鄭 藝，王明洲

(中國船舶集團(tuán)公司 第705研究所，陜西 西安 710077)

0 引 言

純方位目標(biāo)跟蹤方法是在被動測量的情況下，根據(jù)傳感器測量到的受到噪聲污染的方位數(shù)據(jù)來估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動特性的跟蹤方法，在許多領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用[1]，例如雷達(dá)、水下、航空等領(lǐng)域，特別是在水下環(huán)境中，這種跟蹤方法備受關(guān)注。尤其是本文將要討論的單站純方位目標(biāo)跟蹤，它的優(yōu)點(diǎn)在于可以僅通過單個觀測站在隱蔽狀態(tài)下對目標(biāo)進(jìn)行被動的觀測，并進(jìn)行運(yùn)動參數(shù)的估計(jì)，從而可以單獨(dú)秘密地進(jìn)行行動策劃并對目標(biāo)實(shí)施打擊。但由于單個觀測站所能獲得的觀測數(shù)據(jù)有限，系統(tǒng)可觀測性差，對目標(biāo)的定位和跟蹤難度更大。因此，單站純方位目標(biāo)跟蹤是水下目標(biāo)攻擊領(lǐng)域中最受關(guān)注的一種方法，它既是目標(biāo)跟蹤算法領(lǐng)域中的基本方法，又是公認(rèn)的最具挑戰(zhàn)性的一大難題。隨著水下目標(biāo)的運(yùn)動速度不斷提高，對水下快速目標(biāo)的跟蹤定位提出了新的挑戰(zhàn)。

單站純方位目標(biāo)跟蹤方法的研究熱點(diǎn)集中在批處理和遞推類估計(jì)兩大類方法中。其中遞推類估計(jì)方法由于模型簡單、數(shù)據(jù)儲存量小的特點(diǎn)，更加適合計(jì)算機(jī)應(yīng)用，已經(jīng)成為目標(biāo)定位跟蹤方法的發(fā)展方向和研究熱點(diǎn)[2]。由于水下單站純方位目標(biāo)跟蹤模型是非線性的，線性濾波效果不佳，用于此方面的遞推類估計(jì)方法有：擴(kuò)展卡爾曼濾波[3]、無跡卡爾曼濾波[4]、粒子濾波[5]等。

遞推類估計(jì)方法有一共同難點(diǎn)在于，由于遞推的性質(zhì)，后一時刻的結(jié)果依賴于前一時刻，誤差易隨迭代過程擴(kuò)大。對于卡爾曼系的算法，還有一大問題在于估計(jì)結(jié)果對于估計(jì)初值的選取十分依賴，起始時刻誤差通過迭代始終影響后續(xù)時刻的濾波，因此起始時刻初值的準(zhǔn)確度對后續(xù)的參數(shù)估計(jì)和目標(biāo)跟蹤的效果有著較大影響。近年來一些文獻(xiàn)研究了雙向?yàn)V波[6-8]或者是后向平滑[9-11]的濾波方法，試圖通過正反向的濾波，增加對觀測數(shù)據(jù)的利用，以提高估計(jì)精度。但這些方法都是針對濾波中上一時刻的優(yōu)化，沒有對濾波初值進(jìn)行單獨(dú)優(yōu)化，對于短時觀測的情況，誤差降低效果有限。本文的研究是在這種后向?yàn)V波思路的基礎(chǔ)上，采用一種逆向平滑方法對濾波的初值進(jìn)行優(yōu)化，使整個跟蹤過程的誤差降低，提高短時觀測下快速目標(biāo)跟蹤的準(zhǔn)確度。

