于 洋，侯 文

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

1 引 言

廣義線性模型的概念由 Nelder和Wedderburn(1972)[1]首先提出.他將經(jīng)典線性回歸模型進(jìn)行了延拓，并針對(duì)新模型確定統(tǒng)一的理論，且在其論文中詳細(xì)地討論了廣義線性模型的假設(shè)、構(gòu)成及其參數(shù)估計(jì).MaCullagh和Nelder(1989)[2]第一次將廣義線性模型引入到保險(xiǎn)精算學(xué)中,認(rèn)為指數(shù)型分布族可以通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性變換完成線性化，該線性化的模型包括泊松、二項(xiàng)、負(fù)二項(xiàng)等分布.但是存有廣義線性模型不適用的情形，比如在分析離散數(shù)據(jù)時(shí)常常出現(xiàn)零觀測(cè)值過(guò)多的情形.如果強(qiáng)行采用廣義線性模型擬合將導(dǎo)致擬合效果不佳且容易對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生失真的解釋.零膨脹廣義線性模型可用在這些情形中，如零膨脹泊松回歸模型，該模型用于分析生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品所含有的瑕疵數(shù)量，進(jìn)一步，將零膨脹泊松回歸模型擴(kuò)展到零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型，并將該模型應(yīng)用到顧客信用卡不良記錄的探究中.Deng和Paul(2000)[3]對(duì)零膨脹廣義線性模型的參數(shù)給出了得分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.但是現(xiàn)有的 大多數(shù)文獻(xiàn)打都是關(guān)注于模型的應(yīng)用，較少涉及零膨脹廣義線性模型極大似然估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性等大樣本性質(zhì).借鑒Fahrmeir和Kaufmann(1985)[4]對(duì)廣義線性模型極大似然估計(jì)的大樣本性質(zhì)的研究結(jié)果，在一定的正則條件下，證明零膨脹廣義線性模型極大似然估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性等性質(zhì)應(yīng)該是有價(jià)值的.

2 一類(lèi)零膨脹廣義線性模型

f(y,θ)=c(y)exp {θy-b(θ)}dγ.

(1)

其中，θ為自然參數(shù)，b(θ)和c(y)是已知函數(shù).這兩個(gè)函數(shù)必須滿足以下條件：

b(θ)的二階導(dǎo)數(shù)存在并且大于零；

c(y)是獨(dú)立于參數(shù)θ的函數(shù).

由于零膨脹現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生在計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)中，例如，泊松分布，二項(xiàng)分布，負(fù)二項(xiàng)分布等，故在此背景下，零膨脹指數(shù)族定義為

其中，f(y,θ)為式(1)所示的單參數(shù)指數(shù)分布族密度函數(shù)，記作Y～f(y,θ,ω)，θ,ω為參數(shù).其均值和方差為

E(Y)=(1-ω)μ=(1-ω)b′(θ),

Var(Y)=(1-ω)(b″(θ)+ω{b′(θ)})2.

零膨脹廣義線性模型結(jié)構(gòu)如下：

(1)模型的響應(yīng)變量為Yi，Yi～f(y,θ,ω)，且Yi相互獨(dú)立，i=1,2,…,n；

(3)聯(lián)結(jié)函數(shù)g是一個(gè)單調(diào)可微的函數(shù)，它體現(xiàn)了隨機(jī)成分的期望值與系統(tǒng)成分之間的聯(lián)系，即E(Yi)=μi=g-1(ηi).

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

其score向量為

sn(δ)=(s0(δ),s1(δ),…,sp(δ),sp+1(δ))T,

(2)

其中，

又

進(jìn)一步求導(dǎo)，可得觀測(cè)值矩陣為

(3)

Fisher信息陣Fn(δ)=EδHn(δ),

由E(I(yi=0))=P(Yi=0)=ω+(1-ω)f(0,θi)和

E(I(yi>0))=P(Yi=y)=(1-ω)f(yi,θi),

(4)

為了方便，先設(shè)定一些特殊的記號(hào).令λminA和λmaxA分別表示矩陣A的最小特征根和最大特征根，用AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A1/2表示正定矩陣A的Cholesky分解中左平方根的下三角矩陣，且其對(duì)角元素為正，即A1/2(A1/2)T=A.

