宗傳書(shū) 劉麗華

摘 要：提出一種豎向荷載作用下群樁簡(jiǎn)化分析法，該方法利用 Kausel和Roesset提出的剛度矩陣模擬樁周土層的動(dòng)反應(yīng)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)自由場(chǎng)土位移和樁土接觸力的計(jì)算，利用單樁的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行群樁分析，但是必須考慮樁周土的作用。通過(guò)與現(xiàn)存其它計(jì)算理論解得比較，驗(yàn)證了該計(jì)算方法的可行性。

關(guān)鍵詞：樁群;豎向荷載;動(dòng)力分析

本文提出了一種進(jìn)行樁在豎向簡(jiǎn)諧荷載作用下小應(yīng)變分析法，利用?Kausel和Roesset提出的剛度矩陣模擬樁周土層的動(dòng)反應(yīng)，從而可以有效考慮樁周土層對(duì)樁的影響。該方法假定土為線性、樁土完全接觸無(wú)滑移現(xiàn)象、不考慮水平位移。另外對(duì)土的彈性矩陣進(jìn)行近似簡(jiǎn)化，可以由單樁的動(dòng)反應(yīng)來(lái)進(jìn)行樁群的分析，這種方法在樁數(shù)量特別多時(shí)比其他現(xiàn)存的方法更方便、適用。

一、分析模型

（一）單樁分析

單樁計(jì)算模型如圖一所示。每層土均為彈性材料，楊氏模量E_s，泊松比V_s，質(zhì)量密度ρ_s;樁為彈性柱體，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，直徑d，橫截面積A_s，楊氏模量E_p，密度ρ_p。樁土受力如圖二所示，樁體受豎向荷載和樁土相互作用力作用，土體僅受相互作用力作用，樁視為一維有限單元體，土為水平成層連續(xù)體，在樁土界面上，作用力保持平衡，單樁平衡方程為（K_p-ω²M_p）w_p=P+P_p（1）

其中ω為振動(dòng)頻率，w_p為樁豎向位移矢量，P_p為作用在樁上的樁土相互作用力矢量，P為作用在樁頂?shù)耐獠亢奢d矢量，K_p和M_p為樁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

圖一 ?成層土中軸向簡(jiǎn)諧荷載作用下的單樁模型

圖二 單樁分析 （a）樁體荷載 ??（b）作用在樁土界面上的荷載

樁周土的平衡方程為：w_s=F_sP_s（2）

其中F_s為土的撓度矩陣，P_s為作用在土上的樁土相互作用力，w_s為土層的豎向位移矢量。由于樁土接觸面樁土相互作用力平衡以及位移協(xié)調(diào)，方程1變?yōu)椋?em>K_p+F_s^-1-ω²M_p）w_p=P（3）

其中F_s^-1是F_s的逆，w_p為未知量，一旦確定w_p，則可通過(guò)軸力與樁端豎向位移的比值確定樁的阻抗。利用?Kausel和Roesset提出的剛度矩陣計(jì)算撓度矩陣F_s，對(duì)于成層土，將每層土疊加得整個(gè)樁周土的平衡方程：KU=S（4）

其中K為土層整體剛度矩陣，U為土層位移矢量，S為作用在土層上的外荷載矢量。這種方法首先要求荷載按照Hankel變換以諧波分量形式增大，從而可以得到土層的傳遞位移，該方法將三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題，計(jì)算簡(jiǎn)單，并且一旦確定所有諧波分量的傳遞位移，則在指定深度，土層的實(shí)際位移函數(shù)可以用Hankel逆變換得出???（5）

其中r為自樁軸線算起的徑向橫坐標(biāo)，u（r）為指定深度處傳遞位移，J₀（kr）為零階一類貝塞耳函數(shù)。

（二）群樁分析

對(duì)于群樁，通過(guò)每顆樁力的平衡和接觸面位移協(xié)調(diào)，其動(dòng)力平衡方程為K_PG+F_sG^-1-ω²M_PG）w_PG=P_G（6）