1 單站純方位目標(biāo)運(yùn)動模型

只考慮目標(biāo)在二維平面運(yùn)動，假定目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動，坐標(biāo)系如圖1所示。X軸指向正東，Y軸指向正北，觀測站初始位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)，目標(biāo)在XOY平面運(yùn)動。為目標(biāo)初始距離，為目標(biāo)運(yùn)動航向，為目標(biāo)的運(yùn)動速度，時刻對應(yīng)的目標(biāo)方位，是時刻觀測平臺位置對應(yīng)的坐標(biāo)，是時刻對應(yīng)的目標(biāo)與觀測平臺之間的距離。顯然，對于勻速直線運(yùn)動的目標(biāo)，能夠唯一地確定目標(biāo)的運(yùn)動軌跡。

對于勻速直線運(yùn)動的目標(biāo)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可表示為：

當(dāng)觀測量是方位角時，觀測方程可以寫為：

2 卡爾曼估計(jì)算法系

觀測方程（4）是非線性的，而卡爾曼濾波算法是線性的，應(yīng)用于純方位目標(biāo)運(yùn)動分析，通常是將其進(jìn)行各種方式的處理改進(jìn)，形成非線性濾波方法。但其實(shí)這類算法的核心部分是類似的，以傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法為例，說明其原理。

卡爾曼系濾波算法通常首先根據(jù)式（2）和式（3）構(gòu)造遞推卡爾曼濾波器，過程如下：

1）狀態(tài)一步預(yù)測

2）狀態(tài)更新

3）濾波增益矩陣

4）一步預(yù)測協(xié)方差

5）協(xié)方差陣更新

3 基于逆向平滑的初值優(yōu)化

由于卡爾曼濾波算法的遞推性質(zhì)，導(dǎo)致其對濾波初值的選取十分敏感，后段濾波依賴于前段濾波的結(jié)果，因此初值誤差的影響長時間地存在于濾波過程中。本文提出一種初值的優(yōu)化方法，通過卡爾曼濾波的逆向遞推，對濾波初值進(jìn)行重新估計(jì)，降低初始的估計(jì)誤差，從而提高整個濾波過程的精度。

3.1 逆向平滑

式（5）～式（10）描述了一般的正向卡爾曼濾波類方法的基本過程，作為遞推類的濾波，這一過程是可以進(jìn)行逆向遞推的，其原理如下：

將式（2）展開，有

對于勻速直線運(yùn)動目標(biāo)，可以認(rèn)為目標(biāo)速度不變，即

將式（11）中等號左右移動，并將式（12）代入整理得：

可將方程組（13）用矩陣表示為：

其中：

將式（14）與式（3）組合，可構(gòu)造出一組新的狀態(tài)空間模型。此空間模型同樣適用于卡爾曼濾波方法，將這組新的狀態(tài)空間模型運(yùn)用到卡爾曼濾波的遞推過程中，可以實(shí)現(xiàn)從時刻向時刻逆向遞推，過程如下：

1）狀態(tài)一步逆向預(yù)測

2）狀態(tài)逆向更新

3）濾波增益矩陣

4）一步逆向預(yù)測協(xié)方差

5）協(xié)方差陣逆向更新

由于這種逆向平滑的估計(jì)值是通過正向的卡爾曼濾波得到的估計(jì)值再次經(jīng)過逆向卡爾曼濾波得到的，增加了觀測數(shù)據(jù)的正反向運(yùn)用，減少了估計(jì)的誤差。

3.2 初值優(yōu)化

取十分敏感的問題，將上述逆向平滑濾波運(yùn)用到對初值的優(yōu)化中，步驟如下：

對于無跡卡爾曼濾波、擴(kuò)展卡爾曼濾波及各種改進(jìn)的卡爾曼濾波方法而言，雖然各方法的具體步驟不同，但由于各種算法的核心部分都是基于卡爾曼濾波的，因此上述初值優(yōu)化過程也同樣適用于其他的卡爾曼系的濾波方法。

4 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提出的基于逆向平滑的初值優(yōu)化方法對純方位目標(biāo)跟蹤軌跡的改善性能，選用無跡卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波兩大經(jīng)典的卡爾曼系濾波方法進(jìn)行試驗(yàn)，分別用2種方法進(jìn)行基于逆向平滑的初值優(yōu)化，驗(yàn)證使用所提方法優(yōu)化初值后對整個跟蹤結(jié)果的改善效果。

