裴晨暉，何歡，陳國平

（南京航空航天大學 a. 機械結(jié)構力學及控制國家重點實驗室；b. 振動工程研究所，南京 210016）

在實際工程應用中，結(jié)構往往受到多軸振動載荷的影響，造成疲勞損傷，進而導致結(jié)構的失效破壞。相比單軸疲勞，多軸疲勞在疲勞損傷上會有附加強化效應，這主要是受材料自身特性與加載路徑的影響。通常來講，多軸疲勞是多軸載荷作用下的疲勞問題，指多個非比例的、不同頻率的載荷相互獨立地作用在工程結(jié)構上，從而引起結(jié)構的疲勞破壞。而對于相同頻率、相位的比例載荷，通常作為單軸疲勞問題進行處理。

振動疲勞中的主要處理方法為時域分析法與頻域分析法。時域分析法主要運用進行雨流計數(shù)法，將隨機的振動載荷分解為不同的循環(huán)。頻域分析中，輸入與輸出都通過不同頻率的能量顯示，功率譜密度（PSD）是表示振動環(huán)境中頻率載荷與響應最常用的方法，窄帶分析、Dirlik 經(jīng)驗公式是常見的頻率內(nèi)評估壽命的方法。

多軸振動疲勞理論有三類[1]：等效應變法、能量法、臨界面法。等效應變法最著名的是Manson-Coffin公式[2]。能量法[3]最先由Morrow 提出，其將金屬疲勞產(chǎn)生的原因歸結(jié)為：每一次載荷循環(huán)中，材料吸收了外部能量而產(chǎn)生了不可逆的損傷，這種塑性功的累積最終導致了材料的破壞。臨界法則在考慮應力、應變的基礎上，還考慮了應力、應變所在平面的影響。與等效法相比，臨界法更加符合疲勞裂紋的產(chǎn)生和擴展機理，因此，被廣泛認為是分析多軸疲勞的有效方法。臨界法中有基于最大切應變準則的KBW 模型[4]、Shang-Wang 模型與FS 模型[5]等。臨界法通常選擇一個確定的平面作為臨界面，利用臨界面上的應力狀態(tài)（包括正應力與切應力）計算得到等效應力，計算疲勞壽命[6-8]。

筆者通過一種新的以主應力為基礎的臨界法對多軸疲勞問題進行分析，將不同時刻下的主應力投影到某一主應力平面內(nèi)，得到該平面內(nèi)的應力-時間曲線，進而分析單個循環(huán)內(nèi)該平面方向上的疲勞損傷，即先進行疲勞損傷的計算，再確定臨界面與預測壽命。通過對不同平面方向進行加權平均，最后求得疲勞臨界面的期望方向與預估壽命。并通過薄片試件的多軸加速度隨機振動疲勞試驗，驗證該方法的準確性。

1 理論分析

1.1 臨界法

臨界法[9]的關鍵問題在于確定臨界面，確定臨界面的方法有很多種，因此形成了不同的臨界面疲勞模型。常規(guī)的有適用于低周疲勞的最大切應力準則，和適用于高周疲勞的主應變或應力準則。從各類多軸高周疲勞的試驗結(jié)果來看，疲勞破壞確實與最大主應力或應變有很大的關系。通過引入權函數(shù)的方法確定臨界面已經(jīng)成為了確立臨界面的常規(guī)方法[10]。在平面問題中，假定臨界面的期望值為?θ ，則：

式中：Di為一次循環(huán)的損傷值；Dmax為各主應力平面下?lián)p傷的最大值； c 為常量參數(shù)。

1.2 非比例附加強化

多軸載荷的影響主要體現(xiàn)為正應力與切應力的應力比以及兩者的相位差所帶來的非比例附加強化效應。不同的非比例載荷會使得材料危險點處的應力應變主軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，從而導致材料的抗疲勞性能降低。Chen 等[11-13]定義了一個能表示非比例加載路徑變化對多軸疲勞性能影響的非比例路徑因子Φ 。在此基礎上，一種新的多軸臨界面預測模型[14-15]，在考慮非比例加載條件下路徑與材料非比例強化特征的疲勞性能影響后，引入了一個非比例影響因子k：

式中：Φ 為非比例路徑因子； L 為材料非比例附加強化參數(shù)。筆者沿用該因子，在高周疲勞問題中，其應變比、應變相位差對應轉(zhuǎn)變?yōu)閼Ρ?、應力相位差?/p>

