孫麗泊

摘要：隨著中國金融體系的逐步完善和大數(shù)據(jù)時代的到來，新技術(shù)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用不斷深化。本文在馬科維茨投資組合理論的基礎(chǔ)上，借助Python工具，在20只來自不同行業(yè)的股票中選取5只進(jìn)行了組合投資分析，通過實(shí)證得到夏普比率最大的最優(yōu)投資組合及方差最小的最優(yōu)投資組合，對它們的預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差及夏普比率進(jìn)行對比分析，并給出資產(chǎn)組合的有效邊界。通過實(shí)證分析，進(jìn)一步說明馬科維茨投資組合理論在金融風(fēng)險管理中的重要意義。

關(guān)鍵詞：馬科維茨模型 ?Python ?夏普比率 ?有效邊界 ?最優(yōu)投資組合

一、引言

（一）相關(guān)理論

1.馬科維茨投資組合理論。1952年，哈里·馬科維茨的論文《Portfolio Selection》運(yùn)用概率論和求解二次規(guī)劃的方法解決投資組合的選擇問題，這是現(xiàn)代資產(chǎn)組合管理理論誕生的標(biāo)志。在投資者厭惡風(fēng)險并尋求期望收益最大化的假設(shè)條件下，馬科維茨投資組合理論包括均值-方差模型和效邊界理論兩方面內(nèi)容。該理論提出用均值和方差分別量化投資組合的期望收益和投資風(fēng)險，投資決策的目標(biāo)便是尋找相同收益水平下投資風(fēng)險最小或同等風(fēng)險水平下收益最高的投資組合，位于有效邊界上的投資組合同時滿足這兩個條件。

（1）均值-方差模型。

假設(shè)投資者在某單一投資期投資于n種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的組合，ri表示第i個資產(chǎn)的預(yù)期收益率，則資產(chǎn)組合的期望收益率為：

（1）

其中表示第i個資產(chǎn)所占的投資比重。

用表示第i個資產(chǎn)的方差，則由n項(xiàng)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的方差為：

（2）

其中，i，j表示不同的資產(chǎn)，是資產(chǎn)i和資產(chǎn)j之間的協(xié)方差，它是用來衡量兩種資產(chǎn)收益率聯(lián)動性的指標(biāo)。為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j之間的相關(guān)系數(shù)，可用來比較兩種資產(chǎn)之間相關(guān)性的大小。和分別表示資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)公式（2）可以看出，投資組合的風(fēng)險主要取決于各個資產(chǎn)的投資比重、不同證券之間的相關(guān)系數(shù)、以及各項(xiàng)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，我們應(yīng)優(yōu)先選擇方差較小且兩兩之間相關(guān)系數(shù)較低的資產(chǎn)構(gòu)建投資組合從而降低投資風(fēng)險。在實(shí)際應(yīng)用中，通常用過去收益數(shù)據(jù)的樣本平均值和樣本方差來估計未來收益與風(fēng)險。

（2）資產(chǎn)組合的有效邊界。

投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的所有可能組合構(gòu)成可行集，其形狀類似圖1所示的一個左凸的實(shí)心區(qū)域。MVP點(diǎn)標(biāo)注的為最小方差資產(chǎn)組合，以該點(diǎn)為中心可將可行集分成兩部分，其中位于上半部分邊緣線的投資組合同時滿足既定收益水平下風(fēng)險最小和同等風(fēng)險水平下收益最高的條件，被稱為資產(chǎn)組合的有效邊界。

2.夏普比率。1966年，夏普提出用夏普比率（Sharpe ratio）作為衡量基金業(yè)績的風(fēng)險調(diào)整指標(biāo)，夏普比率是投資組合的超額期望收益率與整體標(biāo)準(zhǔn)差之比，計算公式為：

（3）

其中，表示夏普比率，為投資組合整體標(biāo)準(zhǔn)差，是無風(fēng)險利率。

表示資產(chǎn)組合每多承擔(dān)一單位風(fēng)險時，能有多少超額收益。綜合考慮了收益與風(fēng)險，本文的實(shí)證研究部分也將使用這一指標(biāo)作為判斷投資組合優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。

（二）研究內(nèi)容

本文研究的主要問題是，利用 Python語言說明馬科維茨投資組合理論在股市最優(yōu)投資組合選擇中的一個應(yīng)用實(shí)例。Python語言具有完整的數(shù)據(jù)分析套件和能夠調(diào)取股價等金融數(shù)據(jù)的程序包，為解決金融問題提供了很大的方便。利用Python語句求解最優(yōu)投資組合可有效解決各項(xiàng)資產(chǎn)之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)計算復(fù)雜等問題。研究表明在Python中能夠很快計算出最優(yōu)投資組合，新技術(shù)對于馬科維茨的投資組合理論在中國金融市場中的應(yīng)用有重要價值。

二、實(shí)證研究

本文選取了市場上20只來自不同行業(yè)比較有代表性的股票，首先利用過去三個月的歷史數(shù)據(jù)計算出這20只股票的收益率均值、股票相互之間的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而從中篩選出收益率較高且相互之間相關(guān)系數(shù)較小的5只股票;然后通過夏普比率最大化和方差最小化這兩種優(yōu)化方法來找到最優(yōu)的投資組合權(quán)重參數(shù)，并計算出這兩種最優(yōu)投資組合的期望收益率、預(yù)期波動率和夏普比率;最后對投資組合的有效邊界進(jìn)行可視化。

