趙艷影， 黃小衛(wèi)

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院， 南昌 330063)

在中國(guó)鐵路高速化的背景下，列車運(yùn)行速度不斷提高。隨著列車的提速，車輛的振動(dòng)性能不斷惡化。目前對(duì)高速列車減振技術(shù)的研究主要集中在車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)控制律、半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)減振器三個(gè)方面。對(duì)車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究主要集中研究非線性輪軌接觸[1]、動(dòng)力學(xué)分岔[2]、蛇形動(dòng)力學(xué)行為[3]、動(dòng)力學(xué)仿真模型[4]、懸掛系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)等[5]幾個(gè)方面?，F(xiàn)代車輛正朝著安全、舒適的方向發(fā)展，因軌道不平順導(dǎo)致的車體振動(dòng)引起了學(xué)者們的關(guān)注，懸掛系統(tǒng)智能化解決了傳統(tǒng)被動(dòng)懸掛存在的舒適性和穩(wěn)定性不能兼顧的問(wèn)題。主動(dòng)懸掛系統(tǒng)是在懸掛系統(tǒng)中加入受控作動(dòng)器，以抑制車體的振動(dòng)[6]。雖然主動(dòng)懸掛性能最優(yōu)，但是也存在內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜、成本高、耗能高等問(wèn)題，尤其重要的是不能控制在懸掛失效時(shí)的穩(wěn)定性，這些缺陷導(dǎo)致其在實(shí)際列車上應(yīng)用不多。針對(duì)主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的缺點(diǎn)，半主動(dòng)懸掛因其結(jié)構(gòu)大大簡(jiǎn)化以及控制效果良好等優(yōu)勢(shì)應(yīng)運(yùn)而出[7]。時(shí)間滯后，簡(jiǎn)稱時(shí)滯，是系統(tǒng)中存在的時(shí)間延遲現(xiàn)象，所有的控制系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)滯現(xiàn)象[8]，它可以在信號(hào)的測(cè)量、采集、傳遞等過(guò)程中，也可以存在于目標(biāo)的反應(yīng)過(guò)程中。針對(duì)半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)中的時(shí)滯問(wèn)題，目前得到的一般結(jié)論是：時(shí)滯對(duì)控制系統(tǒng)具有顯著的惡化影響[9]，從而提出了時(shí)滯研究的必要性[10]。這種惡化影響主要體現(xiàn)在時(shí)滯對(duì)車輛運(yùn)行平穩(wěn)性[11]、蛇形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)[12]等，針對(duì)車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的仿真[13]研究也證實(shí)了時(shí)滯是半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的不利因素。采用合理的控制律進(jìn)行時(shí)滯補(bǔ)償或時(shí)滯消除的方法，可以減小時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，一般都能夠使得控制系統(tǒng)得到明顯改善。然而，研究也發(fā)現(xiàn)，時(shí)滯對(duì)車輛懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響不是一成不變的，在某些時(shí)滯的區(qū)間內(nèi)，時(shí)滯的存在能夠改善懸掛系統(tǒng)的性能[14]，通過(guò)對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能夠有效降低車身加速度[15]，從而提供了利用時(shí)滯的可能。本文及文獻(xiàn)[16]對(duì)兩自由度高速列車半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的垂向振動(dòng)進(jìn)行研究，考慮了二系懸掛中的剛度三次非線性，重點(diǎn)討論時(shí)滯反饋控制對(duì)車體振幅的影響規(guī)律，從而能夠利用時(shí)滯改善懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

1 懸掛系統(tǒng)的控制微分方程

圖1是高速列車半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)垂向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 高速列車半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型Fig.1 Vertical vibration model of semi-active suspension system of high-speed train

ks[yb(t)-yc(t)]-δ[yb(t)-yc(t)]3=0

(1)

kp[y0(t)-yb(t)]+ks[yb(t)-yc(t)]+

δ[yb(t)-yc(t)]3=0

(2)

式中：yb和yc分別表示轉(zhuǎn)向架和車體的位移；y0表示軌道不平順激勵(lì)，將其簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧外激勵(lì)的形式：y0=Fcos(Ωt)，F(xiàn)為外激勵(lì)振幅，Ω為外激勵(lì)頻率。當(dāng)fs=0時(shí)，反饋控制項(xiàng)消失，振動(dòng)系統(tǒng)退化為非線性的被動(dòng)控制系統(tǒng)。當(dāng)τ=0時(shí)，時(shí)滯反饋控制項(xiàng)消失，振動(dòng)系統(tǒng)退化為非線性主動(dòng)無(wú)時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)。

