莊錦程，張齊元，王 芳，吳 鵬，王浩宇，王全召，吳泉英，韓 森

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州維納儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123；3.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引言

在高精度成像中，對給定光學(xué)系統(tǒng)的焦距進(jìn)行測量是非常重要的。通常意義上的焦距是指某一特定波長（一般為設(shè)計(jì)波長）的焦距數(shù)值，目前主流的焦距檢測設(shè)備的光源波長無法與被測光學(xué)系統(tǒng)完全匹配，縱向色差會(huì)對焦距的測量結(jié)果產(chǎn)生影響[1-4]?？v向色差是描述光學(xué)系統(tǒng)在不同波長下如何沿不同縱向位置聚焦，也稱位置色差或軸向色差。光學(xué)系統(tǒng)的性能經(jīng)常受色差限制而非單色像差限制，因此大多數(shù)成像鏡頭設(shè)計(jì)的目標(biāo)都是讓所有波長盡可能聚焦在同一平面[5-7]，在設(shè)計(jì)波段范圍內(nèi)所有波長聚焦位置越接近這個(gè)相同平面，在圖像中觀察到的問題就越少?？v向色差可以通過測量光學(xué)系統(tǒng)在不同波長下的焦點(diǎn)位移來評估，在一些簡單的縱向色差檢測實(shí)驗(yàn)中，對焦點(diǎn)位置的確定是影響測量結(jié)果的一個(gè)重要因素[8-9]。為了準(zhǔn)確檢測光學(xué)系統(tǒng)的縱向色差，Seong 等人提出一種利用馬赫澤德干涉儀測量縱向色差的方法[10]，首先測量單透鏡和雙膠合鏡頭在多個(gè)波長下的透射波前，然后利用波前Zernike 系數(shù)確定各波長的焦點(diǎn)位置，再使用Sellmeir 公式計(jì)算400 nm～700 nm波段的色差曲線，進(jìn)而得到被測系統(tǒng)的縱向色差。這種方法在測量前需要對被測系統(tǒng)進(jìn)行建模，從結(jié)果上看該方法對單透鏡的色差曲線影響誤差較小，而對雙膠合鏡頭的色差曲線影響誤差較大。本文針對這一問題，重點(diǎn)分析了不同類別光學(xué)系統(tǒng)的縱向色差變化規(guī)律，并嘗試使用Conrady公式和復(fù)消色差特性公式表示其函數(shù)關(guān)系，同時(shí)提出一種基于菲索干涉儀測量光學(xué)系統(tǒng)焦點(diǎn)位置進(jìn)而獲得光學(xué)系統(tǒng)縱向色差函數(shù)曲線的方法。

1 原理

傳統(tǒng)透射系統(tǒng)主要分為單色系統(tǒng)、消色差系統(tǒng)和復(fù)消色差系統(tǒng)。單色系統(tǒng)通常只工作在單一波長或極窄的波段范圍內(nèi)，大部分情況下使用同一種材料設(shè)計(jì)。由于折射率是波長的函數(shù)，光學(xué)系統(tǒng)的焦距也隨著波長變化，所以單色系統(tǒng)的縱向色差是一條單調(diào)曲線。消色差系統(tǒng)為了消除色差，采用多種玻璃進(jìn)行設(shè)計(jì)，由色差校正原理可知，對于大部分消色差系統(tǒng)來說，只能使2個(gè)波長聚焦在同一位置，且由于大部分消色差系統(tǒng)（如照相物鏡）都是對“F、d、C”光進(jìn)行校正，所以它們的色焦移曲線具有類似的形狀。復(fù)消色差系統(tǒng)可以使3個(gè)波長同時(shí)聚焦在同一位置，其他波長情況下聚焦到這一平面的距離（即離焦量）相比消色差系統(tǒng)小很多，所以復(fù)消色差系統(tǒng)的像質(zhì)遠(yuǎn)好于消色差系統(tǒng)，利用離焦量大小可以分析光學(xué)系統(tǒng)是否有效校正了色差，也可判斷它們屬于消色差系統(tǒng)還是復(fù)消色差系統(tǒng)。

