晉守博

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)的研究受到了廣泛關(guān)注，該系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)在于能夠較好地描述復(fù)雜的集體行為，如魚(yú)群的游動(dòng)、無(wú)人機(jī)群的控制以及計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制等.一致性是多智能體系統(tǒng)最重要的性質(zhì)之一，為了使所有智能體隨著時(shí)間變化能夠達(dá)到一致，最關(guān)鍵的問(wèn)題是構(gòu)造控制策略.對(duì)多智能體系統(tǒng)的一致性的研究是目前的一個(gè)熱點(diǎn)，針對(duì)如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性，文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］分別從數(shù)值模擬和理論證明方面作了分析，多智能體系統(tǒng)是一種比較特殊的復(fù)雜系統(tǒng)，它的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的通訊時(shí)滯具有密切關(guān)系，近期許多學(xué)者都在研究時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，針對(duì)低階系統(tǒng)，文獻(xiàn)［3-5］對(duì)該問(wèn)題作了詳細(xì)地討論；針對(duì)高階系統(tǒng)，文獻(xiàn)［6-7］設(shè)計(jì)了一種僅依賴位置狀態(tài)的控制策略，分析了系統(tǒng)的一致性問(wèn)題.三階多智能體系統(tǒng)可以表示如下：其中：i∈I，I= {1,2,…,N}表示智能體的數(shù)量集，函數(shù)xi(t)，vi(t)，zi(t) ∈R 代表位置、速度和加速度，函數(shù)ui(t) ∈R 是控制輸入變量.

與一階、二階多智能體系統(tǒng)相比，系統(tǒng)（1）更加復(fù)雜，不僅能夠描述智能體的位置和速度狀態(tài)，而且能夠描述加速度的變化情況［8-9］.目前，對(duì)于高階多智能體系統(tǒng)，大部分學(xué)者設(shè)計(jì)的控制策略里既包含位置狀態(tài)，又包含速度和加速度的狀態(tài)，然而，現(xiàn)實(shí)中智能體的速度和加速度很難測(cè)量，對(duì)于沒(méi)有裝備速度和加速度傳感器的智能體，需要設(shè)計(jì)僅含有位置狀態(tài)的控制協(xié)議，LIU 等討論了只含有位置狀態(tài)控制的二階多智能體系統(tǒng)，我們將在如下控制策略下研究系統(tǒng)（1）的一致性，

其中：常數(shù)β> 0，代表著反饋強(qiáng)度，aij為鄰接矩陣的元素，能夠反映出系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，Ni表示與智能體i有關(guān)聯(lián)的智能體集合，τ用來(lái)表示通訊時(shí)滯.

式（2）是一種包括反饋強(qiáng)度的控制協(xié)議，下文稱協(xié)議（2），該協(xié)議最早在文獻(xiàn)［10-11］中被提出，針對(duì)低階情況，文章分析了反饋強(qiáng)度對(duì)一致性的影響，本文將把協(xié)議（2）用到更加復(fù)雜的三階系統(tǒng)上.另外對(duì)于三階多智能體系統(tǒng)，協(xié)議（2）僅含有位置狀態(tài)，更具有現(xiàn)實(shí)意義，本文將結(jié)合文獻(xiàn)［9-12］的方法，首先對(duì)xi(t-τ+β)做近似替換，計(jì)算公式為xi(t-

代入式（2），得到具有時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋的一致性協(xié)議（3）

其中：β> 0 表示時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的反饋強(qiáng)度，一般地，β越接近0，協(xié)議（2）和協(xié)議（3）的近似度越高，與文獻(xiàn)［9］相比，協(xié)議（3）具有更強(qiáng)的實(shí)用性.

1 主要研究結(jié)果

定義1 如果對(duì)所有i,j∈I，系統(tǒng)（1）在任意初始條件下都滿足0，則多智能體系統(tǒng)（1）稱為漸近穩(wěn)態(tài)一致，

本文將在無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，研究系統(tǒng)（1）的漸近穩(wěn)態(tài)一致性.

