張俊超，陳 威,王 君

(1.哈爾濱學(xué)院信息工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150086； 2.哈爾濱學(xué)院教師教學(xué)發(fā)展中心，黑龍江 哈爾濱 150086)

1 問(wèn)題提出

大學(xué)教學(xué)的本質(zhì)要義不再只是滿足學(xué)生學(xué)會(huì)什么，更多的是關(guān)注學(xué)生是否“會(huì)學(xué)習(xí)”。然而目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)卻并沒(méi)有達(dá)到這一目標(biāo)，學(xué)生對(duì)于形式變但本質(zhì)不變的問(wèn)題解決更是欠佳。究其原因，主要有以下三個(gè)方面：(1)教師一言堂的講授，導(dǎo)致師生、生生之間缺乏對(duì)高等數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的深入思考。由于對(duì)前人研究成果的一味崇拜，導(dǎo)致創(chuàng)新和批判思維極具弱化[1]。知其然，卻不知其所以然，更不知何由其知其所以然，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得路徑、研究方法和學(xué)科思維缺乏感悟，淺表性學(xué)習(xí)頻繁出現(xiàn)。(2)高等數(shù)學(xué)抽象化特點(diǎn)導(dǎo)致教師過(guò)多地關(guān)注形式化推理的講授，往往會(huì)降低學(xué)生從具體化到符號(hào)化再到形式化漸進(jìn)深入的思考。久而久之，形式化推理的知識(shí)就變成一個(gè)個(gè)孤立的節(jié)點(diǎn)，形成“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的學(xué)習(xí)狀態(tài)，碎片化的知識(shí)之間缺乏必要的關(guān)聯(lián)，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力就較弱[2]。(3)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砉倘恢匾?，而跳出知識(shí)本身進(jìn)行問(wèn)題解決則是衡量學(xué)生能否學(xué)以致用的重要標(biāo)尺。生活中散落的大量非良構(gòu)問(wèn)題的解決很大程度上導(dǎo)致學(xué)生脈絡(luò)化的記憶和創(chuàng)生性理解難以平衡，由此阻礙了知識(shí)的提取與方法的遷移[3]。

2 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的概念是1976年由美國(guó)學(xué)者Ference Marton等率先提出，隨后我國(guó)學(xué)者何玲[4]、焦建利[5]等對(duì)深度學(xué)習(xí)本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行闡述。此后，對(duì)深度學(xué)習(xí)多角度的分析與闡釋也促成了百家齊放的景象：有基于特征的分析，如杜鵑等人[6]的信息整合、批判思維、知識(shí)建構(gòu)、促進(jìn)遷移和問(wèn)題解決，郭華[7]的聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動(dòng)與經(jīng)驗(yàn)、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用、價(jià)值與評(píng)價(jià)五大特征研究；有基于素養(yǎng)的分析，如NRC劃分的認(rèn)知、人際和自我三大領(lǐng)域；有目標(biāo)分類解釋，如段金菊[8]、張浩等人[9]依托于布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)；也有內(nèi)容構(gòu)成及結(jié)構(gòu)繪制方面的探索，如胡航[10]等人對(duì)深度學(xué)習(xí)中的核心要素確立為學(xué)科知識(shí)、策略知識(shí)、社會(huì)技能、認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并繪制了蘑菇狀結(jié)構(gòu)圖等等。由此不斷拓寬學(xué)習(xí)邊界，充盈學(xué)習(xí)深度[11]。盡管如此，深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)思考仍然圍繞“建立聯(lián)結(jié)，有效遷移”來(lái)展開(kāi)[12]，凸顯出深度學(xué)習(xí)大格局、寬視野、悟思想、抓本質(zhì)、激節(jié)點(diǎn)、活運(yùn)用、思創(chuàng)新的客觀規(guī)律。

基于以上研究及對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究思考，高等數(shù)學(xué)的深度化學(xué)習(xí)應(yīng)首先以營(yíng)造和諧的“新聯(lián)結(jié)文化”為基底，以創(chuàng)造生生、師生、學(xué)生與社會(huì)之間和諧的學(xué)習(xí)文化氛圍作為實(shí)現(xiàn)知識(shí)互聯(lián)的保障。其次，數(shù)學(xué)的三個(gè)世界理論將數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)從“具體化世界”經(jīng)“符號(hào)化世界”推進(jìn)到“形式化世界”。最后，問(wèn)題解決策略把握了交互式學(xué)習(xí)環(huán)境下深度學(xué)習(xí)的主旨，將有意義的脈絡(luò)化記憶、整體性記憶與可持續(xù)推進(jìn)的觀念性理解、創(chuàng)生性理解有機(jī)結(jié)合，促使知識(shí)的有效提取與方法的自然遷移。

