苗恩銘，陳陽楊，馮 定，李建剛

（1.重慶理工大學 機械工程學院，重慶 400054；2.合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院，合肥 230009；3.長江大學機械工程學院，湖北 錦州 434023；4.哈爾濱工業(yè)大學 機電工程與自動化學院，廣東 深圳 518055）

熱變形對現(xiàn)代機械加工精度與工作性能影響較大，影響元件或構件的幾何形體變化，使實際參數(shù)和幾何形體結構偏離設計的理想狀態(tài)［1-2］。在現(xiàn)代精密機械中，熱誤差影響程度隨著機械與儀器精度的不斷提高明顯增大，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，溫度引起的熱誤差約占總誤差的50%［3］，引起人們對于熱變形研究的廣泛關注。

傳統(tǒng)的熱變形計算是按照公式ΔL＝α·L·ΔT得到的。其中，α為材料熱膨脹系數(shù)，L是原始尺寸，ΔT是引起形變的溫度差。因此，研究人員需要獲得準確的熱變形數(shù)值，比較關注材料熱膨脹系數(shù)的獲得。早期研究中采用激光干涉儀與熱電偶組合測量的方法來精確測量被測物的熱膨脹系數(shù)［4-5］。為提高熱膨脹系數(shù)測定的準確性，多國建立了本國熱膨脹系數(shù)的國家標準以及國際標準［6-8］。然而，隨著熱膨脹系數(shù)的國際標準的制訂和實施，研究人員發(fā)現(xiàn)使用不同尺寸的同種材料測定熱膨脹系數(shù)，其熱變形量受材料熱膨脹系數(shù)和實驗對象的形體特征與尺寸的共同影響，故測定值包含一定的誤差［2］。因此，傳統(tǒng)熱變形公式由于未考慮形體特征的影響，存在一定的近似性，直接影響工作狀態(tài)下機械零件的動態(tài)熱性能，這在現(xiàn)代高精度的加工和測量中是無法忽略的。

為此，機械結構形體熱變形非相似性理論被提出來，認為精密零件的熱變形量不僅與其本身尺寸、材料膨脹系數(shù)及溫度差等傳統(tǒng)熱變形理論因素有關，還與其形體相關尺寸有關，即零件熱變形后受其形體邊界條件影響不再保持原有的形狀特征，表現(xiàn)出熱變形非相似性特征［1］。苗恩銘等［9］的研究表明形狀熱膨脹系數(shù)和零件體膨張系數(shù)存在確定關系，并證明方體和圓環(huán)的熱變形存在非相似性特征。羅哉等［10-11］對形狀相對復雜的帶肋平板和漸開線齒輪的熱變形進行了研究，給出對應形體的熱變形公式。苗恩銘等［12］將分子靜力學分析引入形體熱變形研究，從機理上證實了形體結構尺寸對機械零件熱變形的影響。雖然目前對于零件熱變形非相似性特征研究有進展，但仍存在較多空白，原因是來自零件結構的復雜性使得零件非相似性特征的研究難度加大，常常使得研究人員難以尋求到關鍵的特征參數(shù)進行描述，導致按照傳統(tǒng)熱膨脹計算公式計算出的零件熱變形與實際熱變形狀態(tài)相差甚遠。本文據(jù)此選擇了復雜零件汽車變速箱的熱變形非相似性特征進行探討，通過理論和實驗研究揭示汽車變速箱的真實熱變形特性和規(guī)律，為復雜零件的熱變形非相似性的研究提供可行的研究思路和方法，也為汽車變速箱的設計提供參考。

本文首先對非相似性熱變形規(guī)律進行研究，從熱彈性理論角度提出了非相似性熱變形公式。然后針對有限元仿真軟件無法利用非相似性熱變形進行仿真的問題，提出和論證了非相似性熱變形的熱力轉換分析方法，并對汽車變速箱的熱變形進行了傳統(tǒng)有限元仿真和采用此方法的有限元仿真，結合實驗進行對比，驗證了此理論的合理性和有效性，為變速箱熱結構設計提供了重要的理論參考。

