李學生

【摘? 要】分析了經典角動量守恒定律不具有伽利略變換的不變性，重新表述了角動量守恒定律，使其滿足力學相對性原理。

【關鍵詞】矢量法;角動量守恒定律;角動量定理;力學相對性原理

1.經典角動量守恒定律不滿足伽利略變換

例1如圖，有一質量為m的小球（視為質點），在輕繩（忽略質量）的牽制下，在光滑的地面上繞O點做勻速（速率為v）圓周運動，如果忽略地面和空氣摩擦阻力，

問：小球在地面系和沿x 軸勻速運動的小車（設小車的速度為u）坐標系（O1-x1y1），角動量守恒定律是否都成立？

解析：地球質量視為充分大，故穩(wěn)定地保持為慣性系。

（1）在地面系——設初相為0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt;x'=-Rωsinωt，y'= Rωcosωt;

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

=0，質點對圓心的角動量大小為mR2ω，方向不變，角動量守恒定律成立。

（2）小車系。將運動方程作伽利略變換，寫出小車系運動方程：

x1=x-ut=Rcosωt-ut，y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u，y'1= y'= Rωcosωt;

p=mv=（-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0），r=（ Rcosωt-ut，R sinωt，0），

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

L1=r1p1=（0，0，mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt），L1'=（0，0，utmRω2sinωt），

M1= r1f=（0，0，utmRω2sinωt）。

根據上面的計算可以得出，角動量、合力矩不具有伽利略變換的不變性，經典角動量守恒定律也不具有伽利略變換的不變性，即不滿足力學相對性原理，文獻[1～4]也說明了這個問題。伽利略相對性原理僅指經典力學定律在任何慣性參考系中數學形式不變——所有慣性系都是等價（平權）的。因為力學相對性原理要求所有的慣性系等價，同一個物理過程在靜止慣性參照系角動量守恒，在運動慣性參照系角動量不守恒，這是力學相對性原理所不允許的。在同一個坐標系中，質點即使受到有心力的作用，對某個作用點角動量守恒，對另一個作用點也可能不守恒，因為此時合力矩不再為0，因此經典角動量守恒定律也不具有普適性，需要進行重新表述。

2.對于角動量守恒定律表述的重新思考

筆者認為，作為力學定律（或者力學定理）必須具有普遍性，不具有協變性的命題不能稱之為力學定律（或者力學定理），不能等同于一般的真命題，對于某一個確定的物理過程，在一個慣性系成立，在另一個慣性系也必須成立（在這里所說的成立不僅包括命題的條件成立，結論也必須成立，即滿足協變性的要求）。經典角動量守恒定律不能滿足這個要求，而且在很多情況下質點受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角動量守恒定律，使其滿足上述要求[5]。在創(chuàng)立狹義相對論時，愛因斯坦利用了洛侖茲變換的不變性，而在創(chuàng)立廣義相對論時，他把變換不變性提升為物理學的普遍原理，并從引力質量與慣性質量等同這一經驗事實出發(fā)，把某種變換不變性作為表示空間結構四維性和對稱張量的引力方程的前提。洛倫茲說過：“愛因斯坦把方法倒了過來，他不是從已知的方程組出發(fā)去證明協變性是存在的，而是把協變性應當存在這一點作為假設提出來，并且用它演繹出方程組應有的形式?！?/p>

把角動量定理兩邊同時積分可以得到角動量定理的積分形式——質點對于某一點（或某軸）的角動量與該點受到的合力矩對于時間的積分之差不變，

即

該命題與角動量定理的微分形式是等價命題，具有伽利略變換的不變性，滿足力學相對性原理。

下面類比機械能中勢能概念我們引入角動量勢的概念——

定義：質點對于某一點（或某軸）受到的合力矩對于時間積分稱之為角動量勢，

記為

角動量守恒定律——對于任何參照系，質點在運動過程中對于某一點（或某軸）的角動量與角動量勢之差不變，L（t）- N（t）= L（t0）=const。

這樣表述角動量守恒定律與角動量定理積分形式比較，只是改變了一個物理量的名稱，所以對于所有慣性系都成立，是經典角動量守恒定律的一個推廣。對于非慣性系只要引入慣性力矩，推廣后的角動量守恒定律依然成立，符合愛因斯坦的思想——物理規(guī)律對于所有的觀察者都相同。