高速列車懸掛系統(tǒng)的物理參數(shù)參照CRH5選取，如表1所示。

表1 懸掛系統(tǒng)物理參數(shù)

2 線性系統(tǒng)的幅頻及減振特性

首先，不考慮非線性因素，分析線性系統(tǒng)的振動(dòng)特性。圖2分別給出了線性被動(dòng)減振系統(tǒng)(即fs=0，τ=0，δ=0)，在不存在阻尼和存在阻尼兩種情況下垂向振動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線，其中外激勵(lì)振幅選擇為F=40 mm。

圖2 車體的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curves of vehicle body

從圖2可以看出，當(dāng)懸掛系統(tǒng)存在阻尼時(shí)，二階模態(tài)頻率ω2=6.39 rad/s對(duì)應(yīng)的車體振幅峰值基本消失，只有一階模態(tài)頻率ω1=2.24 rad/s對(duì)應(yīng)的車體振幅最大，振動(dòng)最惡劣，振幅最大值可達(dá)0.19 m。

下面考慮在外激勵(lì)頻率趨近系統(tǒng)一階振動(dòng)模態(tài)頻率時(shí)線性時(shí)滯反饋控制的減振特性，得到的車體振幅隨反饋增益系數(shù)和時(shí)滯變化如圖3所示。

圖3 反饋增益系數(shù)和時(shí)滯對(duì)車體振幅的影響Fig.3 Effects of gain and time delay on amplitude of vehicle body

由圖3可以看出，車體振幅A受到反饋增益系數(shù)和時(shí)滯兩個(gè)控制參數(shù)的影響，對(duì)于某一特定的時(shí)滯參數(shù)，反饋增益系數(shù)fs=-7 506.18 (N·s)/m時(shí)車體的振幅最小，因此可選定反饋增益系數(shù)為fs=-7 506.18 (N·s)/m。反饋增益系數(shù)確定之后，可以在某些時(shí)滯區(qū)間選擇時(shí)滯參數(shù)達(dá)到抑制車體振幅的目的，但同時(shí)要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的狀態(tài)下工作，在此對(duì)線性時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)不做詳細(xì)介紹。下面考慮非線性系統(tǒng)及時(shí)滯反饋控制的效果。

3 非線性系統(tǒng)的近似多尺度法

對(duì)非線性時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)，采用多尺度方法結(jié)合模態(tài)設(shè)解的方法進(jìn)行分析。首先，將式(1)、式(2)寫(xiě)成矩陣的形式為

(3)

將式(3)的解設(shè)為模態(tài)解的形式y(tǒng)c=q1+q2，yb=r1q1+r2q2，即：

(4)

式(4)為(yc,yb)與(q1,q2)兩組坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，其中坐標(biāo)變換矩陣設(shè)為u，其轉(zhuǎn)置為uT。

(5)

將式(4)代入式(3)，再將式(3)左乘矩陣uT得：

(6)

(7)

為方便采用多尺度方法進(jìn)行攝動(dòng)分析，將各量標(biāo)注如下：mc=m1，mb=m2，ks=k1，kp=k2，cs=εc1，cp=εc2，δ=εδ，fs=εfs，fs=εfs。則式(7)可寫(xiě)為

δ(1-r1)(q1+q2-r1q1-r2q2)3]

(8)

εr2k2fcos(Ωt)-ε[c1-r1c1-r2c1+

δ(1-r2)(q1+q2-r1q1-r2q2)3]

(9)

采用多尺度法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，求解式(8)、式(9)的二階近似解，將解的形式表示為

(10)

式(10)中：時(shí)間尺度Tr為新引入的自變量，Tr=εrt，r=0,1,2,…，偏導(dǎo)算子為

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(10)～式(14)代入到式(8)、式(9)中，并比較ε同次冪，得到：

ε0:

(15)

(16)

ε1:

r1r2(c1+c2)]D0q21-[(1-r1)fs(D0q11τ+

D0q21τ)+δ(1-r1)(q11+q21-r1q11-

r2q21)3]+r1k2fcos(Ωt)

(17)

[c1-2r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r2)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r2)

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r2k2fcos(Ωt)

(18)

ε0:

(19)

(20)

ε1:

[c1-r1c1-r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r1)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r1)×

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r1k2fcos(Ωt)}

(21)

[c1-2r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r2)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r2)×

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r2k2fcos(Ωt)}

(22)

設(shè)微分方程組的解為

q11=A(T1)eiω1T0+cc

q21=B(T1)eiω2T0+cc

(23)

式中:A和B是未知的函數(shù)；cc代表其前面各項(xiàng)的共軛。外激勵(lì)項(xiàng)和時(shí)滯項(xiàng)可以表示為

(24)

