傅惠民， 孫 丁

（北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

工程上經(jīng)常遇到不完全數(shù)據(jù)， 機(jī)電產(chǎn)品外場使用中得到的壽命數(shù)據(jù)絕大多數(shù)屬于隨機(jī)截尾的不完全數(shù)據(jù)。如何對這類數(shù)據(jù)進(jìn)行高置信度的可靠性評估和壽命預(yù)測，是工程上亟待解決的難題。 目前，主要采用極大似然方法對不完全數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析[1，2]，但是無法進(jìn)行高置信度的可靠性評估和壽命預(yù)測。 文獻(xiàn)[3]建立了無失效數(shù)據(jù)的可靠性評估和壽命預(yù)測方法，文獻(xiàn)[4]在形狀參數(shù)下限已知的情況下給出了Weibull 分布極少失效數(shù)據(jù)的可靠性評估和壽命預(yù)測方法。 本文在文獻(xiàn)[5]提出的不完全數(shù)據(jù)秩分布理論基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步建立一種隨機(jī)截尾的不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測方法， 成功解決了上述問題。

1 不完全數(shù)據(jù)可靠度置信下限

1.1 不完全數(shù)據(jù)的一般形式

在實際工程中，經(jīng)常遇到表2 所示的不完全數(shù)據(jù)，即隨機(jī)截尾的不完全數(shù)據(jù)， 其特點是失效數(shù)據(jù)和中止數(shù)據(jù)交叉分布。

1.2 失效數(shù)據(jù)可靠度單側(cè)置信下限

設(shè)不完全數(shù)據(jù)來自分布F（t），則ti時刻的可靠度為

與完全數(shù)據(jù)的秩分布不同， 不完全數(shù)據(jù)秩分布需要考慮每個中止數(shù)據(jù)繼續(xù)進(jìn)行試驗后的所有情況。 h（j+1）kr表示對于第i=nj+k 個失效數(shù)據(jù)， 如果在它之前的中止數(shù)據(jù)對應(yīng)的試件繼續(xù)試驗，有且僅有r 個試件在ti前失效這一情況所占的比例。

由于H（RL，i）嚴(yán)格單調(diào)遞減，且可靠度單側(cè)置信下限RL，i位于區(qū)間[0，1]內(nèi)，所以式（4）可以方便地通過二分法求解。

同理，若將式（4）中置信度改為1-γ，即可求得Ri的置信度為γ 的單側(cè)置信上限RU，i。

對于不完全數(shù)據(jù)中的中止數(shù)據(jù)可靠度單側(cè)置信下限也可類似計算[5]。

根據(jù)式（4）可以求得不完全數(shù)據(jù)中每一個失效數(shù)據(jù)ti對應(yīng)的置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，i，i=1，2，…，nq，并列于表1。

表1 不完全數(shù)據(jù)中失效數(shù)據(jù)及其可靠度置信下限

對表1 中壽命及其可靠度置信下限數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，即可得到其置信限曲線。

2 兩參數(shù)Weibull 分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測方法

設(shè)壽命t 服從兩參數(shù)Weibull 分布：

式中α 為形狀參數(shù)，β 為尺度參數(shù)。

2.1 兩參數(shù)Weibull 分布的置信限曲線

對于式（1）給出的來自分布F（t）的一組不完全數(shù)據(jù)，表1給出了其失效數(shù)據(jù)ti對應(yīng)的置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，i，i=1，2，…，nq。 研究表明工程上許多情況，其可靠度單側(cè)置信下限RL（t）與壽命t 之間關(guān)系可用下式描述式中x=lnt，y=lnln[1/RL（t）]。 若式（1）給出的不完全數(shù)據(jù)來自兩參數(shù)Weibull 分布，則采用最小二乘法對表1 中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分別求得αγ和βγ為

用于評估式（11）與表1 中數(shù)據(jù)擬合程度的線性相關(guān)系數(shù)為

2.2 兩參數(shù)Weibull 分布的可靠性評估

根據(jù)上面的置信限曲線RL（t），可以求得給定時刻t處可靠度R（t）的置信度為γ 的單側(cè)置信下限為

2.3 兩參數(shù)Weibull 分布的壽命預(yù)測

同樣根據(jù)置信限曲線RL（t），可以求得給定可靠度R時，置信度為γ 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為