類似地，動量守恒定律表述為——對于任何參照系，一個系統的動量與合外力沖量差是一個常數。動量類比上面的角動量，合外力沖量類比角動量勢。

文獻[6]證明了動量定理對于所有參照系都協變，動量守恒定律對于所有慣性系守恒條件協變，對于非慣性系不協變;角動量守恒定律對于慣性系也不協變。重新表述角動量守恒定律、動量守恒定律后分別是角動量定理、動量定理的等價形式，自然符合相對性原理的要求。

在機械能方面，保守力作用下系統的拉格朗日量定義為動能與勢能之差：，與此類似。在均勻時空下，體系的拉氏函數就反映了體系運動的能量。于是，我們可以這樣理解：當一個體系處于外場中，設法消除外場的影響，使之處于局部均勻的時空時，體系所具有的運動能量就是拉格朗日函數。類似地，當一個體系處于外場中，設法消除外場的影響，使之處于局部均勻時空時，體系所具有的運動動量就是系統的動量與合外力沖量之差;體系所具有的運動旋轉量就是系統的角動量與角動量勢之差。

牛頓講：“大自然總是喜歡變化與快樂?！弊兓豢赡苤挥幸粋€物理量發(fā)生變化，在變化過程中幾個物理量之間以某種關系保持守恒，在變化過程中找尋不變量應當是物理學的重要任務之一。在物理學中，發(fā)現任何一個能概括許多現象的守恒量都是令人欣喜的事。趙凱華認為：“研究一個規(guī)律的表述所具有的對稱性，并設法消除某種不對稱因素，從而使其規(guī)律的表述具有更多的對稱性，這無疑是有重要意義的。因為它不僅滿足人類對于美（對稱，和諧）的心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。

朗道的力學中說：“如果系統整體相對參考系K′靜止，則V是系統質心的速度，而μV是系統相對于參考系K的總動量P，進而有M=M+R×P。就是說，力學系統的角動量是由其相對靜止的參考系中的“內稟角動量”和整體運動的角動量R×P構成。筆者認為朗道所指的整體運動的角動量就是角動量勢，在這里多出一個物理量——角動量勢，類似于在某參考系觀察一個靜止電荷，它只激發(fā)靜電場，只需用標勢ψ描述，但是變換到另一參考系時，電荷是運動的，除了電場之外還有磁場，必須用A和ψ描述。在上面勻速圓周運動的實例中，對于小車系而言mR2ω是內稟角動量，整體運動的角動量——角動量勢umRsinωt-utmRωcosωt，角動量為mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt，角動量與角動量勢之差為mR2ω，這個守恒量是對于所有的參照系相同，只與參考點的選擇有關。

在上面的命題中，當合力矩也等于0時，便是經典角動量守恒定律，符合對應原理要求，即經典角動量守恒定律是上述命題的一個特例，經典角動量守恒定律在運動系需要增加一個物理量——角動量勢，對于固有參照系這一項正好為0。在地球繞日運動的橢圓軌道中，以太陽為參照系角動量守恒，以相對于太陽勻速運動的參照系看來角動量不守恒，但是角動量與角動量勢之差守恒。容易驗證在上面的勻速圓周運動中，考察上述命題顯然滿足伽利略變換的不變性。假設把單擺固定在地面上，在地面上有一輛勻速運動的小車，在小車系看來擺錘的角動量不守恒，但是角動量與角動量勢之差守恒。角動量守恒定律不但與參考系無關（對于非慣性系考慮慣性力力矩即可），而且與參考點無關。本文驗證了相對性原理和單獨的協變性是一回事，文獻[7～11]的觀點是完全錯誤的。