（一）樣本股票的選擇及數(shù)據(jù)獲取

首先新建一個Python3文件并將要使用的軟件包引入，代碼如下：

選取市場中20只來自不同行業(yè)的比較有代表性的股票，利用tushare庫中的get_hist_data函數(shù)，獲取它們自2019年1月1日至2019年12月31日之間一共246個交易日的每日收盤價歷史數(shù)據(jù)，分別用mean函數(shù)、cov函數(shù)和corr函數(shù)估計出每只股票的預(yù)期年化收益率、相互之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。表1列出了20只股票的股票代碼和預(yù)期年化收益。

從以上20只股票中篩選出收益率較高且相互之間相關(guān)系數(shù)較小的5只股票，分別是：貴州茅臺（600519）、萬科A股（000002）、方正科技（600601）、中國船舶（600150）和晨光文具（603899）（本文后面投資組合的權(quán)重向量各股排序與此處相同）。

（二）5只股票的預(yù)期收益率、相互之間的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

重新計算所選5只股票的預(yù)期年化收益率、各只股票相互之間的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表2所示：

根據(jù)表2可見，5只股票的預(yù)期收益率均大于0，各股票之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均較小，適合構(gòu)造投資組合。

（三）模擬大量隨機(jī)投資組合

為了尋找滿足條件的最優(yōu)投資組合以及有效邊界，首先通過一次蒙特卡羅模擬得到50000組隨機(jī)權(quán)重向量，并通過數(shù)組記錄各組合的期望收益、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，這里主要用到for循環(huán)語句、append函數(shù)和numpy庫中的random函數(shù)和array函數(shù)，其中組合期望收益為5只股票預(yù)期收益的加權(quán)和，計算夏普比率時無風(fēng)險利率設(shè)定為4%，另外由于中國的股市不允許賣空，還需將各股權(quán)重數(shù)值限定在0和1之間。在圖2中可以看到這些隨機(jī)組合的分布，它們構(gòu)成了資產(chǎn)組合的可行集。

（四）找到夏普比率最大的最優(yōu)投資組合

首先定義一個stat函數(shù)記錄投資組合的預(yù)期收益、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，然后引入scipy庫中的optimze模塊，在權(quán)重和等于1的約束下，利用minimize函數(shù)最小化夏普比率的負(fù)值，起始參數(shù)列表采用均勻分布，即5只股票的權(quán)重均為0.2，最終求得夏普比率最大的投資組合的權(quán)重向量為[0.435，0.057，0.127，0.021，0.36]，預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差、夏普比率構(gòu)成的向量為[0.593，0.226，2.443]。

（五）找到方差最小的最優(yōu)投資組合

用minimize函數(shù)得到方差最小的最優(yōu)投資組合權(quán)重向量為[0.134，0.336，0.162，0.022，0.346]，該組合預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差、夏普比率向量為：[0.471，0.200，2.155].

（六）最優(yōu)投資組合的比較和可視化

將以上得到的夏普比率最大的投資組合和方差最小的投資組合結(jié)果整理為表3，以便投資者更直觀地對它們進(jìn)行比較，選擇適合自己的最優(yōu)投資組合。

從表3可以看出，投資組合的夏普比率最大可以達(dá)到2.443，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.226，對那些希望每多承擔(dān)一單位風(fēng)險所獲得的超額收益達(dá)到最大的投資者，應(yīng)該選擇夏普比率最大的投資組合，即對貴州茅臺、萬科A股、方正科技、中國船舶和晨光文具的投資比重分別為43.5%、5.7%、12.7%、2.1%和36%，該組合的預(yù)期收益率是59.3%.對于追求投資風(fēng)險最小的投資者，應(yīng)選擇方差最小的最優(yōu)投資組合，即對貴州茅臺、萬科A股、方正科技、中國船舶和晨光文具的投資比重分別為13.4%、33.6%、16.2%、2.2%和34.6%.該組合的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，相應(yīng)的預(yù)期收益率為47.1%。

利用matplotlib.pyplot中的相關(guān)函數(shù)對以上最優(yōu)投資組合在可行集中的位置進(jìn)行可視化，得到圖2。

圖2中，五角星標(biāo)記的是夏普比率最大的投資組合（即風(fēng)險收益均衡點(diǎn)），正六邊形標(biāo)記的是最小方差投資組合。與圖1類似，以最小方差投資組合為界，將可行集分為上下兩個部分，上半部分的邊緣即為有效邊界。

從圖2中可以看出，所有投資組合的夏普比率均為正值，有效邊界上的投資組合達(dá)到了相同收益水平下投資風(fēng)險最小和同等風(fēng)險水平下收益最高的效果。此外，有效邊界上的投資組合風(fēng)險和收益一定是相對應(yīng)的，投資者若想達(dá)到得較高的收益，相應(yīng)的就必須承擔(dān)更高的風(fēng)險。

三、結(jié)論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用馬科維茨投資組合理論，能夠找到由多個資產(chǎn)組成的投資組合中風(fēng)險最小或夏普比率最大的投資組合以及有效邊界。投資者可以根據(jù)自身實(shí)際能力以及風(fēng)險偏好進(jìn)行理性投資。Python在很大程度上方便了馬科維茨投資組合理論中預(yù)期收益率、投資組合方差的計算，并能快速找出最優(yōu)投資組合，對于馬科維茨投資組合理論在中國金融市場中的應(yīng)用有重要價值。將傳統(tǒng)的金融理論和新興程序設(shè)計語言結(jié)合起來，更加快速、高效地解決金融問題，應(yīng)該受到金融分析人員和新興技術(shù)人才的重視。

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作者單位：蘇州科技大學(xué)