王紫萌　周建勤

摘要：鑒于大型交通線路建設(shè)項目的物資需求隨時間變化（在初期階段需求較低;在后續(xù)階段項目全面展開，需求顯著上升），本文采用線積分對沿線連續(xù)分布的線狀物資需求進行刻畫，構(gòu)建兩階段設(shè)施選址模型，第一階段進行部分設(shè)施的選址，第二階段對剩余設(shè)施選址，以實現(xiàn)系統(tǒng)總成本最低的目標(biāo)。針對模型特點，設(shè)計基于Voronoi圖的兩階段交替定位-分配（alternative location-allocation，ALA）算法進行求解，并進行實例分析，比較兩階段模型與傳統(tǒng)模型的異同。研究表明，將兩階段設(shè)施選址模型應(yīng)用于交通線路建設(shè)項目多物流節(jié)點選址，能節(jié)約運營成本，并緩解初期資金壓力。

關(guān)鍵詞：設(shè)施選址; 線狀需求; 交替定位-分配（ALA）算法; Voronoi圖

中圖分類號：? U492.1+44

文獻標(biāo)志碼：A

Two-stage facility location problems with linear demands

WANG Zimeng， ZHOU Jianqin

（School of Economics and Management， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China）

Abstract：

The material demand of a large-scale traffic line construction project changes with time： the demand is lower in the initial stage; the project is fully carried out in the subsequent stage， and the demand is significantly increased.In view of this， the line integral is adopted to describe the linear material demands with the continuous distribution along the line， and a two-stage facility location model is constructed， where some facilities are located in the first stage， and the others are located in the second stage so as to minimize the total cost. According to the characteristics of the model， a two-stage alternative location-allocation （ALA） algorithm based on Voronoi diagram is designed to solve the model. An example analysis is carried out to compare the similarities and differences between the two-stage model and the traditional model. The research shows that the application of the two-stage facility location-allocation model to the multi-logistics node location of the traffic line construction project can save the operation cost and relieve the initial financial pressure.

Key words：

facility location; linear demand; alternative location-allocation （ALA） algorithm; Voronoi diagram

0 引 言

大型交通線路覆蓋距離較長，建設(shè)過程中涉及海量的物資供給，同時產(chǎn)生巨大的物流費用。物流節(jié)點選址對于大型交通線路建設(shè)項目影響重大。因此，在實際建設(shè)中需要進行科學(xué)合理的物流節(jié)點選址，控制物流成本，保障物資供應(yīng)。

在交通線路建設(shè)項目中，物資需求在空間上沿擬建交通線路分布。擬選址的物流節(jié)點需要為整條路段提供服務(wù)。需求以一定的密度連續(xù)分布在一條曲線上的設(shè)施選址問題被定義為線狀需求設(shè)施選址問題，它不同于經(jīng)典的離散需求設(shè)施選址問題。GDEN等[1]研究了鐵路建設(shè)工程沿線的物流節(jié)點選址問題，計明軍等[2]研究了線狀需求下長江航道危險品應(yīng)急中心選址優(yōu)化問題，但他們都將連續(xù)線狀需求離散成若干個點狀需求，這與實際連續(xù)線狀需求存在差異[3]。ALEXANDRIS等[4]證明了需求刻畫方式會對選址結(jié)果產(chǎn)生影響。連續(xù)線狀需求可以采用線積分進行刻畫。BERMAN等[5]和GASTNER[6]用密度函數(shù)描述連續(xù)線狀需求。

在交通線路建設(shè)項目中，物資需求的時間分布特點也會對物流節(jié)點選址產(chǎn)生影響。在項目建設(shè)初期階段，需要完成“三通一平”工作，物資需求量和物流工作量較小;進入項目建設(shè)中期階段，隨著大規(guī)模土建類施工展開，物資需求量和物流量顯著增加：擬建交通線路上的物資需求密度在兩個階段內(nèi)差異明顯。針對需求動態(tài)變化的設(shè)施選址問題：陳鑫等[7]考慮了需求動態(tài)變化下的情形;BRANCOLINI等[8]提出了根據(jù)當(dāng)前階段需求進行多階段選址的策略;SUZUKI等[9]對設(shè)施多階段選址的幾種策略進行了對比分析，認為分階段選址節(jié)省的設(shè)施運作成本可能足以彌補增加的運輸成本。針對需求兩階段變化的情況，一些學(xué)者研究了兩階段設(shè)施選址模型的實際應(yīng)用，這里的兩階段設(shè)施選址指先進行部分設(shè)施的選址，隨后進行其余設(shè)施的選址。代文強[10]設(shè)計了兩階段設(shè)施選址優(yōu)化模型，針對離散需求，使用近似優(yōu)化算法進行了求解。姜秀山等[11]研究了鐵路應(yīng)急服務(wù)設(shè)施的兩階段選址問題。魏明等[12]針對公交站場選址布局問題，也設(shè)計了兩階段模型與算法。然而，這些兩階段選址文獻多集中在離散需求領(lǐng)域，未見針對連續(xù)需求的研究。

