鄭繼明，鄭永杰，胡濟(jì)桐，李超

均值-CVaR投資組合模型的遺傳算法求解研究＊

鄭繼明，鄭永杰，胡濟(jì)桐，李超

（重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400065）

針對遺傳算法（GA）全局搜索能力較弱、收斂精度不高等問題，對遺傳算法的交叉操作引入正態(tài)分布交叉算子，并用于以CVaR度量風(fēng)險，含有交易費(fèi)率的均值-CVaR投資組合模型的求解，給出了預(yù)期收益下的最優(yōu)投資策略。同時通過仿真實驗驗證了改進(jìn)遺傳算法較常規(guī)遺傳算法精度更高，性能更穩(wěn)定。

正態(tài)分布交叉算子；改進(jìn)遺傳算法；CVaR；投資組合優(yōu)化

近年來，隨著證券市場的不斷發(fā)展和完善，證券投資者的熱情日益高漲。但除了投資固定收益類產(chǎn)品（如國債、公司債）外，投資股票、基金都是具有一定風(fēng)險的。那么如何度量風(fēng)險便成為人們研究的主要對象。

過去人們用方差度量風(fēng)險，但方差僅僅代表資產(chǎn)價格在這一時期的波動，波動并不一定就是風(fēng)險，因而這一方法逐漸被人們所淘汰。目前廣為大眾所接受的量化風(fēng)險的指標(biāo)有風(fēng)險價值（VaR）和條件風(fēng)險價值（CVaR）等。但VaR和CVaR直接求解困難，文獻(xiàn)[1]通過構(gòu)造輔助函數(shù)有效地將CVaR和VaR聯(lián)系起來，文獻(xiàn)[2]證明可以通過線性規(guī)劃方法求解該函數(shù)進(jìn)而得出CVaR。但線性規(guī)劃方法存在求解速度較慢等問題。近年來，隨著各種啟發(fā)式算法的興起，為求解帶來了新的思路。一些學(xué)者開始采用各種多目標(biāo)進(jìn)化算法對收益和風(fēng)險兩個目標(biāo)進(jìn)行直接求解，如宋慧慧等[3]利用向量評估遺傳算法對基于CVaR有交易費(fèi)率的多目標(biāo)函數(shù)求解，楊天山等[4]利用多目標(biāo)粒子群算法對基于CVaR的多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。但對于投資者而言，他們往往想要得到的是在一定收益下的最小風(fēng)險，而不是在多組數(shù)據(jù)中選擇合適的投資組合。

遺傳算法作為一種實用、高效、魯棒性強(qiáng)的單目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)，在各種不同領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。實踐證明運(yùn)用遺傳算法求解證券組合優(yōu)化問題十分有效[5-7]。同時投資組合 優(yōu)化作為高維數(shù)值優(yōu)化問題，對于該類問題通常采用算術(shù) 交叉來引導(dǎo)交叉操作[8-9]，但由于證券投資的組合方式極多，如采用一般的交叉方式，搜索到的解空間范圍較小，使得更多有效的組合被遺漏，考慮對遺傳算法引入正態(tài)分布交叉算子[10]，以提高遺傳算法的全局搜索能力。

本文對有交易費(fèi)率的均值-CVaR模型，設(shè)置投資者預(yù)期收益，同時采用改進(jìn)遺傳算法對該模型進(jìn)行求解，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，克服了在求解均值-CVaR模型時容易過早收斂的缺陷。最后選取滬深300指數(shù)中15只股票進(jìn)行實證分析，證實了改進(jìn)算法的有效性。

1 證券投資組合模型

1952年MRKOWITZ基于“風(fēng)險為投資收益率的易變性和不確定性”的概念提出了以投資組合中資產(chǎn)收益率的方差度量風(fēng)險的指標(biāo)，通過分散化投資來降低風(fēng)險，創(chuàng)立了最優(yōu)化投資組合的基本模型——Markowitz均值-方差投資組合優(yōu)化模型（即M-V模型），開創(chuàng)了現(xiàn)代投資理論的先河。但M-V模型建立在一系列嚴(yán)格的假設(shè)基礎(chǔ)上，而這些假設(shè)在實際生活中很難全部滿足，因此限制了M-V模型在實際生活中的應(yīng)用。隨后，越來越多投資者開始關(guān)注負(fù)收益率的波動情況，出現(xiàn)了一些描述投資金額損失的風(fēng)險度量方式，其中以Morgan J P投資銀行提出的基于VaR的風(fēng)險度量系統(tǒng)為主。VaR模型反映了在市場平穩(wěn)且置信區(qū)間給定的情況下，投資者在持有資產(chǎn)期間的最大可能損失。但是，由于僅能描述給定置信水平下風(fēng)險的分位點(diǎn)的限制，VaR并不能度量超過此分位點(diǎn)的風(fēng)險情況，難以用于波動市場下的投資組合。并且，VaR不具有次可加性和凸性，不符合一致性風(fēng)險度量的標(biāo)準(zhǔn)。