1 熱變形非相似性理論

根據(jù)機械結構形體熱變形非相似性理論，傳統(tǒng)的熱變形誤差計算沒有考慮機械零件形狀特征帶來的影響，具有很大的近似性，難以適應現(xiàn)代高精度測量的要求［1］。在此基礎上發(fā)現(xiàn)，機械零件的受熱變形量不僅與傳統(tǒng)熱變形中的材料熱膨脹系數(shù)、原始尺寸、溫度差3個要素有關，還與形體邊界約束參數(shù)有關，得出非相似性熱變形規(guī)律，即

其中形體邊界約束參數(shù)Ω是關于形體邊界形狀、尺寸和材料厚度的非線性綜合影響函數(shù)，反映形體特征等對機械零件熱變形的影響。設Xi（i＝1，2，3…n）為結構尺寸因子，則Ω＝φ（X1，X2，…，Xi，…，Xn）。

熱變形非相似性理論雖然從宏觀上指出了非相似性熱變形的影響因素，但未給出具體函數(shù)表達式，故難以得到推廣和應用。因此，本節(jié)將從熱彈性理論角度提出非相似性熱變形公式。

在彈性理論假設下，根據(jù)熱彈性理論，當物體溫度ΔT發(fā)生變化時，物體內(nèi)部的微元體偏離平衡狀態(tài)，微元體之間產(chǎn)生熱應力，其應變由兩部分組成：一部分是由于溫度變化引起，一部分由應力引起［13］。傳統(tǒng)物理方程即根據(jù)胡克定理有：

由式（1）可知：材料相同的物體受熱均勻，內(nèi)部不存在溫度梯度時，其膨脹和收縮將仍然受到形體邊界約束參數(shù)Ω的約束。將式（2）中由溫度變化引起的熱變形部分重新定義為：Δli＝α·Ωi·ΔT，其中Δli為第i個微元體的熱變形量，Ωi為第i個微元體的形狀邊界約束參數(shù)。則式（3）的熱彈性力學物理方程改寫為：

當溫度梯度不存在時，ΔT＝T0，σx＝σy＝σz＝0，式（3）有：

即由溫度變化引起的應變量包含了形體邊界約束因子，不再局限于單一影響參數(shù)，這與熱變形非相似性理論提出的思想相符。等式兩邊同時對坐標變量進行積分，即可得到修正后的熱變形公式為：

其中：Ω＝F（Ωx，Ωy，Ωz），F(xiàn)是非線性綜合影響函數(shù)；Ω是形體邊界約束參數(shù)，可正可負無單位，是與具體形體結構有關的系數(shù)。當Ω值為正時，表示此處的約束指向形心；當Ω值為負時，表示此處的約束背離形心。理論上，由形體結構求得形體邊界約束參數(shù)是困難的，但可用實驗的方法獲取其經(jīng)驗表達式。

復雜形體熱變形難以通過公式直接計算，可通過仿真軟件進行有限元計算，但在現(xiàn)有有限元仿真軟件的內(nèi)嵌熱變形模型中施加的載荷并未包括形體邊界約束參數(shù)Ω，這對利用仿真軟件進行非相似性熱變形仿真造成了很大障礙。為提高非相似性熱變形的應用性，本文提出“熱變形等效性”原則（即將形體熱變形量與受力結果等效），建立變形量與受力二者之間的關系，使熱變形引起的變形量由在機械形體邊界附加能產(chǎn)生同等變形量的力來替代，實現(xiàn)準確的形體邊界約束下的載荷施加和有限元計算，此種方法稱之為“熱力轉換分析方法”。

2 熱力轉換理論

由分子靜力學理論可知，溫度變化將使得原子在非平衡作用力作用下移動至新的受力平衡位置。達到新的平衡狀態(tài)后［12］，微元體受力的平衡方程為：

式中X、Y、Z分別為微元體所受到的各個坐標上的體力分量。假設體力為0，即X＝Y＝Z＝0。

在彈性理論假設下，變形體是質(zhì)點微小位移，分解為平行于坐標軸的分量u、v、w［14］。設ε為正應變，γ為剪應變，則有幾何方程：

根據(jù)阻止應變法［13］，在溫度T的影響下，體力和面力引起的應力必須滿足以下平衡方程：

應力在物體內(nèi)隨處變化，但在物體表面的外力必須與內(nèi)部應力保持平衡，即邊界條件：

通過上述變換，即可用施加載荷來代替加熱，把熱學和力學的混合問題變換成單純的力學問題，減小了非相似性熱變形的求解難度。但面力分量的求解公式是理論解，難以直接應用，因此本文進行下面的變換。

