程洪濤，李恒宇

（1.上海健康醫(yī)學(xué)院 發(fā)展規(guī)劃處，上海 201318；2.上海大學(xué) 精密機(jī)械系，上海 200444）

引 言

光學(xué)變焦系統(tǒng)的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段：第一階段是通過更換物鏡使顯微鏡倍率改變達(dá)到變焦[1-2]；第二階段是通過整體移動(dòng)部分光學(xué)組件的光學(xué)補(bǔ)償變焦[3-4]；第三階段是透鏡的移動(dòng)方程成曲線的機(jī)械補(bǔ)償變焦[5-6]。隨著研究不斷深入，產(chǎn)生了可調(diào)光焦度器件[7-8]，基于可調(diào)光焦度器件的新一代變焦系統(tǒng)的最大優(yōu)點(diǎn)是：給光學(xué)設(shè)計(jì)者提供額外的自由度，因無需移動(dòng)的光學(xué)器件，不用昂貴的精密移動(dòng)機(jī)構(gòu)，提高了變焦光學(xué)系統(tǒng)的魯棒性；可調(diào)光焦度器件的材料比玻璃輕，能夠減少系統(tǒng)的總重量[9]，同時(shí)使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更緊湊。

下一代變焦系統(tǒng)是用可調(diào)光焦度器件設(shè)計(jì)，可調(diào)光焦度器件能夠代替需要機(jī)械運(yùn)動(dòng)裝置實(shí)現(xiàn)變焦的光學(xué)系統(tǒng)，將對(duì)變焦系統(tǒng)發(fā)展產(chǎn)生革命性的突破，為可穿戴式設(shè)備、手機(jī)、內(nèi)窺鏡等變焦系統(tǒng)更新?lián)Q代創(chuàng)造條件[10-11]。本文對(duì)基于可調(diào)光焦度器件的變焦系統(tǒng)進(jìn)行像差理論分析，通過討論可調(diào)光焦度器件的球差、彗差與形狀參數(shù)、放大率的關(guān)系，快速獲得變焦系統(tǒng)中可調(diào)光焦度器件的初值。

1 可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)的像差分析

在變焦光學(xué)系統(tǒng)中，光束的孔徑角和成像物高往往都比較大，即高級(jí)像差相當(dāng)大，因此初級(jí)像差不能充分地代表變焦光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)。盡管初級(jí)像差不足以充分代表變焦光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，但是它正確反映了光學(xué)系統(tǒng)小孔徑和小視場(chǎng)情形下的成像性質(zhì)。對(duì)于一個(gè)具有較大孔徑和較大視場(chǎng)的實(shí)際變焦光學(xué)系統(tǒng)，如果其成像清晰，則在小孔徑和小視場(chǎng)范圍內(nèi)成像必然是清晰的。對(duì)于一個(gè)成像質(zhì)量?jī)?yōu)良的變焦光學(xué)系統(tǒng)，使初級(jí)像差校正到一定限度內(nèi)，雖然不是一個(gè)充分條件，但卻是一個(gè)必要條件，因此研究初級(jí)像差對(duì)于設(shè)計(jì)變焦光學(xué)系統(tǒng)仍然具有重要的實(shí)際意義。目前初級(jí)像差理論已經(jīng)比較完善，并且已被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中；高級(jí)像差雖然有不少研究，但是由于問題本身的復(fù)雜性和計(jì)算量過大，因此在實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中應(yīng)用較少。共軸球面變焦系統(tǒng)一般主要討論初級(jí)像差，對(duì)高級(jí)像差不作討論。

物體通過一個(gè)共軸變焦光學(xué)系統(tǒng)后，在像空間形成帶有像差的像，而此像差是各個(gè)光學(xué)面綜合作用產(chǎn)生的。如圖1 所示，光線通過第j 個(gè)面以后，總的像差可以分為兩部分：一部分是第一面到第(j?1) 面所產(chǎn)生的；另一部分是第j 面至最后第 k 面產(chǎn)生的。由于第一面到第(j?1) 面存在像差，因此第 j 面的入射光束已經(jīng)具有像差。第j 面產(chǎn)生的像差不僅和它本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)如曲率半徑、折射率及物體位置有關(guān)，而且和入射光束的像差有關(guān)，因此入射光束的像差不同，光線在第j 面上對(duì)應(yīng)的入射位置就不同，它所產(chǎn)生的像差也就不同。因此系統(tǒng)中各個(gè)球面對(duì)于像差的影響并不是彼此獨(dú)立的。