(25)

將式(24)、式(25)代入到式(21)、式(22)中得：

K3e3iω1T0+K4e3iω2T0+K5eiT0(-2ω1+ω2)+

K6eiT0(2ω1+ω2)+K7eiT0(-ω1+2ω2)+

K8eiT0(ω1+2ω2)+K9eiω1(T0-τ)+

K10eiω2(T0-τ)+K11eiΩT0]+cc

(26)

K14e3iω1T0+K15e3iω2T0+K16eiT0(-2ω1+ω2)+

K17eiT0(2ω1+ω2)+K18eiT0(-ω1+2ω2)+

K19eiT0(ω1+2ω2)+K20eiω1(T0-τ)+

K21eiω2(T0-τ)+K22eiΩT0]+cc

(27)

4 非線性系統(tǒng)平衡解線性系統(tǒng)的幅頻及減振特性

由系統(tǒng)幅頻曲線可以看出，車體的一階模態(tài)振幅最大。下面研究外激勵(lì)頻率趨近系統(tǒng)的一階模態(tài)頻率時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的平衡解。為此，引進(jìn)及分別表示外主共振解諧參數(shù)和1∶3內(nèi)共振解諧參數(shù)為

(28)

式(26)、式(27)可寫(xiě)成如下形式：

K3e3iω1T0+K4e3i(3ω1+εσ2)T0+

K5eiT0(ω1+εσ2)+K6eiT0(5ω1+εσ2)+

K7eiT0(5ω1+2εσ2)+K8eiT0(7ω1+2εσ2)+

K9eiω1(T0-τ)+K10ei(3ω1+εσ2)(T0-τ)+

K11ei(ω1+εσ1)T0}+cc

(29)

K14ei(ω2-εσ2)T0+K15e3iω2T0+

(30)

得到式(29)、式(30)的可解性條件，并化簡(jiǎn)得到：

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式中：φ1=θ2-3θ1+σ2T1，φ2=σ1T1-θ1。

為了確定對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的定常解振幅和相位，即在a′=b′=φ′1=φ′1-3φ′2=0時(shí)的平衡解，以判斷平衡解的穩(wěn)定性，首先將式(33)～式(36)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系下：為此，設(shè)：s1=acosφ2，d1=asinφ2，s2=bcos(φ1-3φ2)，d2=bsin(φ1-3φ2)，則式(33)～式(36)變?yōu)?/p>

(37)

(38)

s′2=b′cos(φ1-3φ2)-b(φ′1-3φ′2)×

(39)

d′2=b′sin(φ1-3φ2)+b(φ′1-3φ′2)×

(40)

5 非線性系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制

車體的位移形式可以近似表達(dá)為

yc=q1+q2=q11+q21+ε(q12+q22)+

ε2(q13+q23)+…≈q11+q21≈

acos[ω1T0+θ1(T1)]+

bcos[ω2T0+θ2(T1)]=y1+y2

(41)

式(41)中：y1=acos[ω1T0+θ1(T1)]，y2=bcos[ω2T0+θ2(T1)]。

圖4 車體的幅頻響應(yīng)曲線aFig.4 Amplitude-frequency response curves a of vehicle body

從圖4、圖5可以看出，當(dāng)外激勵(lì)在主共振點(diǎn)右側(cè)(即εσ1>0.5)，振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了多解現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)某一個(gè)確定的外激勵(lì)頻率有三個(gè)解支，其中上下兩條曲線是穩(wěn)定的，中間的曲線是不穩(wěn)定的。根據(jù)非線性系統(tǒng)的特性很容易判斷，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的初始條件較小時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)振幅較小的解支；當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的初始條件較大時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)振幅較大的解支。而且容易觀察到，振幅a的量級(jí)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振幅b的量級(jí)，因此對(duì)于主動(dòng)控制系統(tǒng)，重點(diǎn)討論采用時(shí)滯反饋控制振動(dòng)系統(tǒng)在主共振點(diǎn)及其附近對(duì)振幅a的控制效果。以外激勵(lì)頻率分別在εσ1=-0.2 rad/s、εσ1=0和εσ1=0.2 rad/s三點(diǎn)為例進(jìn)行研究。圖6是時(shí)滯系統(tǒng)的車體振幅隨時(shí)滯量的變化曲線，根據(jù)以上分析，反饋增益系數(shù)選擇為fs=-7 506.18 (N·s)/m。