為此，本文引入線密度函數(shù)，用線積分對連續(xù)線狀需求進行刻畫，以此取代經(jīng)典需求離散化處理方式。考慮需求兩階段變化的實際情況，本文建立兩階段設(shè)施選址模型。在初期階段需求密度較低時進行部分設(shè)施的選址，在后續(xù)階段需求密度上升時對其余的設(shè)施進行選址。線狀需求下的兩階段設(shè)施選址模型可為實際的交通線路建設(shè)項目中的設(shè)施選址決策提供支持。

1 問題描述與建模

1.1 問題描述

在交通線路建設(shè)項目中，物資需求沿擬建線路連續(xù)分布。物流節(jié)點可以位于交通線路所在二維平面內(nèi)的任意一點，物流節(jié)點的選址分兩個階段展開。在項目建設(shè)初期階段，物資需求量較低，需要按照當(dāng)時的物資需求密度建設(shè)一定數(shù)量的物流節(jié)點。隨著項目建設(shè)的推進，物資需求量顯著增大，需要在已有物流節(jié)點的基礎(chǔ)上增加一定數(shù)量的物流節(jié)點，并由全部物流節(jié)點共同為項目建設(shè)提供服務(wù)，以滿足需求并有效降低成本。

為此，本文提出以下假設(shè)：（1）各個物流節(jié)點的功能無差異;（2）物流節(jié)點具有足夠大的服務(wù)能力，無容量限制;（3）物資需求密度在兩個階段內(nèi)都是確定的;（4）采用歐氏距離度量距離;（5）從各個物流節(jié)點到需求線路的運輸費率相同。

首先定義參數(shù)和變量：k表示階段，k=1，2;P為物流節(jié)點集合，P={1，2，…，p};Q為第一階段待選址的物流節(jié)點集合，Q={1，2，…，q};μk為單個設(shè)施在第k階段的運營費率;g為運輸費率;L為物資需求線路;Lj為由物流節(jié)點j服務(wù)的物資需求線路子區(qū)段;X為物資需求線路上的點，X=（x，y）;ρk（X）為第k階段X處的需求密度;Xj為物流節(jié)點j的坐標(biāo)，Xj=（xj，yj）;T為整條擬建線路上所有需求點的集合，t∈T;Tj為Lj內(nèi)所有需求點的集合。

物資需求線路L的參數(shù)方程表示為

x=u（t）， y=v（t）， t∈T

（1）

由物流節(jié)點j提供服務(wù)的物資需求線路子區(qū)段Lj的參數(shù)方程表示為

x=u（t）， y=v（t）， t∈Tj

（2）

1.2 模型構(gòu)建

交通線路建設(shè)項目的物流總成本主要包括物流節(jié)點的總運營成本、從供應(yīng)商到物流節(jié)點的上游運輸成本和從物流節(jié)點運輸?shù)浇煌ň€路的末端運輸成本。由于從供應(yīng)商到物流節(jié)點的距離很遠，物流節(jié)點位置對上游運輸成本影響較小，所以從供應(yīng)商到物流節(jié)點的上游運輸成本不予考慮。

物流節(jié)點j的運輸成本可以表示為

其中X-Xj表示從物流節(jié)點j到物資需求線路上的點X的距離。結(jié)合式（2）～（4）可以得到

對第一階段的q個物流節(jié)點進行選址，選址模型如下：

式（6）為目標(biāo)函數(shù)，表示第一階段末端運輸總成本最低;式（7）刻畫了需求分配的靠近性原則，即任一物流節(jié)點服務(wù)的需求線路子區(qū)段都是距離該節(jié)點最近的;式（8）表示整條物資需求線路都有物流節(jié)點提供服務(wù)。

第二階段共有p個物流節(jié)點提供服務(wù)，其中q個物流節(jié)點的坐標(biāo)已經(jīng)在第一階段確定，需要對p-q個新增物流節(jié)點進行選址。第二階段物流節(jié)點選址模型如下：