圖1 光線通過光學(xué)系統(tǒng)圖Fig.1 A paraxial ray passing through an optical system

如果只考慮光學(xué)系統(tǒng)初級(jí)像差而忽略高級(jí)像差，則可以認(rèn)為每一面產(chǎn)生的像差和入射光束的像差無關(guān)。因此系統(tǒng)中每個(gè)光學(xué)面產(chǎn)生的像差認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，此即為初級(jí)像差的獨(dú)立性原理。

根據(jù)初級(jí)像差的獨(dú)立性原理，可以分別求出系統(tǒng)每個(gè)光學(xué)面的像差，并且認(rèn)為每個(gè)折射面入射光束也是處于沒有缺陷的理想狀態(tài)。由此，為研究一個(gè)共軸光學(xué)變焦系統(tǒng)的初級(jí)像差，只要研究單個(gè)折射球面的像差即可，從而使研究大為簡(jiǎn)化。本文應(yīng)用像差獨(dú)立性原理研究基于可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)，可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)的一階光學(xué)設(shè)計(jì)任務(wù)是根據(jù)變焦基本準(zhǔn)則確定系統(tǒng)的光焦度和光闌控制方程，并不能得到變焦系統(tǒng)的最終成像質(zhì)量，還需要應(yīng)用三階像差理論進(jìn)行研究。所以當(dāng)變焦系統(tǒng)的一階控制方程給定以后，還需要按變焦基本準(zhǔn)則[12]，確定系統(tǒng)的成像質(zhì)量，也就是討論變焦系統(tǒng)的像差變化情況。

2 變焦系統(tǒng)中可調(diào)光焦度器件初始結(jié)構(gòu)分析

2.1 球差與形狀參數(shù)、放大率的關(guān)系

可調(diào)光焦度器件的變焦系統(tǒng)的像差優(yōu)化過程與一般的光學(xué)系統(tǒng)的像差優(yōu)化過程是一樣的，因此可用初級(jí)像差來表示可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)的像差貢獻(xiàn)。初級(jí)像差能夠指出各種像差來自系統(tǒng)何處，而且計(jì)算迅速，可以不做實(shí)際光線追跡而在短時(shí)間內(nèi)做出一個(gè)近似設(shè)計(jì)方案。引入透鏡的形狀參數(shù)X，圍繞形狀參數(shù) X 與像差中的球差、彗差的關(guān)系來分析透鏡的形狀參數(shù)對(duì)變焦系統(tǒng)像差的影響。

圖2 是一個(gè)透鏡對(duì)無限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)成像產(chǎn)生的球差示意圖。透鏡的球差與透鏡形狀有關(guān)，還與物點(diǎn)的位置、光闌位置和大小有關(guān)。改變透鏡的形狀（曲率半徑），不改變透鏡的口徑、折射率和焦距，簡(jiǎn)單透鏡的球差會(huì)改變，這種降低球差的過程稱為“透鏡彎曲”。將薄透鏡兩面的TSC（橫向球差）合并，系統(tǒng)中的薄透鏡或密接薄透鏡組在最后像方產(chǎn)生的初級(jí)球差[13]為

式中：n 為透鏡折射率；G1=n2(n ?1) /2；G2=(2 n +1)(n ?1) /2；G3=(3 n +1)(n ?1) /2； G4=(n +2)(n ?1)/(2 n)；G5= 2(n2?1) /n；G6=(3 n +2)(n?1)/(2 n)；v 為透鏡的物距倒數(shù)（又稱為物空間的聚散度）；c1為透鏡第一面的曲率； c2為透鏡第二面的曲率； c=c1?c2； u′為光線在像方出射后的傾斜角；y 為光線入射到表面的高度； h′為像高。

式中：

圖2 球差示意圖Fig.2 Spherical aberration

由于只考慮形狀參數(shù)對(duì)球差的影響，且是針對(duì)單個(gè)透鏡，因此定義一個(gè)與形狀參數(shù)有關(guān)的量，稱之為類球差 tscX，以此表達(dá)形狀參數(shù)和球差的關(guān)系，則有

