再分解。該方法能夠保證狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣的半正定性和數(shù)值的穩(wěn)定性，從而克服濾波發(fā)散。相對(duì)于UKF而言，SR-UKF在鋰電池SOC估算中具有更高的精確性和抗干擾性[13]。SR-UKF算法示意圖如圖3所示。

圖3 SR-UKF算法示意圖Fig.3 Flowchart of SR-UKF algorithm

平方根無(wú)跡卡爾曼算法使用了三種強(qiáng)大的線性代數(shù)技術(shù)，分別是QR分解、Cholesky因子更新和高效最小二乘法。平方根無(wú)跡卡爾曼算法的具體算法流程主要包括四個(gè)部分，分別是初始化、Sigma點(diǎn)采集、時(shí)間更新和狀態(tài)更新[14]。

(1)初始化。

確定狀態(tài)變量初始值和誤差協(xié)方差的初始值P0，S0是協(xié)方差P0的cholesky分解因子，初始值確定如式(5)所示。

(5)

(2)Sigma點(diǎn)采集。

(6)

(3)時(shí)間更新。

在得到(k-1)時(shí)刻的狀態(tài)變量及輸入變量的值的基礎(chǔ)上，通過(guò)狀態(tài)方程對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行一步預(yù)測(cè)。

(7)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)式(7)狀態(tài)變量的一步預(yù)測(cè)結(jié)果，由觀測(cè)方程得出觀測(cè)變量的一步預(yù)測(cè)值如下所示。Syk表示k時(shí)刻觀測(cè)變量的誤差協(xié)方差的平方根更新值。

(11)

(12)

(13)

(14)

(4)狀態(tài)更新。

狀態(tài)變量與觀測(cè)變量的互協(xié)方差將直接影響卡爾曼增益的大小，而卡爾曼增益的準(zhǔn)確度將影響SOC的估計(jì)效果?；f(xié)方差與卡爾曼增益的計(jì)算式如式(15)與式(16)所示。其中，yk為k時(shí)刻的試驗(yàn)測(cè)量值。

(15)

(16)

(17)

在SR-UKF算法中，通過(guò)Cholesky因數(shù)分解，計(jì)算狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣的平方根來(lái)初始化濾波器。然而，在隨后的迭代中，傳播和更新的Cholesky因子直接形成了Sigma點(diǎn)。Cholesky因子的時(shí)間更新Sxk是采用包含加權(quán)傳播的Sigma點(diǎn)加上過(guò)程噪聲協(xié)方差的矩陣平方根的復(fù)合矩陣的QR分解來(lái)計(jì)算的，隨后進(jìn)行的Cholesky更新是必不可少的。這兩步替換了狀態(tài)變量協(xié)方差中Px,k|k-1的時(shí)間更新，克服了UKF算法穩(wěn)定性差的缺陷，同時(shí)保證了協(xié)方差矩陣的半正定性[15-16]。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

在對(duì)鋰電池進(jìn)行合理建模并對(duì)平方根無(wú)跡卡爾曼算法進(jìn)行SOC估算應(yīng)用的基礎(chǔ)上，為了驗(yàn)證等效電路模型的準(zhǔn)確性以及算法對(duì)SOC估算的精確性，在各種工況條件下對(duì)模型估算精度、估算收斂性以及模型仿真對(duì)真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)跟蹤性進(jìn)行研究，得出相關(guān)結(jié)論。

2.1 參數(shù)辨識(shí)效果分析

對(duì)于等效模型的參數(shù)辨識(shí)，根據(jù)前文中的參數(shù)辨識(shí)理論基礎(chǔ)，選用70 Ah三元鋰電池，在25 ℃的恒溫條件下對(duì)進(jìn)行脈沖放電測(cè)試試驗(yàn)。通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得的電壓電流數(shù)據(jù)，計(jì)算得出的不同SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)，如表1所示。

表1 不同 SOC 狀態(tài)下的模型參數(shù)Tab.1 Model parameters under different SOC states

根據(jù)表1求出的Ro、Rp、Cp、Uoc模型參數(shù)值，分別與對(duì)應(yīng)的SOC值進(jìn)行曲線擬合，設(shè)定合適的擬合階數(shù)，得到各個(gè)模型參數(shù)與SOC的關(guān)系曲線。將相應(yīng)曲線表達(dá)函數(shù)分別導(dǎo)入MATLAB/Simulink的仿真模塊，利用安時(shí)積分法得到的SOC對(duì)Thevenin模型進(jìn)行仿真，將電池的開路電壓作為數(shù)據(jù)輸出，與HPPC試驗(yàn)所得的真實(shí)電壓相比較，并且計(jì)算出模型估算誤差。電壓對(duì)比及誤差分布如圖4所示。