彈性模量E是衡量材料產(chǎn)生彈性變形難易程度的指標，一般工程應用中作為常數(shù)使用，計算公式為：

將式（5）代入式（11）中，可得熱力轉換載荷為

其中：σ為正應力（Pa）；E為彈性模量（Pa）；α為熱膨脹系數(shù)（1／℃）。在各向同性材料零件中，溫度變化只產(chǎn)生正應力，則可視應力σ為面載荷P。

利用現(xiàn)有的ANSYS等仿真軟件進行非相似性熱變形仿真，可采用熱力轉換分析方法，將溫度變化等效成垂直作用在零件表面的面荷載P（即應力σ）。根據(jù)式（12）施加載荷，將微元的面力換算成集中力F并施加到節(jié)點上，分解為X、Y、Z方向的分力。再根據(jù)下面的整體剛度方程求解：

其中：K是整體剛度矩陣；q是節(jié)點位移列陣；F是節(jié)點載荷列陣。通過式（13）求解即可得到節(jié)點位移，進而得到形體采樣點處的熱變形量ΔL。

3 變速箱熱變形實驗

3.1 變速箱結構分析

研究所用的變速器為橫置機械變速器結構，鋁合金材質(zhì)，雙輸出軸，變速器與差速器一體，均采用圓錐軸承支撐，全部齒輪采用斜齒輪常嚙合傳動。變速器箱體由前殼體和后殼體組成，變速器前殼體及坐標系如圖1所示，變速箱后殼體及坐標系如圖2所示。其中孔Ⅱ和孔Ⅱ＇是變速箱的一組中間軸承孔，分別與軸Ⅱ的兩端配合。

從圖2中可以看出：各孔周邊位置的形體結構特征不同，根據(jù)形體熱變形非相似性理論，各孔的熱變形規(guī)律和方向也存在差異，從而導致高溫熱變形后變速器關鍵零部件——軸和孔的配合關系發(fā)生變化，齒輪傳動空間位置扭曲，加速部件損壞。為了研究汽車變速箱軸承孔的真實的熱變形特性和規(guī)律，對汽車變速箱Ⅱ號軸承孔進行了熱變形實驗，并通過有限元仿真對其非相似性特征進行探討。

為方便對軸承孔Ⅱ和Ⅱ＇的定量分析，分別在圖1、2所示的變速箱前后殼體平面建立對應的參考直角坐標系XOY。圖1、2中的編號1～6的位置為下文變速箱圓孔熱變形實驗的采樣點和非相似性仿真的形體約束施加位置。

3.2 實驗裝置與測量方案

變速器殼體Ⅱ號軸承孔徑向及空間相對位置熱變形測量裝置原理如圖3所示。實驗過程中，將某型號鋁合金變速箱殼體固定在恒溫箱中的工作臺上進行加熱，測量裝置被支架固定在工作臺上測量軸承孔各點的熱變形量。測量裝置由旋轉電機、高溫位移傳感器和杠桿式測頭組成，杠桿式測頭置于被測軸承孔的正上方，并使測頭下端與軸承孔內(nèi)壁接觸，調(diào)節(jié)微調(diào)裝置使與杠桿式測頭另一端相連的高溫位移傳感器的示數(shù)位于合適的位置，旋轉電機帶動測量裝置逆時針方向旋轉，實現(xiàn)圓孔徑向熱變形動態(tài)測量（控制旋轉的電機以及支架部分圖中予以省略）。恒溫箱內(nèi)溫度從-10℃升溫至110℃，每上升10℃后保溫1 h，使得變速箱殼體溫度穩(wěn)定后進行軸承孔的熱變形測量與數(shù)據(jù)記錄。

位移傳感器每旋轉60°測量孔內(nèi)壁相應測量點的熱變形量，再通過最小二乘圓擬合，即在被測實際輪廓之內(nèi)找出一點，使被測實際輪廓上各點到以該點為圓心所作的圓的徑向距離的平方和為最小，該圓即為最小二乘圓；再對標準件進行測量，以校正測量裝置熱變形量，進而獲得軸承孔的孔型與孔中心位置的實際變形量。前后殼體軸承孔均在相同的環(huán)境下采用上述方案進行測量。

