邊 杰，鄭錦妮，陳亞農(nóng)，徐友良，2

（1.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所；2.中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3.直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室：湖南株洲412002）

0 引言

彈性支承作為1 種支承結(jié)構(gòu)，普遍用于中小型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子支承中，可用于調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速且具有減振降幅的功能。為了保證轉(zhuǎn)子安全運(yùn)行，在彈性支承的彈條上粘貼應(yīng)變片，通過(guò)測(cè)量彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)監(jiān)測(cè)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)狀態(tài)。彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)常受其他信號(hào)干擾，由于噪聲信號(hào)的存在，使轉(zhuǎn)子固有的特征信息反而不明顯。為此，通常在對(duì)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)進(jìn)行頻譜分析前作降噪處理，減小噪聲對(duì)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的影響。

目前，基于時(shí)頻信號(hào)分解方法的信號(hào)降噪技術(shù)的快速發(fā)展，建立了如小波變換（Wavelet Transform，WT）[1]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）[2]、集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）[3-4]以及互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）和排列熵的小波閾值[5]的降噪方法等。小波降噪方法基于小波變換或小波閾值降噪，對(duì)于噪聲頻帶和有用信號(hào)相互分離時(shí)的確定性噪聲能基本降噪；但在噪聲頻帶和有用信號(hào)相互疊加時(shí)，降噪效果不明顯[6]。無(wú)論EMD、EEMD 還是CEEMD 降噪方法，都是基于EMD、EEMD 和CEEMD 分解。受這些方法自身的影響，如EMD 分解不穩(wěn)定、存在模態(tài)混疊現(xiàn)象，導(dǎo)致某一固有模態(tài)分量中包含不同尺度的信號(hào)或相似尺度信號(hào)存在于不同模態(tài)分量中[7]。EEMD 和CEEMD降噪方法在原始信號(hào)中加入了白噪聲，使得分解結(jié)果受到殘余噪聲的影響。

近年來(lái)，在時(shí)頻信號(hào)分解方法研究成果的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合樣本熵（Sample Entropy，SampEn）、奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）及峭度系數(shù)等，提出用于彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪的方法，并對(duì)幾種方法的降噪效果和計(jì)算效率進(jìn)行對(duì)比，得到1 種用于彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪的最有效方法。

1 時(shí)頻信號(hào)分解方法

1.1 EMD 方法

EMD 方法是1 種自適應(yīng)的信號(hào)分解方法，對(duì)于信號(hào)x（t），EMD 的分解步驟如下[8]：

（1）使用3 次樣條曲線分別連接相鄰的局部極值點(diǎn)，得到上、下包絡(luò)線。

（2）將上、下包絡(luò)進(jìn)行平均，得到均值m（t）。

（3）計(jì)算h（t）=x（t）-m（t）。

（4）對(duì)h（t）重復(fù)步驟（1）～（3），直至m（t）接近于0。則h（t）為IMF 分量，記為c（t）。

（5）計(jì)算余項(xiàng)r（t）=x（t）-c（t）。

（6）將r（t）替代x（t）重復(fù)步驟（1）～（5），得到下一個(gè)IMF 分量和余項(xiàng)。

因此，信號(hào)x（t）經(jīng)EMD 分解后進(jìn)行重構(gòu)為

式中：ci（t）為第i 個(gè)IMF 分量；rn（t）為第n 個(gè)余項(xiàng)。

1.2 CEEMDAN 方法

對(duì)于給定信號(hào)x [n]，由EMD 方法分解得到第階模態(tài)定義為Ej（·），自適應(yīng)噪聲完備集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise，CEEMDAN）的分解過(guò)程如下[9]：

（1）使用EMD 方法對(duì)信號(hào)x[n]+ε0ωi（n）進(jìn)行I 次試驗(yàn)，分解得到第1 個(gè)模態(tài)為

（2）在第1 階段（k=1），計(jì)算第1 個(gè)殘量信號(hào)

（3）在i 次試驗(yàn)中，對(duì)信號(hào)r1[n]+ε1E1（ωi（n）），（i=1,…,I）進(jìn)行分解，直到得到第1 個(gè)EMD 模態(tài)分量為止，定義第2 個(gè)模態(tài)分量為

（4）當(dāng)k=2,…，K 階段時(shí)，計(jì)算第k 個(gè)殘量信號(hào)

（5）同步驟（3），計(jì)算得到第k+1 個(gè)模態(tài)分量為

（6）對(duì)于下一個(gè)k 階段，重復(fù)步驟（4），直至殘量信號(hào)不能再分解為止（極值點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2）。