4.1 仿真條件

根據(jù)快速目標(biāo)短時跟蹤的背景需要，設(shè)置目標(biāo)和觀測站運(yùn)動軌跡如下：目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動，初始位置坐標(biāo)為（100 m，-400 m）；目標(biāo)運(yùn)動速度為50 kn，航向?yàn)?41°，即直角坐標(biāo)系下目標(biāo)的初始速度為（-30，40）kn，換算單位后為（-15.42，20.56）m/s，目標(biāo)真實(shí)的狀態(tài)向量為（100，-15.42，-400，20.56）。觀測站的初始位置（0 m，0 m），以45 kn的速度向-36°方向勻速直線運(yùn)動50 s，而后向-63°方向繼續(xù)以45 kn速度勻速直線運(yùn)動100 s。針對目標(biāo)運(yùn)動速度快、觀測時間較短的問題，設(shè)置觀測站方位估計(jì)頻率為10 Hz。設(shè)置各項(xiàng)誤差條件如下：

1）仿真條件1

觀測站方位估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為2°，初始距離估計(jì)誤差為10%，初始速度矢量估計(jì)誤差為10%。設(shè)置此仿真條件為基礎(chǔ)仿真條件，其他仿真條件在此基礎(chǔ)上對比。

2）仿真條件2

在條件1的基礎(chǔ)上，增加目標(biāo)方位估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為8°，其他條件不變。

3）仿真條件3

在條件1的基礎(chǔ)上，增加初始距離估計(jì)誤差為20%，其他條件不變。

4）仿真條件4

在條件1的基礎(chǔ)上，增加初始速度矢量估計(jì)誤差為20%，其他條件不變。

4.2 無跡卡爾曼仿真結(jié)果對比

在仿真條件1下，分別采用無跡卡爾曼濾波和基于逆向平滑的初值優(yōu)化的無跡卡爾曼濾波2種方法，進(jìn)行200次蒙特卡羅試驗(yàn)，并將200次仿真試驗(yàn)中2種方法的誤差進(jìn)行平均，結(jié)果如圖2所示。

在圖2給出的仿真結(jié)果中，進(jìn)行50個采樣點(diǎn)的逆向遞推，即步數(shù)的取值為50。圖2（a）為位置坐標(biāo)的估計(jì)值與位置坐標(biāo)真實(shí)值之間誤差，2條曲線分別為無跡卡爾曼濾波初值優(yōu)化前后的誤差比較；圖2（b）為優(yōu)化前后速度標(biāo)量估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差比較；圖2（c）展示的是目標(biāo)航向的估計(jì)值與真實(shí)目標(biāo)航向間的誤差，在初值優(yōu)化前后的比較；圖2（d）為目標(biāo)距離估計(jì)值與真實(shí)值間的誤差在初值優(yōu)化前后的比較?？梢钥闯?，對于無跡卡爾曼濾波，經(jīng)過初值優(yōu)化后，各項(xiàng)誤差均有明顯降低，并且這種誤差的縮小在整個150 s的觀測與估計(jì)過程中都存在，尤其對于誤差峰值的降低效果明顯。在對目標(biāo)各項(xiàng)參數(shù)估計(jì)中，經(jīng)過初值優(yōu)化的方法比普通的無跡卡爾曼濾波對誤差峰值處的降低更為明顯，這樣可以縮小誤差的范圍。

為了對比不同仿真條件下初值優(yōu)化方法的效果，分別在條件1、條件2、條件3、條件4下進(jìn)行仿真試驗(yàn)，取200次蒙特卡羅試驗(yàn)的誤差進(jìn)行平均，并將優(yōu)化前后的平均誤差統(tǒng)計(jì)如表1所示。

對于分別增大方位估計(jì)角度誤差標(biāo)準(zhǔn)差、增大初始速度估計(jì)誤差、增大初始距離估計(jì)誤差后，本文所提方法對無跡卡爾曼濾波的誤差降低依然有效，但誤差降低率有所下降。