所用高溫位移傳感器的精度為0.1%FS，使用范圍為0～2 mm，使用溫度為-40～120℃。所用恒溫箱為ESPEC公司生產(chǎn)的ZL-04AGT型號的高精度數(shù)控恒溫箱，其溫控范圍是-40～+150℃，測溫精度為±0.2℃，控溫精度為±0.5℃，內(nèi)部有效尺寸為600 mm×850 mm×800 mm。

3.3 實驗結果

對實驗所得數(shù)據(jù)進行處理，得出變速器前殼體Ⅱ號孔和后殼體Ⅱ＇號孔的圓心空間位置熱變形隨溫度的偏移走勢分別如圖4、5所示。局部極坐標系的極軸OX與整體坐標系X軸同向，角坐標取逆時針方向為正，單位為度（°），半徑坐標單位為微米（μm）。顯然，與同一齒輪軸兩端的軸承對相互配合的一對孔在同樣的溫升條件下，熱變形偏移方向和絕對大小完全不同，變速器前殼體Ⅱ號孔圓心最大可偏移166.8μm，后殼體Ⅱ號孔圓心最大可偏移116.2μm。

為方便研究和分析孔類形體熱變形空間相對位置關系，本文提出一種“熱變形空間位置繪圖法”以對實驗結果進行繪圖示意與說明。所謂“熱變形空間位置繪圖法”，就是將兩個及以上的形體特征（比如孔類形體）在標準溫度下的空間相對位置和其他溫度下的空間相對位置繪制在同一張圖中，以達到清晰表達熱變形空間相對偏移關系的效果。

基于繪圖法繪制變速箱前后殼體同軸兩孔空間位置如圖6所示，紅線部分是20℃環(huán)境下作為標準的圓孔；黑色部分為-10℃下的軸承孔位置偏移示意圖；綠色部分為110℃下的軸承孔位置偏移示意圖；相對偏移量和角度如圖所示。顯然，20℃溫度時，前、后殼體Ⅱ號孔圓心在同一條軸線上，溫度發(fā)生變化時，這條軸線比發(fā)生傾斜，表明形體熱變形引起了軸承孔較大的空間位置偏移。

4 ANSYS變速箱仿真

實驗結果表明鋁合金汽車變速箱的熱變形具有非相似性特征，影響工作狀態(tài)下孔軸配合的動態(tài)熱性能。為了驗證本文提出的非相似性熱變形公式的正確性，分別使用ANSYS對此變速箱上的同一對軸承孔進行傳統(tǒng)熱變形仿真和應用非相似性公式的非相似性熱變形仿真。

4.1 變速箱軸承孔傳統(tǒng)熱變形仿真

使用ANSYS進行傳統(tǒng)熱變形仿真時，首先將創(chuàng)建的變速箱軸承孔實體模型導入仿真軟件中，再給模型賦予鋁合金材料屬性（彈性模量E＝71 GPa，泊松比為0.33，密度ρ＝2 770 kg／m3，線膨脹系數(shù)α＝2.2×10-5／℃）。將該模型進行網(wǎng)格劃分后，對得到的有限元模型施加溫度時載荷與位移約束，進而進行箱體軸承孔熱變形的有限元分析。分別對變速箱前后殼體進行傳統(tǒng)熱變形仿真，得到前殼體和后殼體的Ⅱ號孔在110℃溫度環(huán)境下的仿真結果如圖7、8所示，其中灰色圓形區(qū)域為軸承孔初始位置。

基于上述變速箱軸承孔的傳統(tǒng)熱變形仿真結果，根據(jù)所提出的繪圖法繪制變速箱前后殼體傳統(tǒng)熱變形仿真的同軸兩孔空間位置如圖9所示。顯然，溫度發(fā)生變化時，前、后殼體Ⅱ號孔傳統(tǒng)熱變形仿真結果中的孔型尺寸發(fā)生變化，但圓心位置沒有變化，仍在同一條軸線上，這與變速箱殼體熱變形實驗結果相矛盾，故下文采用非相似性熱變形仿真方法對變速箱軸承孔進行仿真。