式中：K 為總的模態(tài)分量數(shù)。

則最終信號(hào)x[n]表示為

1.3 LMD 方法

局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）方法將調(diào)制信號(hào)分解成1 組乘積函數(shù)（PFs），每個(gè)乘積函數(shù)是1 個(gè)包絡(luò)信號(hào)和調(diào)頻信號(hào)的乘積。LMD 分解算法簡(jiǎn)要介紹如下[10]。

對(duì)于給定信號(hào)x（t），設(shè)初值r0（t）=x（t），i=0。

（1）設(shè)c0（t）=ri（t），j=0。

（2）識(shí)別極值點(diǎn)cj（t），采用2 個(gè)相鄰極值點(diǎn)計(jì)算局部均值和包絡(luò)為mi=（cj（ti）+cj（ti+1））/2，ai=|cj（ti）-cj（ti+1）|/2。

（3）采用滑移平均方法對(duì)局部均值和局部包絡(luò)進(jìn)行平滑，得到mj（t）和aj（t）。

（4）計(jì)算函數(shù)cj+1（t）=（cj（t）-mj（t））/aj（t）。

a.若a（jt）滿足設(shè)i=i+1，使

返回步驟（1）。

b.否則，設(shè)j=j+1，返回步驟（2）。

（5）重復(fù)步驟（1）～（4），直至不能再分解出新的PF 分量為止。

1.4 ITD 方法

固有時(shí)間尺度分解（Intrinsic Time-scale Decomposition，ITD）方法[11]將原始信號(hào)分解成1 組固有旋轉(zhuǎn)分量和1 個(gè)單調(diào)趨勢(shì)信號(hào)。設(shè)Xt為待分析信號(hào)，定義1 個(gè)基線提取算子L，使得從待分析信號(hào)中去掉該基線后剩下的余量信號(hào)成為1 個(gè)固有旋轉(zhuǎn)分量。1 次固有時(shí)間尺度分解式為

式中：Lt和Ht定義在[0，τk]區(qū)間；Xt定義在[0，τk+2]區(qū)間。在連續(xù)極值點(diǎn)[τk，τk+2]區(qū)間上定義Xt的基線提取因子L，即

式中：α 為分解時(shí)的增益控制參數(shù)（0＜α＜1）；Lt保留了信號(hào)在各極值點(diǎn)處的單調(diào)性；Ht提取了各極值點(diǎn)之間疊加的局部高頻分量信號(hào)，即固有旋轉(zhuǎn)分量。

重復(fù)以上分解過(guò)程，可獲得一系列固有旋轉(zhuǎn)分量和1 個(gè)單調(diào)趨勢(shì)信號(hào)。

1.5 VMD 方法

變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition，VMD）方法是在其變分模態(tài)框架內(nèi)，獲得約束變分模態(tài)模型的最優(yōu)解，完成信號(hào)的自適應(yīng)分解。每個(gè)變分模態(tài)分量的中心頻率及帶寬在迭代求解中不斷更新，根據(jù)實(shí)際信號(hào)的頻域特性對(duì)信號(hào)頻帶進(jìn)行自適應(yīng)分解，最終得到1 組窄帶變分模態(tài)分量。假定原始信號(hào)x 被分解為k 個(gè)變分模態(tài)分量，則相應(yīng)的約束變分模態(tài)模型為[12]

式中：uk、ωk分別為各變分模態(tài)分量和中心頻率。

為求解約束變分模態(tài)模型，在VMD 算法中引入2 次懲罰項(xiàng)α 和拉格郎日乘子λ。VMD 算法的具體實(shí)施過(guò)程如下：

（2）令n=n+1，執(zhí)行循環(huán)過(guò)程；

（4）更新λ

式中：τ 為噪聲容限參數(shù)。

2 信號(hào)降噪理論推導(dǎo)及具體實(shí)施方法

2.1 樣本熵

設(shè)時(shí)間序列x（1），x（2），…，x（N），計(jì)算該N 個(gè)時(shí)間序列樣本熵的步驟如下[13]：

（1）選定模式維數(shù)m，由原序列構(gòu)成1 組m 維向量

（2）定義X（i）和X（j）之間的距離

（3）設(shè)定閾值r，統(tǒng)計(jì)距離d[X（i），X（j）]不大于r的數(shù)，將此數(shù)與距離總數(shù)N-m+1 的比值記為

（4）重新選定模式維數(shù)m+1，構(gòu)成1 組m+1維向量，重復(fù)步驟（1）～（3），得到Bm+1（r）

（5）此序列的樣本熵定義為

由定義可知，樣本熵的值與維數(shù)m 和閾值r 的取值有關(guān)。m 值越大計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)，r 值越大時(shí)間序列的信息損失越大，反之噪聲影響越顯著。根據(jù)文獻(xiàn)[14]的研究，本文取m=2，r=0.15std。