4.3 擴(kuò)展卡爾曼仿真結(jié)果對比

用擴(kuò)展卡爾曼濾波對比本文所提基于逆向平滑的初值優(yōu)化的擴(kuò)展卡爾曼濾波，在給出的仿真條件下分別進(jìn)行200次蒙特卡羅試驗(yàn)，并將200次仿真結(jié)果中2種方法的誤差進(jìn)行平均處理，結(jié)果如圖3所示。

圖2 無跡卡爾曼濾波仿真結(jié)果Fig. 2 Simulation results of Unscented Kalman filter

分別根據(jù)條件1、條件2、條件3、條件4這4組仿真條件進(jìn)行200次蒙特卡羅試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)擴(kuò)展卡爾曼濾波初值優(yōu)化前后平均誤差，對比結(jié)果如表2所示。

由表2可知，在增加方位估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差、初始速度誤差、初始距離誤差后，本文所提初值優(yōu)化方法對擴(kuò)展卡爾曼濾波的誤差降低率下降，但依然有降低誤差的效果。

綜合表1與表2的結(jié)果，本文所提逆向平滑初值優(yōu)化方法對于無跡卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波有著相似的效果。對比不同仿真條件下的誤差降低率，此優(yōu)化方法在條件1下有著更高的誤差降低率，說明此方法在各項(xiàng)初始誤差和方位誤差標(biāo)準(zhǔn)差更低、環(huán)境條件較好時有更明顯的優(yōu)勢。

表1 無跡卡爾曼濾波優(yōu)化前后平均誤差Tab. 1 Mean error before and after UKF optimization

4.4 逆向?yàn)V波步數(shù)的影響

對于本文所提的對初值的逆向?yàn)V波優(yōu)化，有一個重要的影響因素即為逆向步數(shù)的取值。為了探究所提初值優(yōu)化方法中逆向?yàn)V波步數(shù)對誤差的影響，在仿真條件1下分別基于無跡卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波，采用不同步數(shù)的逆向?yàn)V波對初值進(jìn)行優(yōu)化。每種不同的逆向步數(shù)優(yōu)化下，分別進(jìn)行200次蒙特卡羅試驗(yàn)，每次對目標(biāo)進(jìn)行150 s的觀測和跟蹤，并將150 s內(nèi)的估計(jì)誤差求均值。表3為無跡卡爾曼濾波下初值優(yōu)化前后誤差比較，表4為擴(kuò)展卡爾曼濾波下初值優(yōu)化前后誤差比較。

圖3 擴(kuò)展卡爾曼濾波仿真結(jié)果Fig. 3 Simulation results of extended Kalman filter

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以看出，在逆向?yàn)V波步數(shù)不超過400的時候，經(jīng)過逆向?yàn)V波初值優(yōu)化的結(jié)果具有更低的濾波誤差，而逆向?yàn)V波步數(shù)在450點(diǎn)以上時，未經(jīng)初值優(yōu)化的傳統(tǒng)濾波方法具有更低的濾波誤差。對比不同的運(yùn)動參數(shù)估計(jì)，逆向?yàn)V波的初值優(yōu)化對于目標(biāo)速度和目標(biāo)距離的估計(jì)更加準(zhǔn)確，而對于目標(biāo)航向估計(jì)的性能提升相對不明顯。對于UKF和EKF，均是在逆向?yàn)V波步數(shù)為150的時候取得最佳的優(yōu)化效果，此時對位置坐標(biāo)估計(jì)誤差的平均降低率分別達(dá)到了65.90%和65.38%。

表2 擴(kuò)展卡爾曼濾波優(yōu)化前后平均誤差Tab. 2 Mean error before and after EKF optimization

以目標(biāo)位置坐標(biāo)的估計(jì)為研究對象，比較本文所提的逆向?yàn)V波初值優(yōu)化方法對于UKF和EKF的優(yōu)化效果，統(tǒng)計(jì)不同逆向?yàn)V波步數(shù)對位置估計(jì)誤差的影響，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