4.2 變速箱軸承孔非相似性熱變形仿真

在使用ANSYS進行非相似性熱變形仿真時，圖1和圖2所示變速箱殼體上的圓孔周邊的加強筋、凸臺和定位孔等結構特征，以施加約束載荷的形式體現(xiàn)，則模型可以簡化為圖10、11中的簡單圓環(huán)。對模型賦予材料屬性和進行網(wǎng)格劃分后，在變速箱前殼體和后殼體Ⅱ號孔的內(nèi)外壁各處施加載荷的位置、方向如圖10、11所示，對應的形體邊界約束因子（通過實驗獲?。┤绫?所示，正值表示載荷指向圓環(huán)，負值表示載荷背離圓環(huán)。其中C和D分別作用于圓孔外壁、內(nèi)壁整個表面，模擬形體升溫自由熱膨脹過程；E、F、G、H、I和J分別作用于圖示位置附近1／6個外壁表面，模擬圓孔升溫時受到來自周邊形體結構特征的約束。所建立的局部笛卡爾坐標系坐標軸與整體坐標系X軸、Y軸同向，坐標原點在常溫下圓孔中心處。

表1 變速箱殼體形體邊界約束因子值

變速箱前殼體和后殼體的Ⅱ號孔在110℃溫度環(huán)境下的非相似性熱變形仿真結果如圖12、13所示，其中黑色圓環(huán)代表常溫下軸承孔的初始位置。

5 結果與討論

變速箱熱變形實驗數(shù)據(jù)顯示：前后殼體Ⅱ號軸承孔從-10℃至110℃同樣溫升的熱變形結果中，最大圓度誤差分別為25.6、27μm，且圓心的偏移方向和大小也明顯不同。變速箱上與齒輪軸兩端的軸承相互配合的一對軸承孔在同樣的溫升條件下，由于軸承孔周邊不同的結構特征，使得兩軸承孔的熱變形發(fā)生明顯差異，表現(xiàn)出非相似性熱變形特征。將此軸承孔的實驗和傳統(tǒng)熱變形仿真的相對位置示意圖作對比，可以看出傳統(tǒng)熱變形仿真無法反映熱變形的非相似性特征。結合上述仿真結果和實驗結果，計算出110℃溫度下的變速箱Ⅱ號孔傳統(tǒng)熱變形仿真與非相似性熱變形仿真相對于實驗的圓心熱偏移量的比較結果如表2所示。相較于傳統(tǒng)熱變形仿真，依據(jù)熱力轉換理論進行變速箱軸承孔的非相似性熱變形仿真得到的圓心熱偏移角度與實驗測量結果吻合程度更高，達到90%以上；圓心熱偏移大小與實驗測量結果吻合程度低一些，但也達到了75%以上。

表2 變速箱軸承孔熱變形仿真與實驗的圓心偏移量比較

上述數(shù)據(jù)表明，對變速箱軸承孔的非相似性熱變形仿真相較于傳統(tǒng)熱變形仿真，其結果更貼近于實驗結果，證明熱力轉換分析方法具有一定的合理性和有效性，也從側面說明非相似性熱變形公式的合理性。

6 結束語

根據(jù)機械結構形體熱變形非相似性理論對現(xiàn)有熱變形公式進行了修正，針對有限元仿真軟件利用非相似性熱變形進行仿真存在困難的問題，提出和論證了非相似性熱變形的熱力轉換分析方法，并對汽車變速箱軸承孔的熱變形進行了傳統(tǒng)有限元仿真和非相似性熱變形仿真與實驗對比驗證。采用熱變形空間位置繪圖法對變速箱前后殼體軸承孔進行繪制，清晰直觀地表示熱變形造成的空間位置關系的變化。

本文雖然采用提出的熱力轉換分析方法對變速箱軸承孔的非相似性熱變形進行了有限元仿真和驗證，但是對非相似性熱變形理論的研究還不夠深入，具體的形體邊界約束參數(shù)的公式目前只能通過具體實驗來獲取。熱力轉換概念和仿真方法也需要進一步研究和完善。

此外，采用本文的熱力轉換方法對變速箱雛形結構進行熱變形仿真可以預估箱體圓孔的熱變形大小和方向偏移。根據(jù)仿真結果，在不影響變速箱工作的情況下，考慮加強筋、凸臺和定位孔等結構特征的增減以及位置分布，減小軸承孔熱變形，提升變速箱工作性能。本文研究思路和方法對后續(xù)變速箱熱魯棒性結構設計提供了理論依據(jù)與設計參考。