3 指向深度學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)探索

3.1 以新聯(lián)結(jié)主義為指導(dǎo)促進(jìn)師生深度交互

新聯(lián)結(jié)主義是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)行平行分布式知識(shí)表征的總稱，簡(jiǎn)稱PDP模型。它對(duì)認(rèn)知過(guò)程的理解突出表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)認(rèn)知過(guò)程可以被看成一個(gè)鮮活的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)中，大量的知識(shí)單元相互關(guān)聯(lián)、相互作用，由簡(jiǎn)單單一的小單元相互聯(lián)結(jié)，逐漸形成更大的聯(lián)通網(wǎng)絡(luò)。(2)認(rèn)知過(guò)程是大量神經(jīng)元相互聯(lián)結(jié)并有效調(diào)整的過(guò)程，其中興奮性神經(jīng)聯(lián)結(jié)和抑制性神經(jīng)聯(lián)結(jié)交織并存，學(xué)習(xí)則要在這種不斷調(diào)整的過(guò)程中打破原有的舊的聯(lián)結(jié)從而建立新的平衡[13]。(3)認(rèn)知過(guò)程可按照信息輸入、信息激活、信息提取和建立聯(lián)結(jié)四個(gè)步驟加以完成。作為認(rèn)知過(guò)程的外顯行為，新聯(lián)結(jié)主義下的教學(xué)模式主張學(xué)習(xí)者在教師精心鋪設(shè)的探究情境中展開(kāi)思索，結(jié)合自身原有經(jīng)驗(yàn)對(duì)新情境中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行嘗試性的猜想、假設(shè)和驗(yàn)證。教師則更多地關(guān)注學(xué)生猜想的邏輯是否可靠，假設(shè)的觀點(diǎn)是否可以得到驗(yàn)證，解決問(wèn)題的方案是否可以引發(fā)更深入的探討，問(wèn)題的遞進(jìn)是否促成了知識(shí)關(guān)聯(lián)以及思維的進(jìn)階。幫助學(xué)生不斷探索新知的同時(shí)激發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信力。除此之外，合作學(xué)習(xí)在新聯(lián)結(jié)主義觀點(diǎn)下尤其突出?；?dòng)交流使得多數(shù)學(xué)生能夠獲得更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和深入探究的動(dòng)力[14]。

例如：運(yùn)用新聯(lián)結(jié)主義模式進(jìn)行“函數(shù)的極限”概念教學(xué)。函數(shù)的極限是微積分中一個(gè)非常重要的概念，不僅體現(xiàn)在它是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，更重要的是從數(shù)學(xué)史發(fā)展歷程來(lái)看，函數(shù)概念的推導(dǎo)經(jīng)歷分析的泛化、嚴(yán)格化和算術(shù)化三個(gè)階段，即從定性化描述到定量化描述逐漸進(jìn)階的過(guò)程。學(xué)習(xí)函數(shù)極限概念是幫助學(xué)生定量形式化理解和描述高等數(shù)學(xué)概念的重要時(shí)機(jī)。我們對(duì)函數(shù)的極限定義做如下問(wèn)題設(shè)計(jì)：首先提出問(wèn)題：當(dāng)x→x0時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)是否無(wú)限的趨近一個(gè)常數(shù)A？(信息輸入)如果趨近一個(gè)常數(shù)A，那么，接著進(jìn)行逐級(jí)的數(shù)學(xué)化描述：這句話等價(jià)于“當(dāng)x→x0過(guò)程中，|f(x)-A|能任意小”(激活概念，柯西的函數(shù)極限定性化描述)。既然任意的小，要多小有多小，那么如何來(lái)描述“任意小”這句話(深度激活聯(lián)結(jié))？即對(duì)任意給定的正數(shù)ε>0 ，|f(x)-A|<ε就描述了“任意小”(維爾斯特拉斯的定量化描述)。原有問(wèn)題肯定的回答就等價(jià)于：當(dāng)x→x0過(guò)程中，對(duì)任意給定的正數(shù)ε>0 ，|f(x)-A|<ε(完成一級(jí)定量化描述的目標(biāo))。那么，當(dāng)x→x0過(guò)程中，哪些x能使|f(x)-A|<ε呢？只有充分接近x0的那些x才可以。因此新的定量化描述又出現(xiàn)了，如何描述“充分接近x0的那些x”這句話呢？(信息再次輸入)即存在無(wú)限小的正數(shù)δ>0，0<|x-x0|<δ就定量化的描述了這句話(類比遷移，深度聯(lián)結(jié))。至此，兩次定量化描述全部完成，并且第二次可以通過(guò)第一次類比遷移得到，最后正向形成概念。