為了克服VaR模型的缺陷，文獻(xiàn)[1]提出了CVaR模型，定義為給定置信水平下，證券投資組合在持有期面臨的風(fēng)險超過同等置信水平下VaR的平均值，即損失超過VaR的條件均值，反映出潛在損失的平均水平。進(jìn)一步研究表明，CVaR滿足次可加性和凸性，是良好的一致性風(fēng)險度量方式。

1.1 CVaR風(fēng)險度量方法

根據(jù)VaR模型及CVaR模型的定義，對任意置信水平∈（0，1），可以得到：

從式（3）不難看出求解CVaR需要預(yù)先知道VaR值，且直接求解較為困難，因此文獻(xiàn)[1]通過構(gòu)造輔助函數(shù)β（，），將VaR和CVaR兩者有效地聯(lián)系起來：

式（4）中：［（，）－］+為max{（，）－，0}。

由于市場環(huán)境復(fù)雜變化，難以直接得到（）的準(zhǔn)確值，采用歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測未來隨機(jī)向量的分布情況。對已知只證券個交易日的歷史收益率數(shù)據(jù)，相對于β（，）的近似值為：

1.2 基于CVaR的投資組合模型

則以CVaR度量風(fēng)險，含有交易費(fèi)率的均值-CVaR投資組合模型為：

式（7）中：為懲罰系數(shù)，本文取100。

2 求解均值-CVaR模型的改進(jìn)遺傳算法

2.1 交叉操作

張敏等[10]為增強(qiáng)多目標(biāo)進(jìn)化算法對可行解的空間搜索能力，將正態(tài)分布及進(jìn)化策略中的離散重組操作引入交叉操作中，提出了正態(tài)分布交叉（NDX）算子：

同時文獻(xiàn)[10]對NDX算子進(jìn)行了實驗驗證，證實了該方法的引入，使得算法具有更強(qiáng)的可行解空間的搜索能力，使搜索到的解空間更為廣闊。因此本文考慮將NDX算子引入遺傳算法中，并取=1.481。

2.2 遺傳算法設(shè)計程序流程描述

3 實證分析

3.1 樣本采集及數(shù)據(jù)處理

本文從網(wǎng)易財經(jīng)網(wǎng)上選取了滬深300指數(shù)中的15只股票做為實驗的研究對象，時間跨度為2017-07-26— 2019-07-26，2個交易年，共489個交易日的股票數(shù)據(jù)（其中停牌數(shù)據(jù)收益率取0）。本文采用未復(fù)權(quán)的數(shù)據(jù)，通過Excel和Matlab R2018a處理得到各股票在這一個期間的平均收益率，結(jié)果如表1所示。

表1 實驗股票及其日均收益率

股票代碼股票名稱日均收益率均值 600111北方稀土0.001 076 284 000333美的集團(tuán)0.000 299 78 000012南玻A-0.000 517 052 000061農(nóng)產(chǎn)品-0.001 907 856 000027深圳能源0.000 053 641 7 000002萬科A0.001 616 649 000858五糧液0.002 509 53 002120韻達(dá)股份0.000 553 588 600036招商銀行0.001 224 358 000009中國寶安-0.001 396 537 600977中國電影-0.000 018 325 5 600039中集集團(tuán)-0.000 896 983 600489中金黃金0.002 520 513 000060中金嶺南-0.000 593 33 000063中興通訊0.003 839 273

3.2 結(jié)論分析及模型評價

選取置信水平=0.95和=0.99，在不同預(yù)期收益水平下，通過改進(jìn)算法對上文建立的均值-CVaR模型進(jìn)行求解，得出15只股票構(gòu)成的風(fēng)險最小，即CVaR取值最小的投資組合方式，分別如表2和表3所示。