2.2 奇異值分解

根據(jù)奇異值理論，任何p×q 階矩陣的奇異值分解（SVD）可表示為[15]

式中：U 為p×p 階正交矩陣；V 為q×q 階正交矩陣；Λ=diag（λ1，λ2，…，λk）為對(duì)角矩陣，k=min（p，q），λ1，λ2，…，λk為矩陣A 的奇異值并按降序排列。

矩陣的奇異值為矩陣的固有特征，具有很好的穩(wěn)定性、比例不變性和旋轉(zhuǎn)不變性。

2.3 峭度系數(shù)

峭度系數(shù)表示故障形成的大幅值脈沖出現(xiàn)的概率。將脈沖響應(yīng)與背景噪聲的差距加大以提高信噪比，峭度系數(shù)以脈沖響應(yīng)幅值的4 次冪為判斷依據(jù)，使其準(zhǔn)確度顯著提高。峭度系數(shù)的定義[16]為

2.4 信號(hào)降噪具體實(shí)施方法

根據(jù)以上理論，彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪具體實(shí)施方法如下：

（1）使用不同信號(hào)分解方法對(duì)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)進(jìn)行分解，得到k 個(gè)初始模態(tài)分量；

（2）計(jì)算所有初始模態(tài)分量的樣本熵，并對(duì)其歸一化處理，得到初始模態(tài)分量的歸一化樣本熵；

（3）設(shè)定歸一化樣本熵的閾值n，對(duì)所有大于閾值n 的初始模態(tài)分量進(jìn)行SVD 降噪處理，而對(duì)不大于閾值n 的初始模態(tài)分量不作處理；

（4）計(jì)算SVD 降噪后初始模態(tài)分量的峭度系數(shù)，設(shè)定峭度系數(shù)的閾值為m；

（5）剔除峭度系數(shù)小于閾值m 的初始模態(tài)分量，保留不小于閾值m 的初始模態(tài)分量，并輸出最終的模態(tài)分量；

（6）將所有的模態(tài)分量重組成降噪信號(hào)，輸出降噪信號(hào)的信噪比、相關(guān)系數(shù)、均方誤差以及信號(hào)降噪處理時(shí)間。

信號(hào)降噪流程如圖1 所示。

3 彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪應(yīng)用

圖1 信號(hào)降噪流程

以某模擬轉(zhuǎn)子彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)為研究對(duì)象，采用不同信號(hào)分解方法對(duì)其進(jìn)行信號(hào)降噪研究。彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的采樣頻率為10 kHz，其時(shí)域波形及頻譜如圖2 所示。從圖中可見(jiàn)，彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)主要存在3 個(gè)頻率成分，分別為轉(zhuǎn)子基頻、2 倍頻和3 倍頻，其余幅值較低且頻帶較寬的雜亂譜線為噪聲干擾。由于噪聲干擾的存在，在信號(hào)波形中出現(xiàn)許多毛刺成分，不利于轉(zhuǎn)子信號(hào)特征的分辨，特別是早期的故障特征信號(hào)被覆蓋，如圖2（a）所示；在如圖2（b）所示的頻譜中，橫坐標(biāo)階次定義為轉(zhuǎn)子基頻的N 倍，下同。

圖2 有噪聲干擾的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

圖3 無(wú)噪聲干擾的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力仿真信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

根據(jù)圖2 彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的頻譜分析中的3 個(gè)主要頻率成分，仿真構(gòu)造出無(wú)噪聲干擾的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)，如圖3 所示。從圖中可見(jiàn)無(wú)噪聲干擾的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)可用于不同降噪方法對(duì)該信號(hào)降噪效果的對(duì)比分析。與圖2 對(duì)比可見(jiàn)，在圖2 中有噪聲干擾的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的噪聲成分主要為低頻寬帶噪聲及寬頻帶的背景噪聲。

對(duì)于該彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)，根據(jù)信號(hào)降噪流程（圖1）對(duì)其進(jìn)行降噪處理，其中歸一化樣本熵的閾值n＝0.5，峭度系數(shù)的閾值m＝5×105。

彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)經(jīng)EMD-SampEn-SVD降噪后的時(shí)域波形和頻譜如圖4 所示。將圖4 與圖2、3 對(duì)比分析可見(jiàn)，EMD-SampEn-SVD 可降低較高頻帶上的背景噪聲，而對(duì)其他頻帶上的噪聲降低效果不明顯，特別是對(duì)低頻寬帶噪聲降低效果不佳。