引理1［12］記L為系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣，則當(dāng)系統(tǒng)（1）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖無(wú)向且連通時(shí)，L必定有一個(gè)零特征值，特征向量為1N=(1,1,…,1)T，其他特征值實(shí)部都大于零.

引理2［9］如系統(tǒng)（1）在協(xié)議（3）下的漸近穩(wěn)態(tài)一致性，則對(duì)任意i∈I下式成立.

為了研究系統(tǒng)（1）在協(xié)議（3）下的一致性，記ξ(t) = (x1(t),v1(t),z1(t),…,xN(t),vN(t),zN(t))T,則式（3）可變?yōu)?/p>

表示拉普拉斯矩陣，下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1 對(duì)于多智能體系統(tǒng)（1），如果它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖是無(wú)向且連通的，則在協(xié)議（3）下，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近穩(wěn)態(tài)一致，這里的w為方程

的根.

證明 利用引理 2，取E(t) =ξ(t) -式（5）經(jīng)過(guò)計(jì)算后可得

由引理1 可知，L的特征值可以記作λ1=0，0 <λ2<λ3< … <λN，而且必定可以找到一個(gè)正交矩陣W，滿足

再利用引理1 中的特征向量是1N，則在 系 統(tǒng)（7）兩邊乘以WT?I3可得

從上面分析可以看出，系統(tǒng)（7）的一致性與方程（8）的漸近穩(wěn)定性等價(jià)，從而只要保證方程（8）的特征值全部在開(kāi)的左半平面即可.

下面利用頻域分析法證明方程（8）的特征值全部落在開(kāi)的左半平面上.首先對(duì)方程（8）兩邊求拉普拉斯變換，可得

經(jīng)過(guò)計(jì)算后可得

為了確保方程（8）的根在開(kāi)的左半平面上，只要對(duì)任意i∈I/{1}，方程

則

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是判定系統(tǒng)穩(wěn)定性最常用的方法，此處將采用該方法分析方程（10）的穩(wěn)定性，目前有很多學(xué)者都在采用這種方法證明穩(wěn)定性問(wèn)題，本文的核心思想也是該方法，關(guān)于該方法的更多應(yīng)用可以參考文獻(xiàn)［9］，本文為了使得方程（10）的根全在開(kāi)的左半平面，根據(jù)該穩(wěn)定性判據(jù)，只要奈奎斯特曲線gi(jw) 不包圍點(diǎn)(-1,j0) 即可. 另外，不包圍點(diǎn)(-1,j0)的充要條件是

同時(shí)，由公式（11）可得

且

簡(jiǎn)單計(jì)算后可得

再利用λi的單調(diào)性，可得定理1 成立.

2 仿真實(shí)例

多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1，系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣可表示為經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以得到矩陣的四個(gè)特征值依次為λ1= 0，λ2= 2，λ3= 4，λ4= 4.

圖1 多智能體系統(tǒng)的無(wú)向加權(quán)連通圖

設(shè)參數(shù)k= 12，當(dāng)β= 0.6，τ= 0.13 時(shí)，定理1 的條件可以滿足；當(dāng)β= 0.7，τ= 0.14時(shí)，定理1 的條件不能被滿足，兩種情況的仿真效果如圖2 所示.

圖2 系統(tǒng)（1）在不同反饋強(qiáng)度和時(shí)滯下的狀態(tài)曲線

從圖2 可以看出，當(dāng)三階多智能體系統(tǒng)引入時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋協(xié)議后，只要通訊時(shí)滯和反饋強(qiáng)度滿足一定的條件，即可實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)態(tài)一致性.

3 結(jié)語(yǔ)

研究表明，針對(duì)三階多智能體系統(tǒng)，當(dāng)輸入狀態(tài)僅與位置相關(guān)時(shí)，可以利用近似代換的方式，將輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)換為具有時(shí)滯狀態(tài)導(dǎo)數(shù)反饋的多智能體系統(tǒng)，而該系統(tǒng)是一致的.另外，反饋強(qiáng)度越接近零，這種近似代換后的系統(tǒng)越能反映原系統(tǒng)的真實(shí)情況.