1.3 多軸線性疲勞累積理論

疲勞損傷累積理論中[16-17]，Miner 理論作為經(jīng)典的線性累積模型，被廣泛地運用于多軸疲勞領域。線性累積損傷理論中的疲勞損傷按線性累加，各個載荷之間互相獨立。在平面問題中，線性累積損傷理論首先使用臨界法計算危險點-90°至90°各方向的多軸等效應力 σ (θ )，然后通過各方向上的多軸等效應力σ (θ )，使用多軸疲勞壽命分析方法計算相應的壽命Nf，再分別使用Miner 理論進行損傷計算。Miner 理論將多軸下一個循環(huán)造成的損傷定義為：

2 確定臨界面

臨界面法的通常做法是先確定臨界面，再利用臨界面上的應力狀態(tài)求解等效應力，預測壽命。對于臨界面的確定，筆者采用將一段時域范圍內(nèi)的正應力投影計算損傷后加權平均的方法得到。具體流程如下：

1）利用矩陣法求解不同時刻的主應力方向與主應力大??；

2）取特定的平面，將各個主應力投影，得到該平面下主應力的時域變化曲線；

3）利用雨流計數(shù)法，結(jié)合S-N曲線與非比例附加強化因子計算求解平面下的疲勞損傷；

4）求解不同平面下的疲勞損傷，利用權函數(shù)得到臨界面的期望值；

5）利用疲勞損傷累積理論計算壽命。

3 仿真分析

3.1 試件概況

建立如圖1 所示的試驗件有限元模型，主體材料為LY12-CZ[19]，彈性模量68 GPa，泊松比0.33，密度2.8 g/cm3；質(zhì)量塊材料為Q 235，質(zhì)量0.156 kg。

圖1 結(jié)構有限元模型Fig.1 Structural finite element model

將底端（矩形部分）固支，計算得到結(jié)構的垂向一彎的頻率為 13.067 Hz ， 側(cè)向一彎的頻率為42.885 Hz，一扭的模態(tài)頻率為90.434 Hz。

3.2 隨機振動響應分析

試驗件底端（矩形部分）上利用施加Z向、X向的隨機加速度激勵。激勵為0.006g2/Hz、頻率范圍10～200 Hz 的平直譜。對有限元模型進行隨機響應分析，得到危險點的位置（弧形部分根部），以及其應力的隨機響應。危險點主要為Y向正應力與XY向切應力，兩者PSD 曲線如圖2—5 所示，并用三角級數(shù)法生成時域應力響應。在試驗過程中，可以得到應變-時間曲線，從而得到觀測時間內(nèi)應力狀態(tài)的時域變化曲線。此處，以PSD 曲線生成的時間-應力曲線計算臨界面的期望值。

圖2 Y 向正應力頻域響應Fig.2 Frequency domain response of normal stress in Y direction

圖3 Y 向正應力時域響應Fig.3 Time domain response of normal stress in Y direction

圖4 XY 向切應力頻域響應Fig.4 Frequency domain response of shear stress in XY direction

圖5 XY 向切應力時域響應Fig.5 Time domain response of shear stress in XY direction

對時域部分的應力響應進行傅里葉變換，得到X向正應力、XY向切應力的頻域分析結(jié)果，可知正應力在13 Hz 時最大，為72 MPa；XY切應力在13 Hz時幅值最大，為145 MPa。取非比例路徑因子Φ為0.5，計算如圖6 所示。c取0.8，計算得到臨界面的方向為71.8°，線性差值得到疲勞損傷為3.007×10-5，預估壽命9 978 s。

圖6 各個方向上的疲勞損傷Fig.6 Fatigue damage in given directions

3.3 隨機振動壽命預測

文獻[20]進行了4 種工況下的疲勞試驗，利用第2 章的臨界法理論計算壽命預測結(jié)果，并與試驗結(jié)果進行對比，得到預測壽命結(jié)果與實際結(jié)果的基本誤差在兩倍界以內(nèi)。

表1 多軸振動試驗工況與壽命預測Tab.1 Multi-axis vibration test conditions and life prediction

4 結(jié)論

1）提出了一種基于臨界面正應力的多軸疲勞壽命預估方法，結(jié)合非比例加載下的影響因子，對整個預估過程進行了闡述。借助單個循環(huán)內(nèi)應力響應狀態(tài)隨時間的變化曲線，得到各個時刻下的主應力方向，將不同時刻的應力投影至某一方向上，得到該平面主應力-時間變化曲線，并求解該方向上的疲勞損傷。根據(jù)損傷值加權平均，得到臨界面的期望角度，并預測了疲勞壽命。

2）在隨機振動疲勞中，對比了臨界面疲勞預測壽命與多軸加速度隨機振動試驗的疲勞結(jié)果，壽命誤差基本處于2 倍界范圍內(nèi)，驗證了方法的有效性。其中，非比例加載強化效應還有進一步研究的空間。