圖4 采用EMD-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

采用CEEMDAN-SampEn-SVD 降噪后的彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜如圖5 所示。從圖中可見(jiàn)，在轉(zhuǎn)子基頻的6 倍頻以上的寬頻帶上，不存在背景噪聲成分，且低頻寬帶噪聲有一定程度削減。采用LMD-SampEn-SVD 方法降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜如圖6 所示。與圖5 相比，其低頻寬帶噪聲降低效果更佳，但在轉(zhuǎn)子基頻6倍頻以上，其降噪效果不如CEEMDAN-SampEn-SVD方法的。

圖5 采用CEEMDAN-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜

圖6 采用LMD-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

采用ITD-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜如圖7 所示。與圖2～6 對(duì)比可見(jiàn)，ITD-SampEn-SVD 方法在低頻寬帶噪聲及寬頻帶的背景噪聲上的降低效果均不佳。采用VMDSampEn-SVD 方法降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜如圖8 所示。通過(guò)對(duì)比圖2～8 可見(jiàn)，采用VMD-SampEn-SVD 方法能有效去除轉(zhuǎn)子基頻4倍頻以上的寬帶背景噪聲，同時(shí)對(duì)低頻寬帶噪聲的降低效果在所有降噪方法中是最好的。

圖7 采用ITD-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

圖8 采用VMD-SampEn-SVD 降噪后彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜

為進(jìn)一步對(duì)各種降噪方法進(jìn)行性能（降噪效果和運(yùn)算效率）對(duì)比，引入信噪比的概念。以信噪比RSN、相關(guān)系數(shù)和均方誤差作為降噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)

式中：Ps為純信號(hào)功率；Pn為噪聲功率。

相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量降噪后的信號(hào)與無(wú)噪聲干擾信號(hào)間的線性相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，二者的相關(guān)性越大

式中：Cov（X，Y）為X、Y 的協(xié)方差；D（X）、D（Y）分別為X、Y 的方差。

均方誤差EMS用來(lái)評(píng)價(jià)降噪后的信號(hào)與無(wú)噪聲干擾信號(hào)間的偏離程度，EMS值越小，說(shuō)明降噪后信號(hào)的精確度越高

同時(shí)，以計(jì)算時(shí)間作為降噪方法的計(jì)算效率的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

5 種降噪方法的性能對(duì)比見(jiàn)表1。從表中可見(jiàn)，采用VMD-SampEn-SVD 方法降噪，彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的信噪比為8.11 dB，相關(guān)系數(shù)為0.92，均方誤差為0.43，計(jì)算時(shí)間為18.04 s，在5 種降噪方法中的降噪效果最佳，計(jì)算效率也較高；而采用ITD-Samp-En-SVD 方法降噪，彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的信噪比為5.68 dB，相關(guān)系數(shù)為0.88，均方誤差為1.63；計(jì)算時(shí)間最短為2.99 s，其降噪效果并不佳；采用CEEMDAN-SampEn-SVD 方法降噪，計(jì)算效率最低，計(jì)算時(shí)間為290.99 s，彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的信噪比為6.43 dB，相關(guān)系數(shù)為0.90，均方誤差為0.98，降噪效果也不是最佳。綜上分析，VMD-SampEn-SVD 方法是5 種方法中最適用于彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪的。

表1 5 種降噪方法的性能對(duì)比

4 結(jié)論

針對(duì)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)，對(duì)5 種信號(hào)降噪方法進(jìn)行性能對(duì)比，得出以下主要結(jié)論：

（1）本文介紹的信號(hào)降噪方法主要基于自適應(yīng)的信號(hào)分解方法，并利用樣本熵、SVD 和峭度系數(shù)，通過(guò)設(shè)定閾值，篩出有效分量，去除噪聲成分。通過(guò)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的降噪研究，證明信號(hào)降噪方法是可行的。

（2）對(duì)彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)的降噪研究表明：在彈性支承應(yīng)力信號(hào)的降噪效果上，VMD-Samp-En-SVD 方法最好，EMD-SampEn-SVD 方法最差；在計(jì)算時(shí)間上，ITD-SampEn-SVD 方法最短，而CEEM DAN-SampEn-SVD 方法最長(zhǎng)。綜上所述，VMD-SampEn-SVD 方法是5 種方法中最適用于彈性支承振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)降噪的方法。從5 種信號(hào)分解方法的理論及特點(diǎn)分析可知，此結(jié)論同樣可為其他測(cè)試信號(hào)的降噪處理提供參考。