式（9）為目標(biāo)函數(shù)，表示第二階段末端運輸總成本最低;式（10）和（11）的意義分別與式（7）和（8）類似。

總運營成本與設(shè)施數(shù)量和運營費率成正比，建設(shè)期內(nèi)總運營成本可以表示為

物流總成本為第一階段末端運輸成本、第二階段末端運輸成本和總運營成本之和，可以表示為

2 求解算法

2.1 單設(shè)施選址算法

單設(shè)施選址算法是多設(shè)施選址算法的基礎(chǔ)。為求解連續(xù)線狀需求下物流節(jié)點的運輸成本（式（4）），根據(jù)定積分的定義，在Tj=[tj，tj]區(qū)間內(nèi)插入n-1個分點，tj=t0

當(dāng)λ→0，即n→∞時，需求線路等同于無窮多個需求點的集合，可將式（14）寫成如下形式：

利用式（19），通過迭代即可最終求得需求線路子區(qū)段Lj內(nèi)物流節(jié)點j的最優(yōu)位置（xj，yj）。

單設(shè)施選址算法步驟如下：

步驟1 輸入Lj{x=u（t），y=v（t）}、Tj、g、ρk（X）、δ（迭代終止容差值）、n。

步驟2 初始化：m=0，隨機生成初始坐標(biāo)（x（m）j，y（m）j），根據(jù)式（17）計算初始運輸成本Z（m）j。

步驟3 迭代：將（x（m）j，y（m）j）代入式（19）右側(cè)，計算并更新坐標(biāo)（x（m+1）j，y（m+1）j）。

步驟4 計算運輸成本：將（x（m+1）j，y（m+1）j）代入式（17），計算運輸成本Z（m+1）j。

步驟5 收斂判定：若滿足Z（m+1）j-Z（m）j≤δ，則Xj=（x（m+1）j，y（m+1）j）;否則，令m←m+1，返回步驟3。

步驟6 輸出Xj。

式（17）中，物資需求線路等同于無窮多個需求點的集合，這相當(dāng)于將連續(xù)需求線路離散為充分多個需求點，將連續(xù)線狀需求下的設(shè)施選址問題轉(zhuǎn)化為離散需求下的設(shè)施選址問題進行求解。WESOLOWSKY等[13]證明了離散需求下迭代選址算法的收斂性，因此連續(xù)線狀需求單設(shè)施選址算法也是收斂的。

2.2 第一階段模型求解算法

解決多設(shè)施選址分配問題有很多經(jīng)典算法，其中最為廣泛使用的是COOPER[14]提出的交替定位-分配（alternative location-allocation，ALA）算法。該算法具有收斂速度快、精度高的特點，關(guān)鍵思路在于給定設(shè)施初始坐標(biāo)，劃分需求，將多設(shè)施選址問題轉(zhuǎn)化成單設(shè)施選址問題進行求解，得到新的設(shè)施位置后再進行分配和迭代，直到滿足容差值，最終得到多設(shè)施選址分配問題的最優(yōu)解。

二維平面內(nèi)需求的劃分多采用Voronoi圖的方法。Voronoi圖是計算幾何領(lǐng)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域進行分割的經(jīng)典方法之一。

定義1 設(shè)Xj（j∈P）為二維平面內(nèi)p個設(shè)施的坐標(biāo)，則由給出平面內(nèi)需求的劃分，劃分后的圖形被稱為以物流節(jié)點j為生成元的Voronoi圖。圖1中各多邊形被稱為以物流節(jié)點為生成元的Voronoi多邊形，Voronoi多邊形的交點稱為節(jié)點。

性質(zhì)1 Voronoi圖各多邊形區(qū)域內(nèi)任意一點到該多邊形區(qū)域內(nèi)生成元的距離不大于到任意其他多邊形內(nèi)的生成元的距離。

性質(zhì)2 Voronoi圖的每個多邊形區(qū)域內(nèi)只存在一個生成元。

本文將Voronoi圖與經(jīng)典的ALA算法相結(jié)合，設(shè)計了改進算法。使用Voronoi圖劃分需求線路，將多設(shè)施選址問題轉(zhuǎn)化為若干單設(shè)施選址問題。再使用單設(shè)施選址算法求解。隨后，進行交替選址和需求劃分迭代，對兩階段模型多設(shè)施選址問題進行求解。第一階段模型算法步驟如下：