從圖6可以看出，振幅a隨著時(shí)滯量的變化呈現(xiàn)周期性的變化趨勢(shì)，有波峰和波谷，這說(shuō)明時(shí)滯對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的振幅有調(diào)節(jié)作用。理論上存在某些時(shí)滯區(qū)間，在這些區(qū)間內(nèi)振動(dòng)系統(tǒng)的振幅有明顯的減小，可以在這些時(shí)滯的減振區(qū)間內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)滯量，以達(dá)到抑制車體振幅的目的。然而在某些時(shí)滯區(qū)間內(nèi)，由于時(shí)滯量的出現(xiàn)導(dǎo)致了系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的振動(dòng)將更加惡劣，在實(shí)際工作中應(yīng)避免將時(shí)滯調(diào)節(jié)到不穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)。

圖5 車體的幅頻響應(yīng)曲線bFig.5 Amplitude-frequency response curves b of vehicle body

圖6 車體的振幅-時(shí)滯響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude-delay response curves of vehicle body

6 數(shù)值模擬

圖7 車體時(shí)間歷程響應(yīng)曲線Fig.7 Time history response curves of vehicle body

從圖7中車體位移的時(shí)間歷程響應(yīng)曲線可以看出，圖7(a)為被動(dòng)系統(tǒng)，振幅約為0.19 m。圖7(b)為采用時(shí)滯反饋控制，且時(shí)滯量為零時(shí)的情況，可以看出系統(tǒng)的振幅增大了，振幅約為0.24 m，說(shuō)明采用無(wú)時(shí)滯的反饋控制系統(tǒng)的振幅反而增大了。圖7(c)為在時(shí)滯減振區(qū)間內(nèi)的選擇的時(shí)滯量，當(dāng)時(shí)滯量選擇為τ=0.8 s時(shí)，振幅減小了，約為0.17 m，說(shuō)明時(shí)滯反饋有抑制系統(tǒng)振幅的作用。圖7(d)為在時(shí)滯減振區(qū)間內(nèi)的選擇的一個(gè)最佳時(shí)滯量，當(dāng)時(shí)滯量選擇為τ=1.35 s時(shí)，振幅減小到最小值，約為0.16 m，說(shuō)明時(shí)滯量的合理選擇能夠達(dá)到最好的減振狀態(tài)。實(shí)際上時(shí)滯量的最佳減振點(diǎn)不是唯一的，當(dāng)選擇為τ=4.16 s也能到達(dá)最佳減振效果。

7 結(jié)論

對(duì)兩自由度高速列車半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)的垂向振動(dòng)進(jìn)行研究，考慮了二系懸掛中的剛度三次非線性。通過(guò)利用設(shè)模態(tài)解、方程解耦、多尺度等方法對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到了系統(tǒng)的二次近似解析解，分析了系統(tǒng)在主外共振和1∶3內(nèi)共振同時(shí)存在時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為。采用時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的振動(dòng)，分別對(duì)線性和非線性時(shí)滯減振性能進(jìn)行了分析，得到的主要結(jié)論如下：

(1)所用到的物理參數(shù)都是有實(shí)際量綱的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上對(duì)懸掛系統(tǒng)進(jìn)行的分析和計(jì)算都是有實(shí)際物理意義的，對(duì)工程實(shí)際有重要參考價(jià)值。

(2)對(duì)線性被動(dòng)控制系統(tǒng)，得到了振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，由于二階模態(tài)的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于一階模態(tài)的振幅，重點(diǎn)研究了當(dāng)外激勵(lì)頻率趨近一階模態(tài)頻率和1∶3內(nèi)共振的同時(shí)存在時(shí)采用時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的振動(dòng)。

(3)對(duì)線性時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)，得到了車體振幅相對(duì)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯變化的圖形，找到了最佳的反饋增益系數(shù)。針對(duì)所有的時(shí)滯，當(dāng)反饋增益系數(shù)取得該值時(shí)車體的振幅最小。

(4)對(duì)非線性時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)，得到了車體振幅隨著時(shí)滯量變化的響應(yīng)曲線，得到了時(shí)滯的減振區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)選擇時(shí)滯量能夠達(dá)到抑制車體振幅的目的。并且存在一些時(shí)滯的最佳值，當(dāng)時(shí)滯選擇該數(shù)值時(shí)車體的振動(dòng)能夠抑制到最小。

(5)時(shí)滯是可以利用的控制參數(shù)，合理地利用時(shí)滯能夠達(dá)到抑制系統(tǒng)振動(dòng)的目的；同時(shí)時(shí)滯也是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素，在某些時(shí)滯區(qū)間能夠?qū)е孪到y(tǒng)失去穩(wěn)定導(dǎo)致破壞。

(6)數(shù)值模擬結(jié)果和解析結(jié)果吻合，證明了結(jié)果的正確性和可靠性。