對(duì)式（3）求導(dǎo)，得到

令式（4）等于零，可得

此時(shí)，類球差絕對(duì)值取得極小值。由式（5）可得透鏡第一、二面的曲率計(jì)算式：

對(duì)式（5）代入 G、e1、e2，得

式（6）～（8）是類球差 tscX絕對(duì)值取得最小值時(shí)單個(gè)薄透鏡的曲率半徑和形狀參數(shù)取值公式。為了更直觀理解類球差，下面對(duì)物點(diǎn)在無限遠(yuǎn)及有限遠(yuǎn)位置進(jìn)行分別討論。

（1）物點(diǎn)在無限遠(yuǎn)

對(duì)于無限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)，即 v=0 ，當(dāng)取類球差最小值時(shí)，能夠得到：

各式下標(biāo) op 表示取得最優(yōu)值，即類球差最小值時(shí)的取值。依據(jù)式（9）得到折射率與形狀參數(shù)的關(guān)系圖，如圖3 所示，由圖可以看出，當(dāng)折射率 n∈(1,2) 時(shí)，單個(gè)透鏡的形狀參數(shù)與折射率成近似線性關(guān)系，且 X∈(0,1.5) 。依據(jù)式（10）得到折射率與(c1/φ)op的關(guān)系圖，如圖4 所示，可以看出，折射率越高，(c1/φ)op值越小，即在透鏡光焦度一定的情況下，第一表面彎曲程度越平坦。依據(jù)式（11）得到折射率與(c2/φ)op的關(guān)系圖，如圖5 所示，從圖可以得出：折射率越高，總體上(c2/φ)op值越小，即在透鏡光焦度一定的情況下，第二表面彎曲程度越平坦；但當(dāng)折射率n=1.686 14 時(shí)，c2=0 ，即為平面，此時(shí) X=1 ,(c1/φ)op=1.457 43。計(jì)算表明，對(duì)于無限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)來說，當(dāng)折射率 n=1.686 14 時(shí)，單透鏡的形狀為凸平、凹平型，球差最小。由此得到折射率、形狀參數(shù)與 tscX/φ3的函數(shù)關(guān)系如圖6 所示。

從圖6 可以看出，當(dāng)折射率確定時(shí)，利用與n 軸垂直剖切面去截圖，能夠得到 tscX/φ3與X 的截面曲線。圖7 是不同折射率時(shí)得到的(tscX/φ3)op與X 之間的函數(shù)關(guān)系圖，從圖中可以看出，在 X∈(0,1.5) 的時(shí)候，能夠獲得類球差最小值，如表1 所示。從表1 可以看出，光焦度相同時(shí)，折射率越高，類球差越小，即球差越小，也就是說明了選用高折射率的材料是降低球差的一種途徑。

圖3 折射率與形狀參數(shù)的關(guān)系圖Fig.3 Relation between refractive index and shape parameter

圖4 折射率與(c1/φ)op 的關(guān)系圖Fig.4 Relation between refractive index and(c1/φ)op

圖5 折射率與(c2/φ)op 的關(guān)系圖Fig.5 Relation between refractive index and(c2/φ)op

圖6 折射率、形狀參數(shù)與 tscX/φ3 的函數(shù)關(guān)系圖Fig.6 Relation of refractive index,shape parameter and tscX/φ3

（2）物點(diǎn)在有限遠(yuǎn)

物點(diǎn)位于有限距離的時(shí)候，即v=1/s（s 為物距），形狀參數(shù)與類球差的關(guān)系比無限遠(yuǎn)情況更復(fù)雜。物距是和系統(tǒng)放大率有關(guān)的量，因此對(duì)于一個(gè)透鏡系統(tǒng)有

式中 m 為放大率。

將v 代入式（13）得到

將式（14）代入（3）得到

式中：

圖7 不同折射率情況下，(tscX/φ3)op 與X 之間的函數(shù)關(guān)系圖Fig.7 Relation between(tscX/φ3)op and X under different refractive indices

表1 不同折射率下的最優(yōu)值Tab.1 Optimal value under different refractive indices

當(dāng)球差取得最小值時(shí)，依據(jù)式（5）～（7）、（15）有：

分別取n=1.2、1.5、1.8，m∈[?2,0] ，根據(jù)式（16）～（19）得到圖8～11。從圖8 我們發(fā)現(xiàn)，不管折射率取何值，m=?1 處是共同的交點(diǎn)，此時(shí) X=0 ，也就是 c1=?c2。從圖9 可知，當(dāng)變焦系統(tǒng)的放大率逐漸從?2 到0 時(shí)，折射率取值越大，形狀參數(shù)的變化率在加速變化，即梯度在增大。從圖11 可知，折射率取值越大，(tscX/φ3)op值就越小，說明高折射率能夠得到小的球差值，與物點(diǎn)在無限遠(yuǎn)結(jié)論一樣。