圖4 電壓對(duì)比及誤差分布圖Fig.4 Comparison and error distribution of voltage

通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比得出，HPPC測(cè)試條件下模型表征最大電壓絕對(duì)誤差約為42 mV，平均絕對(duì)誤差約為22 mV，模型最大辨識(shí)誤差約為1.1%，平均辨識(shí)精度在99.3%以上。通過(guò)試驗(yàn)與仿真，驗(yàn)證了Thevenin模型的表征精確性與可行性。

2.2 恒流放電工況效果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證平方根無(wú)跡卡爾曼算法的實(shí)用性與精度，在25 ℃的溫度條件下，對(duì)額定容量為70 Ah的三元鋰電池進(jìn)行恒流放電，得到電池的真實(shí)SOC變化數(shù)據(jù)；在MATLAB/Simulink中運(yùn)用模型和算法對(duì)電池的SOC值進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到仿真SOC預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；將真實(shí)值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，并計(jì)算誤差。SOC對(duì)比及誤差分布如圖5所示。

圖5 SOC對(duì)比及誤差分布圖Fig.5 Comparison and error distribution of SOC

在放電初期，算法預(yù)測(cè)值與真實(shí)SOC值具有較大誤差。這是由于電池自身的非線性所造成的，在短時(shí)間內(nèi)預(yù)測(cè)值迅速跟蹤到真實(shí)值，說(shuō)明平方根無(wú)跡卡爾曼算法具有良好的收斂效果。當(dāng)算法收斂后，SOC的估算誤差穩(wěn)定在0.58%以內(nèi)，驗(yàn)證了SR-UKF算法在恒流放電工況下對(duì)SOC的估算具有較高精度。

2.3 DST工況效果驗(yàn)證

動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(dynamic stress test,DST)工況是美國(guó)聯(lián)邦城市運(yùn)行工況簡(jiǎn)化后的一種復(fù)雜工況，對(duì)驗(yàn)證算法的SOC估算效果具有重要作用。為進(jìn)一步檢驗(yàn)SR-UKF算法的SOC估算精度，在25 ℃的溫度條件下，對(duì)額定容量為70 A的三元鋰電池進(jìn)行DST工況測(cè)試，運(yùn)用模型與算法對(duì)鋰電池SOC值進(jìn)行估算，并將UKF算法與SR-UKF算法在相同條件下的估算結(jié)果相比較，DST工況算法SOC估算結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖6 DST工況算法SOC估算結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of SOC estimation results of DST algorithm

試驗(yàn)結(jié)果表明，在DST工況下，SR-UKF算法對(duì)鋰電池SOC值的估算具有較高的精確性，估算誤差穩(wěn)定在0.55%以內(nèi)。相較于UKF算法，SR-UKF 算法不但具有減少計(jì)算量的優(yōu)點(diǎn)，并且在放電初期和末期對(duì)鋰電池非線性特性的處理更加有效，具有更高的SOC估算精度。試驗(yàn)驗(yàn)證了算法的改進(jìn)價(jià)值，對(duì)鋰電池荷電狀態(tài)的估算研究具有一定意義。

3 結(jié)論

為了對(duì)鋰電池SOC進(jìn)行準(zhǔn)確估算，利用等效電路模型對(duì)鋰電池特性進(jìn)行表征，模擬其工作狀態(tài)。通過(guò)HPPC試驗(yàn)得到電池充放電狀態(tài)中的電流、電壓數(shù)據(jù)，根據(jù)定義求出鋰電池SOC值，運(yùn)用曲線擬合法建立SOC與等效模型中各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，在MATLAB/Simulink中進(jìn)行仿真。對(duì)比電壓估算曲線與真實(shí)電壓曲線，得到模型辨識(shí)精度在1.1%以內(nèi)。利用恒流放電工況測(cè)試和DST對(duì)SR-UKF算法的SOC估算精確度進(jìn)行驗(yàn)證，預(yù)測(cè)誤差分別在0.58%和0.55%以內(nèi)，相較于無(wú)跡卡爾曼濾波算法有較大精確度提升，驗(yàn)證了算法的改進(jìn)意義和精確性。本文研究對(duì)鋰電池SOC估算算法提供了改進(jìn)思路，具有一定研究意義。