3.力學中三大守恒定律的比較

動量守恒定律、角動量守恒定律與機械能守恒定律之間的類比——動量、角動量類似于動能，沖量、角動量勢類似于勢能。動能和勢能可以變化，但是機械能不變;同理對于不同的參照系，動量和沖量可以相互轉化，角動量和角動量勢可以變化，但是它們的差不變。區(qū)別：對于不同的參照系，機械能的守恒量不相同，但是動量和沖量只差保持不變。同理角動量與角動量勢之差的守恒量不變，因為它描述的是質點的旋轉特性，對于不同的慣性系，旋轉特性相同，該旋轉量對于不同的慣性系都成立，所以在狹義相對論框架內角動量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有別，這是對稱的絕對性和相對性的表現形式。地球圍繞太陽公轉，以太陽為參考點，地球看做質點的話，受到的合力矩為0，可是事實上地球并不是質點，其內部存在著其他力，因此地球的公轉的角動量應該稍微減少，不過日—地軌道角動量是十分巨大的，相比之下地球的自轉角動量十分渺小，不容易觀察而已。對稱性原理在上述研究工作中起著重大作用，它能使我們從事物之間的聯系上考慮問題，從而使我們迅速抓住問題的實質?！?/p>

在牛頓力學理論中，質點的動量和能量是兩個彼此獨立的物理量，動量守恒定律、能量守恒定律是兩個彼此獨立的定律;可是在狹義相對論中，質點的動量和能量緊密結合成四維動量，因而動量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—動量守恒定律，亦即四維動量守恒定律。牛頓力學理論中容許超距力（在彈簧振子和單擺問題中彈力雖然是接觸力，但是由于力源不是研究對象，仍然按超距力處理），須引入勢能，可是在狹義相對論中，不存在超距力，只有接觸作用，不需引入勢能。狹義相對論的能量—動量守恒定律特別適用于研究基本粒子之間，包括湮滅、創(chuàng)生等現象在內的反應，而牛頓力學理論的動量守恒定律、能量守恒定律與質量守恒定律無法研究這些反應。類似地，在狹義相對論中無需引入沖量和角動量勢的概念，因此牛頓力學中的動量守恒定律、角動量守恒定律與狹義相對論中動量守恒定律、角動量守恒定律的表述有一定的區(qū)別。愛因斯坦講：“物理學構成一種處在不斷進化過程中的思想邏輯體系?！?/p>

參考文獻

[1]高炳坤.用伽利略變換審視牛頓力學.大學物理，2010年第29卷第6期：1～2，8.

[2]易雙萍.不同慣性系中的力學規(guī)律.工科物理（現名：物理與工程），1998年第8卷第5期：18～22.

[3]顧國鋒.力學守恒定律的相對性.桂林市教育學院學報（綜合版），1995年第三期：76～78.

[4]唐淑凡.力學量的守恒性與力學定律的不變性.婁底師專學報，1986（3）：59～64.

[5]劉一貫.關于機械能守恒定律的協變性.華南師范大學學報（自然科學版），1985（1）：155～157.

[6]章鵬.非慣性系中的動量定理和動量守恒定律.重慶建筑大學學報，第16卷第1期，1994（3）：99～102.

[7]朱如曾.相對論力學中普遍定律的實用判別法和協變集的實用構造法.力學與實踐，2002年第24卷第3 期： 70～71.

[8]朱如曾.相對性原理及其對自然界定律的協變性要求——機械能守恒定律協變性疑難的解答.大學物理，2000（2）：15～19，26.

[9]朱如曾.相對性原理對普遍定律和非普遍定律參考系變換性質的不同要求——關于協變性疑難的進一步討論.大學物理，2002（3）：19～23.

[10]趙凱華.編者的話.大學物理，2002（3）：18.

[11]趙凱華.澄清對相對論性原理和協變性的誤解.大學物理，2020年1月：12～13.