為了表示方便設(shè)定AT/2=(A1/2)T，A-T/2=(AT/2)-1，A-1/2=(A-1/2)-1.

用‖·‖表示一個(gè)矩陣的譜范數(shù)，一個(gè)實(shí)值矩陣A的譜范數(shù)為

‖A‖=(λmax(ATA))1/2，

Hn(δ)和Fn(δ)分別表示零膨脹廣義模型參數(shù)δ的觀測(cè)信息陣和Fisher信息陣.

此外分別將sn(δ0)、Fn(δ0)、Eδ0記為sn、Fn、E.

定理1需要在以下假設(shè)下進(jìn)行證明：

(2){Xn,n≥1}?Kx，Kx?RP+1是一個(gè)緊集，

(3)假設(shè)B?Rp+1是一個(gè)開(kāi)集且δ0是集合Kδ:=B×Ω的內(nèi)點(diǎn)，其中Ω=[0,1].

3 相關(guān)引理及證明

為了證明定理1，需要證明以下引理.

若函數(shù)u(·)在[0,)是非負(fù)的，有

證明第一個(gè)式子通過(guò)下面等式證明

由E(I(y>0))=P(Y=y)=(1-ω)f(y,θ).

又由函數(shù)u(·)在[0,)是非負(fù)的，顯然有

證明根據(jù)Ramesh(1974)[5]中定理2.2，有遞推公式

引理3設(shè)Qk(y)為k階多項(xiàng)式，其系數(shù)是關(guān)于x，δ,δ0的連續(xù)函數(shù)且系數(shù)為正，令Yi～f(yi,θi,ω),i=1,2,…,n.如果條件(1)-(3)成立，則

證明在條件(1)下，對(duì)?n∈N，鄰域Nn(ε)是緊集，且對(duì)于?ε>0，當(dāng)n→時(shí)，Nn(ε)收斂于δ0.因此由引理3.1和3.2以及多項(xiàng)式Qk(y)系數(shù)的連續(xù)性，有

引理4在條件(1)-(3)下，當(dāng)n→時(shí)，，其中N(0，Ip+2)是p+2維正態(tài)分布，且其均值為0，協(xié)方差矩陣為Ip+2(Ip+2為p+2階的單位陣).

由Cr不等式的一個(gè)展開(kāi)式

(5)

有E‖sni‖3≤C(E|s0,i|3+…+E|sp,i|3+E|sp+1,i|3).

由式(5)得

將其最后一步拆成兩部分來(lái)證明.

再由Cauchy-Schearz不等式和引理3.2，得

由此證得引理4成立.

需證明

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由于式(8)、式(9)和式(10)有相似的結(jié)構(gòu)，只證明式(8)成立，其他可類(lèi)似處理.

為得到式(8)，只需證

(11)

(12)

其中:

而式(9)和式(10)由大數(shù)定律可知成立.

由式(7)，有

(13)

(14)

(15)

由于式(13)、式(14)和式(15)有相似的結(jié)構(gòu)，只證明式(13)成立，其余可以類(lèi)似處理.

當(dāng)n充分大時(shí)，由δ∈Nn(ε)，由式(4)中frs(δ)的連續(xù)性，可得式(13)成立.

由此證得引理5成立.

4 主要結(jié)果及證明

證明令?Nn(ε)表示Nn(ε)的邊界，由條件(1)知，當(dāng)n→時(shí)，Nn(ε)收斂于δ0.

則 ln(δ)-ln(δ0)<0，?δ∈?Nn(ε).

(16)

下面證明對(duì)?η>0，?ε>0和n1使得對(duì)所有n≥n1，有

P(ln(δ)-ln(δ0))<0，且對(duì)?δ∈?Nn(ε)≥1-η成立.

(17)

由此可知式(17)成立.

因此可以推得定理1的(i)成立.

由引理4和引理5即可推得定理1 的(ii)成立.

5 結(jié) 論

通過(guò)討論響應(yīng)變量為單參數(shù)指數(shù)族且在零點(diǎn)處膨脹的廣義線性模型的大樣本性質(zhì)，表明零膨脹廣義線性模型具有與廣義線性模型相類(lèi)似的漸近性質(zhì).另外，定理的漸近結(jié)果也適用于一些離散型模型，如零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型，零膨脹泊松回歸模型，等等.