其中K_PG和M_PG分別為群樁剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，W_PG為樁的節(jié)點(diǎn)位移矢量，P_G為樁頂荷載矢量，F_sG為土的撓度矩陣F_sG的逆，它可以利用前面單樁分析時(shí)的過(guò)程計(jì)算，一般假定樁周為自由場(chǎng)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定所有樁均相同，則方程6便變?yōu)?em>m×n個(gè)方程，m為樁數(shù)，n為每顆樁的節(jié)點(diǎn)數(shù)，未知量為節(jié)點(diǎn)位移和樁端荷載，因此計(jì)算中必須考慮樁帽的作用，在本文中，僅考慮樁帽為剛性或完全彈性的情況。當(dāng)樁帽為完全彈性時(shí)，樁端荷載已知，則利用方程6可直接計(jì)算出節(jié)點(diǎn)位移矢W_PG;當(dāng)樁帽為剛性時(shí)，由于樁帽和樁端完全接觸，所以兩者位移保持協(xié)調(diào)。

當(dāng)樁群中樁數(shù)特別多時(shí)，這種計(jì)算方法計(jì)算比較繁瑣，為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文提出了一種更實(shí)用的方法。將方程（2）擴(kuò)展到群樁，即

（7）

其中W_si為樁i與土接觸面上土的豎向位移，P_si和P_sj為作用在樁i、j 周土上的作用力矢量，F_s為單樁撓度矩陣，△F_sij為樁j對(duì)樁I 的附加撓度矩陣，利用方程5 可以計(jì)算樁i 任何節(jié)點(diǎn)的實(shí)際位移，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定每根樁的作用力相同，即P_si=P_sj，則由方程7可以得出樁i的撓度矩陣為

（8）

方程8對(duì)于成軸對(duì)稱分布的樁群或僅有2-4顆樁組成的樁群來(lái)說(shuō)是準(zhǔn)確解，在其他情況下，例如當(dāng)樁直徑不同或樁距非常小時(shí)，它僅是近似解。但是通過(guò)與準(zhǔn)確解和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量值比較，當(dāng)?shù)皖l振動(dòng)時(shí)，這種近似解是可以接受的。同方程3類似，主動(dòng)樁i的控制方程為

（9）

其中w_Pi、P_i分別為樁i的位移矢量和作用在樁i節(jié)點(diǎn)上的外部荷載。將方程9擴(kuò)展到樁群中的每顆樁，可得到樁群的一系列方程，這些方程的解比用方程6得出的解簡(jiǎn)單，但是它不考慮樁帽的質(zhì)量，并且假設(shè)樁群的豎向動(dòng)阻尼是振動(dòng)頻率的函數(shù)。此函數(shù)確定后，質(zhì)量為M_c的樁帽豎向位移為：

（10）

其中樁帽的豎向位移，F_z為樁帽荷載，K_z為豎向阻抗。

二、方法驗(yàn)證

當(dāng)樁數(shù)特別多時(shí)，方程9可以節(jié)約計(jì)算量和時(shí)間，比較適用于成層土中大的樁群的計(jì)算分析。本文我們把基于方程6和9的解分別稱為完全解和近似解，并在圖三中將這兩種解與其它方法的結(jié)果作了比較，驗(yàn)證了其正確性。表中3×3樁群阻抗的實(shí)部K_r、虛I_m繪制成無(wú)量綱頻率的函數(shù)，其中V_s為土的剪切波速。為便于作圖，以K_r/9K_st和I_m/9K_st為縱坐標(biāo)，其中9為樁數(shù)K_st為單樁靜剛度。本例中樁群處于各向同性半空間中間距為2d并假定樁帽與樁剛性連接不與土層接觸。分析中用到的其它數(shù)據(jù)為：E_p/E_s=1000，L/d=15，，，。

三、?結(jié)束語(yǔ)

提出一種豎向荷載作用下群樁簡(jiǎn)化分析法，該方法利用?Kausel和Roesset提出的剛度矩陣模擬樁周土層的動(dòng)反應(yīng)，特別地提出了一種計(jì)算成層土中較大樁群的近似計(jì)算法，該方法方便實(shí)用、節(jié)約計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間，與其他計(jì)算方法的比較驗(yàn)證了其可行性，為樁基的動(dòng)力研究奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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