步驟1 輸入L{x=u（t），y=v（t）}、T、q、g、ρ1（X）、δ、n。

步驟2 初始化：m=0，隨機生成q個坐標(biāo)為X（m）j（j∈Q）的點，作為初始坐標(biāo)。

步驟3 需求劃分：根據(jù)式（7）對需求線路L進行劃分，確定各需求線路子區(qū)段L（m）j（j∈Q）。

步驟4 計算運輸成本：

步驟4.1 計算需求線路子區(qū)段運輸成本：根據(jù)式（17），分別計算L（m）j內(nèi)運輸成本Z（m）j（j∈Q）。

步驟4.2 計算總需求線路運輸成本：根據(jù)式（6），計算總運輸成本C（m）1。

步驟5 再選址：在需求線路子區(qū)段內(nèi)，使用單設(shè)施選址算法求解各物流節(jié)點新坐標(biāo)X（m+1）j（j∈Q）。

步驟6 再次劃分需求：與步驟3類似，將X（m+1）j（j∈Q）代入，確定L（m+1）j（j∈Q）。

步驟7 再次計算運輸成本：與步驟4類似，計算得到C（m+1）1。

步驟8 收斂判定：若滿足C（m+1）1-C（m）1≤δ，則Xj=X（m+1）j（j∈Q）;否則，返回步驟5，令m←m+1。

步驟9 輸出Xj（j∈Q）。

2.3 第二階段模型求解算法

第二階段需求密度上升，需要加入其他物流節(jié)點提供服務(wù)。在第一階段已確定q個物流節(jié)點位置，在第二階段再加入p-q個物流節(jié)點，使第二階段在滿足需求的條件下總運輸成本最低。第二階段模型求解算法步驟如下：

步驟1 輸入L{x=u（t），y=v（t）}、T、p、q、g、ρ2（X）、δ、n。

步驟2 初始化：m=0，隨機生成p-q個坐標(biāo)為X（m）j（j∈P＼＼Q）的點，作為初始坐標(biāo)。

步驟3 需求劃分：根據(jù)式（10）對需求線路L進行劃分，確定各需求線路子區(qū)段L（m）j（j∈P）。

步驟4 計算運輸成本：

步驟4.1 計算需求線路子區(qū)段運輸成本：根據(jù)式（17），分別計算L（m）j內(nèi)運輸成本Z（m）j（j∈P）。

步驟4.2 計算總需求線路運輸成本：根據(jù)式（9），計算總運輸成本C（m）2。

步驟5 部分節(jié)點再選址：

步驟5.1 在Lj（j∈P＼＼Q）內(nèi)使用單設(shè)施選址算法求解物流節(jié)點j的新坐標(biāo)X（m+1）j（j∈P＼＼Q）。

步驟5.2 X（m+1）j=X（m）j（j∈Q）。

步驟6 再次劃分需求：與步驟3類似，將X（m+1）j（j∈P）代入，確定L（m+1）j（j∈P）。

步驟7 再次計算運輸成本：與步驟4類似，計算得到C（m+1）2。

步驟8 收斂判定：若滿足C（m+1）2-C（m）2≤δ，則停止計算;否則，返回步驟5，m←m+1。

步驟9 輸出Xj（j∈P）。

3 算例分析

3.1 算例設(shè)計

江蘇南沿江城際鐵路于2018年10月開工，建設(shè)工期4年。線路自南京南站引出，向東經(jīng)過句容市、金壇區(qū)、武進區(qū)、江陰市、張家港市和常熟市，終至滬通鐵路太倉站。線路全長270.2 km，具體走向如圖2所示。

本文算例基于江蘇南沿江城際鐵路建設(shè)的實際背景，探究物流節(jié)點的選址問題。首先收集沿線重要站點經(jīng)緯度坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)系坐標(biāo)。將線路擬合成若干首尾相連的折線段表示。由于整條線路均位于江蘇省南部，地形地貌與交通運輸情況無顯著區(qū)別，故設(shè)定全線的運輸費率均為1元/（t·km）。在該建設(shè)項目開始前，進行施工組織調(diào)查，根據(jù)《鐵路工程施工組織設(shè)計規(guī)范》和《鐵路大型臨時工程計算方法及設(shè)計技術(shù)研究》的規(guī)定，結(jié)合項目實際情況，編寫組織設(shè)計方案，制定沿線各子區(qū)段在各階段內(nèi)級配碎石的用料計劃，可簡化為表1中的數(shù)據(jù)。在建設(shè)過程中擬建8個物流節(jié)點，為建設(shè)項目沿線提供級配碎石等物料。建設(shè)期第一年為第一階段，進行5個物流節(jié)點選址;第二年至第四年為第二階段，進行3個物流節(jié)點選址。

3.2 結(jié)果分析

首先確定沿線8個關(guān)鍵城市的經(jīng)緯度坐標(biāo)，使用高斯-克呂格投影轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)，對擬建線路進行擬合。隨后根據(jù)兩階段選址模型和算法，使用MATLAB編寫程序進行求解，可以獲得第一階段和第二階段物流節(jié)點最優(yōu)位置以及需求的劃分。兩階段物流節(jié)點在平面直角坐標(biāo)系中的選址分配見圖3，其經(jīng)緯度坐標(biāo)見表2。