3 三參數(shù)Weibull 分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測方法

設(shè)壽命t 服從三參數(shù)Weibull 分布：

式中α 為形狀參數(shù)，β 為尺度參數(shù)，ε 為位置參數(shù)。 判斷式（1）給出的不完全數(shù)據(jù)是來自兩參數(shù)Weibull 分布還是三參數(shù)Weibull 分布，可令表1 中的γ=0.5，再通過下面的方法求得ε 的估計值ε0.5，若ε0.5＝0，則為兩參數(shù)Weibull 分布，否則為三參數(shù)Weibull 分布。

3.1 三參數(shù)Weibull 分布的置信限曲線

研究表明，若式（1）給出的不完全數(shù)據(jù)來自三參數(shù)Weibull 分布，則其可靠度單側(cè)置信下限RL（t）與壽命t之 間關(guān)系仍可用式（11）描述，此時式中x=ln（t-εγ），y=lnln[1/RL（t）]。 同樣，采用最小二乘法對表1 中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到αγ和βγ仍分別由式（12）和式（13）給出，并通過使其線性相關(guān)系數(shù)rγ的絕對值最大，推導(dǎo)出εγ的計算公式為[6]

3.2 三參數(shù)Weibull 分布的可靠性評估

根據(jù)上面的置信限曲線RL（t），可以求得給定時刻t處可靠度R（t）的置信度為γ 的單側(cè)置信下限為

即滿足式（23）。

3.3 三參數(shù)Weibull 分布的壽命預(yù)測

同樣根據(jù)置信限曲線RL（t），可以求得給定可靠度R時，置信度為γ 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為

此時滿足式（25）。

4 對數(shù)正態(tài)分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測方法

設(shè)對數(shù)壽命x=lgt 服從正態(tài)分布，其分布函數(shù)為

式中μ 和σ 分別為對數(shù)壽命均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

4.1 對數(shù)正態(tài)分布的置信限曲線

同樣工程上許多情況，其可靠度單側(cè)置信下限RL（x）與對數(shù)壽命x=lgt 之間關(guān)系通?？捎孟率矫枋?/p>

4.2 對數(shù)正態(tài)分布的可靠性評估

根據(jù)上面的置信限曲線RL（x），可以求得給定時刻x=lgt 處可靠度R（x）的置信度為γ 的單側(cè)置信下限為

4.3 對數(shù)正態(tài)分布的壽命預(yù)測

同樣，根據(jù)置信限曲線RL（x），可以求得給定可靠度R 時置信度為γ 的可靠壽命xR的單側(cè)置信下限為

此時式（25）成立。

5 算例

表2 給出了某型發(fā)動機(jī)葉片壽命試驗數(shù)據(jù)[7]，從中可以看到它們?yōu)殡S機(jī)截尾的不完全數(shù)據(jù)， 該葉片壽命服從Weibull 分布。 下面采用本文方法對其進(jìn)行高置信度的可靠壽命預(yù)測。 首先根據(jù)本文1.2 節(jié)方法，求得表2 中每一個失效數(shù)據(jù)ti對應(yīng)的置信度γ=0.90 的可靠度單側(cè)置信下限RL，i，亦列于表2。 再根據(jù)本文第3 節(jié)方法，求得γ=0.50時，ε0.5＝6489， 由此可知該組不完全數(shù)據(jù)來自三參數(shù)Weibull 分布。 然后求得其置信度γ=0.90 的可靠壽命單側(cè)置信下限曲線為

表2 某型發(fā)動機(jī)葉片壽命試驗數(shù)據(jù)及其可靠度置信下限

6 結(jié)論

針對工程上常見的隨機(jī)截尾的不完全數(shù)據(jù)， 本文給出了不完全數(shù)據(jù)中失效數(shù)據(jù)的可靠度置信下限計算公式， 建立了可以對其進(jìn)行高置信度可靠性評估和壽命預(yù)測的方法。

對工程上常用的兩參數(shù)Weibull 分布、三參數(shù)Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行了詳細(xì)討論， 給出了其高置信度、高可靠度的不完全數(shù)據(jù)置信下限曲線，建立了不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測公式。

對于任意連續(xù)分布的情況， 可先由本文方法求得不完全數(shù)據(jù)中每一個失效數(shù)據(jù)對應(yīng)的可靠度單側(cè)置信下限，然后采用文獻(xiàn)[6]方法得到其置信限曲線，再進(jìn)行可靠性評估和壽命預(yù)測。