物點(diǎn)在無限遠(yuǎn)時(shí)，得到形狀參數(shù)只和折射率有關(guān)，因此以折射率作為變量分析；物點(diǎn)在有限遠(yuǎn)時(shí)，考慮到變焦系統(tǒng)中倍率是一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，因此把物距轉(zhuǎn)化成倍率參數(shù)來分析。

2.2 彗差與形狀參數(shù)、放大率的關(guān)系

與初級(jí)球差類似，薄透鏡的初級(jí)彗差也有表達(dá)式，初級(jí)彗差如圖12 所示。當(dāng)光闌在薄透鏡上時(shí)，弧矢方向的初級(jí)彗差[13]可以表示為

式中：

圖8 Xops 與放大率的函數(shù)曲線Fig.8 Relation between Xops and magnification

圖9 (c1/φ)op 與放大率的函數(shù)曲線Fig.9 Relation between(c1/φ)op and magnification

圖10 (c2/φ)op 與放大率的函數(shù)曲線Fig.10 Relation between(c2/φ)op and magnification

在此也定義一個(gè)類彗差，其表達(dá)式為

圖11 (tscX/φ3)op 與放大率的函數(shù)曲線Fig.11 Relation between(tscX/φ3)op and magnification

圖12 彗差示意圖Fig.12 Coma

將式（14）代入式（21），得到

為了定量分析 X 取值對(duì)球差和彗差的影響，令式（22）為零，得到彗差取得最優(yōu)值時(shí)形狀參數(shù)的取值，即

為了進(jìn)一步與球差相比較，式（23）可以寫成

同時(shí)根據(jù)式（16）得到球差取得最優(yōu)值時(shí)形狀參數(shù)的表達(dá)式

圖13 與 X 的關(guān)系圖Fig.13 Relation of and X

依據(jù)式（24）、（25），可得到圖14，由圖可知，當(dāng)放大率相同時(shí)，折射率越大，球差和彗差的形狀參數(shù)相差越大。

圖14 最優(yōu)值的比較圖Fig.14 Comparison of the optimal values

當(dāng)取相同的折射率 n=1.6、m∈[?2,0] 時(shí)，式（24）、（25）可寫成

依據(jù)式（26）、（27），得到圖15 曲線圖，由圖可以看出，二者最優(yōu)值相差較小，變化趨勢(shì)一樣，幾乎同時(shí)取得優(yōu)值。因此可以得出，對(duì)于任何薄透鏡系統(tǒng)，球差達(dá)到了代數(shù)優(yōu)值時(shí)的彎曲狀態(tài)，幾乎也就是彗差優(yōu)值的彎曲狀態(tài)。因此在可調(diào)光焦度器件變焦系統(tǒng)中，當(dāng)光焦度改變時(shí)，我們可以依據(jù)校正初級(jí)彗差或初級(jí)球差的要求平衡確定透鏡的形狀參數(shù)，為進(jìn)一步優(yōu)化像質(zhì)提供參考。

圖15 Xop 與放大率之間的關(guān)系圖Fig.15 Relation between Xop and magnification

3 結(jié) 論

本文根據(jù)光學(xué)變焦系統(tǒng)中可調(diào)光焦度器件的初值確定要求，提出了采用薄透鏡像差理論分析形狀參數(shù)與變焦系統(tǒng)放大率的設(shè)計(jì)方法。根據(jù)變焦基本準(zhǔn)則、初級(jí)像差理論、像差獨(dú)立性原理和薄透鏡原理，采用球差和彗差最小值對(duì)可調(diào)光焦度變焦系統(tǒng)初值確定進(jìn)行了研究。研究表明，本文采用的變焦系統(tǒng)放大率與形狀參數(shù)的計(jì)算方程基本滿足變焦系統(tǒng)中可調(diào)光焦度器件初值的確定，且具有簡(jiǎn)單、快速、可靠等特點(diǎn)。