對于第一階段進行5個物流節(jié)點選址，第二階段進行3個物流節(jié)點選址的兩階段選址模型，可以求解出其第一階段運輸成本C1（5，3）、第二階段運輸成本C2（5，3）分別為1 185.987 8萬元和5 875.038 6萬元。

為將兩階段選址模型與傳統(tǒng)的一次性選址模型進行比較，針對第一階段即對全部的8個物流節(jié)點進行一次性選址的傳統(tǒng)選址模型，同樣進行運輸成本的計算，得到C1（8，0）和C2（8，0）分別為572.305 1萬元和5 723.051 0萬元。比較可知，兩階段選址模型的運輸成本略高于一次性選址模型的運輸成本。

兩階段選址模型的物流總成本為

C（5，3）=C1（5，3）+C2（5，3）+C3（5，3）

傳統(tǒng)的一次性選址模型的物流總成本為

C（8，0）=C1（8，0）+C2（8，0）+C3（8，0）

如果兩階段選址模型優(yōu)于傳統(tǒng)的一次性選址模型，則兩階段選址模型的物流總成本應(yīng)當(dāng)小于等于傳統(tǒng)的一次性選址模型的物流總成本，即

C（5，3）≤C（8，0）

整理得到

μ1≥C1（5，3）+C2（5，3）-C1（8，0）-C2（8，0）3

計算可得：當(dāng)μ1≥255.223 4萬元/a時，兩階段選址模型的物流總成本低于一次性選址模型的物流總成本，選擇兩階段選址模型比一次性選址模型更加有利;反之，即當(dāng)μ1<255.223 4萬元/a時，選擇一次性選址模型更能節(jié)約成本。

μ1是單個物流節(jié)點第一階段的運營費率，第一階段的運營費率與第一階段物流節(jié)點運營的時間和單個物流節(jié)點單位時間內(nèi)運營成本正相關(guān)。當(dāng)該工程項目第一階段建設(shè)期較長，物流節(jié)點單位時間內(nèi)運營成本較高，且運輸費率較低時，與傳統(tǒng)的一次性選址模型相比，選擇兩階段選址模型，能夠節(jié)約物流總成本，為工程建設(shè)帶來經(jīng)濟效益。相反地，如果第一階段建設(shè)期較短，物流節(jié)點單位時間內(nèi)運營成本較低，且運輸費率較高時，則應(yīng)考慮選擇傳統(tǒng)的一次性選址模型。

總之，兩階段選址模型與傳統(tǒng)的一次性選址模型相比，增加了一定的運輸成本，但節(jié)約了物流節(jié)點的運營成本，同時降低了項目建設(shè)初期資金籌措的壓力。在工程建設(shè)項目中，應(yīng)根據(jù)實際的相關(guān)參數(shù)進行計算與比較，選擇最優(yōu)的選址策略。

4 結(jié) 論

針對大型交通線路建設(shè)項目中的物流節(jié)點選址問題，考慮交通線路需求連續(xù)線狀分布且需求隨時間兩階段變化的特點，采用線密度函數(shù)刻畫需求，構(gòu)建了線狀需求下兩階段選址模型。分析連續(xù)線狀需求與經(jīng)典離散需求的異同，設(shè)計了基于Voronoi圖的改進交替定位-分配（ALA）算法。以江蘇南沿江城際鐵路物流節(jié)點建設(shè)項目為例進行實證研究，證明了模型和算法的有效性。兩階段選址模型與傳統(tǒng)的一次性選址模型相比，增加了少量的運輸成本，但節(jié)約了運營成本，緩解了項目建設(shè)初期資金籌措的壓力，具有現(xiàn)實意義。本文提出的模型為交通線路建設(shè)項目中物流節(jié)點選址的實際問題提供了解決思路。進一步的研究可以考慮在有物流節(jié)點容量限制的情況下的物流節(jié)點兩階段選址問題。另外，需求不確定的兩階段設(shè)施選址問題也值得研究。

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（編輯 趙勉）

收稿日期： 2019-09-09

修回日期： 2020-02-24

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（71372013）

作者簡介：

王紫萌（1996—），女，遼寧遼陽人，碩士研究生，研究方向為物流管理與工程，（E-mail）1679605902@qq.com;

周建勤（1975—），男，湖北黃岡人，教授，博導(dǎo)，博士，研究方向為物流管理與工程，（E-mail）jqzhou@bjtu.edu.cn