這個(gè)過(guò)程中，教師不斷激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)結(jié)點(diǎn)，從歷史發(fā)展脈絡(luò)逐漸增強(qiáng)學(xué)生探究的欲望并使其主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，增強(qiáng)思維能力。 英國(guó)Warwick大學(xué)教授David Tall將傳統(tǒng)教學(xué)模式、發(fā)現(xiàn)教學(xué)模式、聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式作對(duì)比試驗(yàn)，數(shù)據(jù)顯示聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式教學(xué)效果最明顯，驗(yàn)證了該模式能充分調(diào)動(dòng)師生兩方面的積極性。

3.2 以數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論指導(dǎo)學(xué)生理解概念、推理和求解

英國(guó)Warwick大學(xué)教授David Tall于2004年以認(rèn)知主義、建構(gòu)主義為基礎(chǔ)，融合認(rèn)知科學(xué)、新皮亞杰主義等研究成果提出了數(shù)學(xué)的三個(gè)世界理論[15]。

具體化世界注重個(gè)人感覺(jué)，學(xué)習(xí)者通過(guò)與所在環(huán)境發(fā)生交互從而在感知事物的同時(shí)，自覺(jué)形成具體化語(yǔ)言描述，進(jìn)一步通過(guò)較為規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形成概念確切的意義。符號(hào)化世界是具體化世界的深入發(fā)展，也是深入研究數(shù)學(xué)的必然需求。數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔性的特點(diǎn)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎挤绞酱俪闪朔?hào)化世界的形成。通過(guò)符號(hào)的使用實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，進(jìn)而再上升到更高一級(jí)的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)數(shù)學(xué)向縱深發(fā)展。形式化世界通過(guò)高度抽象性促使概念命題獲得形式化定義，不再滿足歸納式的猜想，更多地注重嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和形式化的演繹。三個(gè)世界從最初對(duì)環(huán)境的感知為基礎(chǔ)逐漸過(guò)渡到以對(duì)象特征為基礎(chǔ)。該理論彌補(bǔ)了APOS理論不能合理解釋形式化推理的缺陷，為形式化推理證明提供了理論依據(jù)[16]。

Tall 認(rèn)為，人的認(rèn)知過(guò)程是以“前集”與“前變量”為基礎(chǔ)，經(jīng)數(shù)學(xué)的三個(gè)世界獲得發(fā)展的?！扒凹奔磳W(xué)習(xí)的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。識(shí)別、重復(fù)、語(yǔ)言三種前集方式對(duì)如何形成長(zhǎng)期學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知發(fā)展起著關(guān)鍵性作用[17]?！扒白兞俊奔丛姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)結(jié)，包括聯(lián)結(jié)的程度與范圍。在教學(xué)之初，教師應(yīng)首先了解學(xué)生已有的“前集”水平和已經(jīng)建立的“前變量”。以《連續(xù)》這節(jié)課內(nèi)容為例，學(xué)生學(xué)習(xí)該部分的“前變量”是：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)已經(jīng)初步了解了極限概念，對(duì)連續(xù)概念有了初步的感知，但是形式化推理的訓(xùn)練與應(yīng)用不足。學(xué)生的“前集”水平是：已經(jīng)開(kāi)始識(shí)別形式化理論，能用形式化語(yǔ)言表示簡(jiǎn)單概念，具備了一定的抽象水平，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

該理論提倡利用直觀的動(dòng)態(tài)圖象理解形式化抽象概念，要求用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂教學(xué)。在《連續(xù)》一節(jié)內(nèi)容課堂教學(xué)中，在借鑒國(guó)外改革經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上筆者作如下設(shè)計(jì)：在電腦屏幕上任意畫(huà)一條曲線，用鼠標(biāo)拖拉直至水平但未斷開(kāi)，我們就可以說(shuō)這段曲線是連續(xù)的。如果在電腦屏幕上曲線斷開(kāi)，則說(shuō)明曲線是間段的。在一個(gè)高分辨率的電腦屏幕上，假設(shè)圖象上中間一點(diǎn)為(x0,f(x0))，像素高度為±ε，為了把圖象拉成水平需要找到一個(gè)δ>0，當(dāng)x位于x0-δ與x0+δ之間時(shí)，f(x)位于像素f(x0)-ε和f(x0)+ε之間。這就是嚴(yán)格的函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的形式化定義：“給定像素高度為±ε，找到一個(gè)δ>0，對(duì)于給定x0，如果x存在于x0-δ和x0+δ之間，則f(x)存在于f(x0)±ε范圍內(nèi)”。用這個(gè)方法證明函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性。