從圖4和圖5可以看出，通過改變逆向?yàn)V波步數(shù)，不論是UKF還是EKF，逆向?yàn)V波步數(shù)對于優(yōu)化效果的影響是非線性的。并不是逆向?yàn)V波的步數(shù)越多優(yōu)化效果越好，對2種濾波的優(yōu)化均在逆向?yàn)V波步數(shù)取值150的時候取得最低的目標(biāo)位置估計(jì)誤差，在此之后，隨著逆向?yàn)V波步數(shù)增加估計(jì)誤差增大，在逆向?yàn)V波步數(shù)到400點(diǎn)以上，優(yōu)化后的誤差甚至超過原本UKF或EKF的誤差，失去了優(yōu)化的意義。當(dāng)逆向?yàn)V波步數(shù)在150點(diǎn)左右時可取得最佳的優(yōu)化效果，對誤差的降低率達(dá)到最高。其原因在于在該仿真條件下150點(diǎn)左右正向?yàn)V波即觀測15 s時估計(jì)誤差較小，此時估計(jì)正向?yàn)V波誤差取得局部極小值。根據(jù)圖2（a）和圖3（a）所顯示的目標(biāo)位置估計(jì)誤差，不論對于EKF還是UKF，在觀測時刻15 s左右即150點(diǎn)左右時刻，目標(biāo)位置坐標(biāo)估計(jì)的誤差取得極小值，利用此時時段內(nèi)較小誤差的估計(jì)值進(jìn)行逆向?yàn)V波，理論上可取得更小的誤差，得到初值優(yōu)化的效果更佳。而濾波誤差的極小值點(diǎn)的取得步數(shù)或者是濾波收斂的步數(shù)是不一定的，它與目標(biāo)和觀測站的運(yùn)動軌跡有關(guān)，因此在不同的場景下的最佳逆向?yàn)V波步數(shù)是不同的，不具有普適性。

表3 不同逆向步數(shù)無跡卡爾曼濾波優(yōu)化前后誤差比較Tab. 3 Error comparison before and after optimization of different reverse steps of Unscented Kalman filter

表4 不同逆向步數(shù)擴(kuò)展卡爾曼濾波優(yōu)化前后誤差比較Tab. 4 Error comparison before and after optimization of different reverse steps of Extended Kalman filter

但這并不意味著逆向?yàn)V波步數(shù)在濾波誤差最低時是最佳選擇，由于逆向?yàn)V波需要取得一定量的觀測數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)，更多步數(shù)的逆向?yàn)V波需要更多的觀測數(shù)據(jù)和觀測時長，同時需要更大的計(jì)算量。

圖4 步數(shù)對優(yōu)化后UKF的影響Fig. 4 The influence of the number of steps on the optimized UKF

圖5 步數(shù)對優(yōu)化后EKF的影響Fig. 5 The influence of the number of steps on the optimized EKF

5 結(jié) 語

本文研究背景是基于快速目標(biāo)短時觀測下的目標(biāo)跟蹤，根據(jù)仿真結(jié)果與比較分析可得，本文所提基于逆向平滑濾波的初值優(yōu)化方法對于無跡卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波都有效果，對于目標(biāo)位置坐標(biāo)估計(jì)誤差、目標(biāo)速度估計(jì)誤差和目標(biāo)距離估計(jì)誤差都有明顯的縮小，并且在分別增大方位估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差、距離初值誤差、速度初值誤差后，本文所提方法依然有效縮小估計(jì)誤差。本文所提方法雖然只改變?yōu)V波的初值，但在目標(biāo)跟蹤中對于誤差的縮小有著長時間的效應(yīng)。優(yōu)化的效果和算法的實(shí)時性均與逆向平滑的步數(shù)有關(guān)，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)需求選取適合的逆向平滑步數(shù)，以滿足不同的實(shí)際需求。