表2 置信水平=0.95下不同預(yù)期收益對證券投資組合的影響

期望收益率0.05%0.1% 北方稀土0.020 890.153 70 美的集團(tuán)00 南玻A0.153 050.148 40 農(nóng)產(chǎn)品00.001 45 深圳能源00 萬科A0.215 360.269 15 五糧液0.273 760.049 46 韻達(dá)股份00 招商銀行00 中國寶安0.153 920.024 64 中國電影0.007 230.066 05 中集集團(tuán)00.119 70 中金黃金0.100 910.058 99 中金嶺南00.001 01 中興通訊0.074 860.107 41 CVaR0.033 710.037 74

表3 置信水平=0.99下不同預(yù)期收益對證券投資組合的影響

期望收益率0.05%0.1% 北方稀土00.144 42 美的集團(tuán)00 南玻A0.174 500.090 43 農(nóng)產(chǎn)品0.082 760 深圳能源00 萬科A0.107 180.216 45 五糧液0.294 760.074 89 韻達(dá)股份00 招商銀行00 中國寶安0.210 300.146 34 中國電影00 中集集團(tuán)0.130 490.283 33 中金黃金00.044 10 中金嶺南00 中興通訊00 CVaR0.048 070.055 91

3.2.1 置信水平和預(yù)期收益對結(jié)果的影響

作為CVaR風(fēng)險度量理論的重要參數(shù)，置信水平的選取不僅體現(xiàn)了CVaR實際計算結(jié)果的有效性，還體現(xiàn)著投資者對風(fēng)險的偏好程度。從表2和表3中可以看出，在相同的預(yù)期收益下，隨著置信水平的提高，CVaR值增大，即對風(fēng)險的厭惡程度增大。在相同置信水平下，對比0.05%和0.1%兩個不同的預(yù)期收益的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)置信水平一定時，隨著預(yù)期收益的增加，CVaR值也隨之增加，該結(jié)果符合高風(fēng)險，高回報的證券投資理論。以上均從側(cè)面說明了該算法求解投資組合模型的可行性。

3.2.2 算法對比

在置信水平=0.95，預(yù)期收益為0.01%下，對改進(jìn)遺傳算法（改進(jìn)GA）與常規(guī)遺傳算法（GA）進(jìn)行500次獨(dú)立對比實驗，結(jié)果如表4所示。

表4 算法搜索性能比較

算法最優(yōu)CVaR值平均CVaR值方差 GA0.038 030.038 733.55×10-7 改進(jìn)GA0.037 700.037 723.12×10-10

通過實驗對比，可以看出采用正態(tài)分布交叉算子的改進(jìn)遺傳算法計算所得的最優(yōu)CVaR值以及平均CVaR值均小于常規(guī)遺傳算法，說明正態(tài)分布交叉算子的引入加強(qiáng)了算法的全局搜索能力，克服了遺傳算法在求解投資組合優(yōu)化問題上易早熟的缺陷。同時由500次實驗的方差可以看出改進(jìn)算法的性能也更加穩(wěn)定。因此可以得出結(jié)論，對遺傳算法引入正態(tài)分布交叉算子對投資組合優(yōu)化問題的處理效果明顯優(yōu)于常規(guī)遺傳算法。

4 結(jié)束語

通過對常規(guī)遺傳算法的交叉操作引入正態(tài)分布交叉算子，本文討論了對考慮有交易費(fèi)率，設(shè)置預(yù)期收益的均值-CVaR投資組合模型進(jìn)行求解的方法。實驗表明，改進(jìn)遺傳算法對求解投資組合問題的處理效果優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，證實了改進(jìn)遺傳算法的可行性和有效性。但本文并未對遺傳算法的變異操作做出相應(yīng)的考慮，以及對于現(xiàn)實證券市場中所需考慮的諸多因素也并未考慮全面，這些都是有待完善的。

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2095－6835（2020）20－0012－03

F224

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.20.004

鄭繼明（1963—），男，四川簡陽人，教授，主要從事數(shù)學(xué)建模方法研究。鄭永杰（1998—），男，安徽合肥人，信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生。胡濟(jì)桐（1999—），男，安徽安慶人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。李超（1999—），男，重慶渝北人，信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生。

重慶郵電大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練項目（編號：A2019-25）資助

〔編輯：嚴(yán)麗琴〕