3.3 以問(wèn)題解決策略推進(jìn)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)

在1988年國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)上，把“問(wèn)題解決，模型和應(yīng)用”列為七個(gè)主要研究課題之一。即便進(jìn)入21世紀(jì)，問(wèn)題解決策略依然是國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)。我國(guó)也不例外，雖然與國(guó)際相比，問(wèn)題解決教學(xué)自上世紀(jì)90年代才開(kāi)始起步，但至今依然對(duì)問(wèn)題解決進(jìn)行著不同側(cè)面、不同視角、不同范圍的研究，深究?jī)?nèi)涵，擴(kuò)充外延，重在學(xué)生發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維及批判性思維的培養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的提升。問(wèn)題解決策略常采用以下幾種方式：一是以“專題”方式學(xué)習(xí)相關(guān)建模知識(shí)；二是簡(jiǎn)單現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的建模設(shè)計(jì)，利用所學(xué)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)學(xué)生自主設(shè)計(jì)與教師指點(diǎn)相結(jié)合的方式解決常見(jiàn)模型；三是歷年數(shù)學(xué)建模問(wèn)題訓(xùn)練，采用分組交流的方式設(shè)計(jì)出不同方案；四是與社會(huì)發(fā)展密切相關(guān)問(wèn)題的建模設(shè)計(jì)，讓學(xué)生了解社會(huì)，掌握基本的科學(xué)設(shè)計(jì)技能。教師需根據(jù)實(shí)際情況和需求靈活選擇。

結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，筆者構(gòu)思出如下實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)過(guò)程：第一階段：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)過(guò)：“教育的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞。”因此在這一階段中，情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)突出提出問(wèn)題的可能性和易于創(chuàng)新的知識(shí)點(diǎn)。第二階段：數(shù)學(xué)化。生活中的諸多問(wèn)題往往是非良構(gòu)的。利用高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往會(huì)經(jīng)歷生活到數(shù)學(xué)內(nèi)部的橫向數(shù)學(xué)化，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部的縱向數(shù)學(xué)化，兩者缺一不可。能否有效的實(shí)現(xiàn)橫向數(shù)學(xué)化是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。第三階段：再創(chuàng)造。荷蘭教育家弗萊登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的辦法就是實(shí)施“再創(chuàng)造”，即學(xué)習(xí)者通過(guò)教師創(chuàng)設(shè)的情境對(duì)問(wèn)題賦予自身的理解，從而自主去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來(lái)[18]。微積分中的諸多知識(shí)都需要通過(guò)再創(chuàng)造而獲得。具體做法是：在實(shí)驗(yàn)課上讓學(xué)生充分感受問(wèn)題產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)相關(guān)概念及原理，暴露思維過(guò)程，達(dá)到理解與應(yīng)用的目的。同時(shí)也改變大學(xué)生直接獲取知識(shí)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)[19]。第四階段：把建模作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要內(nèi)容。英國(guó)教育家懷特海曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)就是對(duì)模式的研究”。數(shù)學(xué)建模較之?dāng)?shù)學(xué)化而言，更注重?cái)?shù)學(xué)模型的前提假設(shè)、數(shù)學(xué)模型的抽象和提煉以及求解模型和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪^(guò)程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課首要的是讓學(xué)生會(huì)使用Matlab軟件，達(dá)到對(duì)課本內(nèi)容的再創(chuàng)造。以定積分解決不規(guī)則圖形面積為例，教師可以利用Matlab軟件指導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行分割，以規(guī)則圖形的面積來(lái)代替每一小塊不規(guī)則圖形的面積。在分割的過(guò)程中，學(xué)生可以觀察到分割次數(shù)的多少直接影響這些分割圖形的近似面積之和與圖形實(shí)際面積的差異大小。通過(guò)對(duì)圖形無(wú)限分割，繼而求和取極限，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一種不同于中學(xué)的離散的求和方法。以規(guī)則圖形代替不規(guī)則圖形，以有限代替無(wú)限，以有限和代替無(wú)限和，最終通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完善知識(shí)建構(gòu)和深度思維的能力提升。

4 總結(jié)

深度學(xué)習(xí)作為時(shí)代境遇與現(xiàn)實(shí)訴求，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新性思維、批判性思維等高階思維的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的互聯(lián)和方法的遷移，更強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決能力。因此將新聯(lián)結(jié)主義、數(shù)學(xué)的三個(gè)世界理論及問(wèn)題解決策略融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中，可以為更好地促進(jìn)深度學(xué)習(xí)提供新思路，并為構(gòu)建個(gè)性化、多元化的高等數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)聯(lián)通網(wǎng)絡(luò)提供可能。