不論是單色系統(tǒng)、消色差系統(tǒng)還是復(fù)消色差系統(tǒng)，它們的縱向色差都能用Zemax 中的色焦移曲線（chromatic focal shift）表示，色焦移曲線可用于確定光學(xué)系統(tǒng)縱向色差的函數(shù)關(guān)系。為了驗(yàn)證得到的函數(shù)關(guān)系是否符合實(shí)際，使用菲索干涉儀測量光學(xué)系統(tǒng)不同波長的焦點(diǎn)位置進(jìn)行驗(yàn)證，將采集的離散數(shù)據(jù)代入縱向色差的函數(shù)表達(dá)式求解，評估函數(shù)曲線與實(shí)際測量焦點(diǎn)位置數(shù)據(jù)的一致性[11-15]。

對于實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)而言，衍射和像差的存在會(huì)對準(zhǔn)確確定焦點(diǎn)位置造成一定困擾[16]。在光學(xué)檢測中，Zernike 多項(xiàng)式Z3的物理意義是離焦，若測量的透射波前Z3為零，則表示該位置為光學(xué)系統(tǒng)的焦點(diǎn)位置。在零離焦位置，一些微小的機(jī)械調(diào)整誤差會(huì)對Z3的數(shù)值產(chǎn)生明顯的影響，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確記錄焦點(diǎn)位置。在離焦量較大的位置微小調(diào)整X和Y傾斜對Z3的影響則可以忽略不計(jì)。鑒于Zernike 系數(shù)Z3與位置呈線性關(guān)系已通過仿真和分析得到驗(yàn)證[17-19]，本文通過測量離焦位置波前Zernike 系數(shù)Z3計(jì)算被測系統(tǒng)的焦點(diǎn)位置，原理如圖1所示。通過旋轉(zhuǎn)測微旋鈕推動(dòng)導(dǎo)軌上五維支架使反射球面鏡沿Z軸方向移動(dòng)，測量被測光學(xué)系統(tǒng)在焦點(diǎn)附近若干個(gè)離焦位置的透射波前，并記錄對應(yīng)位置的Z3值，將Z3與位置數(shù)據(jù)按線性方程進(jìn)行擬合，再使用擬合曲線計(jì)算出Z3為零時(shí)的位置。使用相同的步驟測量并計(jì)算被測系統(tǒng)在其他多個(gè)波長下的焦點(diǎn)位置，就可以得到縱向色差。

圖1 測量離焦位置的透射波前確定焦點(diǎn)位置原理Fig.1 Focus determination by measuring transmitted wavefront of defocus position

2 模擬仿真

2.1 單色系統(tǒng)

以一個(gè)單一材質(zhì)的單色系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。具體參數(shù)為F數(shù)1.5，入瞳直徑20 mm，焦距30 mm，波長范圍400 nm～1 000 nm，為方便數(shù)據(jù)采集分析選擇400 nm 作為主波長。鏡頭結(jié)構(gòu)圖和色焦移曲線如圖2所示。

圖2 單色系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與色焦移曲線Fig.2 Monochromatic system structure and chromatic focal shift curve

單色系統(tǒng)焦距隨波長的變化主要由材料折射率引起，單調(diào)的Zernike 系數(shù)-波長曲線可以使用Conrady公式[10]表示，與之相近單調(diào)的焦距-波長曲線也可使用Conrady公式表示成：

式中：Af、Bf、Cf分別為常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和波長項(xiàng)系數(shù)。選取530 nm、560 nm和720 nm的焦距-波長數(shù)據(jù)代入（1）式求解系數(shù)：

計(jì)算后得到單色系統(tǒng)的焦距-波長曲線的函數(shù)表達(dá)式為

圖3（a）為單色系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與求解的Conrady公式曲線對比結(jié)果，圖3（b）為曲線對比殘差圖。根據(jù)圖3（b）顯示，在400 nm～1 000 nm波段內(nèi)仿真和求解曲線焦距的最大絕對誤差為23.11 μm（λ=400 nm），相對誤差0.08%，求解曲線基本符合仿真曲線。由于單色系統(tǒng)的焦距-波長曲線均為類似的形狀，因此Conrady公式可用于表示單色系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關(guān)系。

圖3 單色系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線對比Fig.3 Comparison of focal length wavelength simulation curve for monochromatic system with Conrady formula solution curve

2.2 消色差系統(tǒng)

以雙高斯系統(tǒng)作為研究對象分析消色差系統(tǒng)的縱向色差。具體參數(shù)為F數(shù)2.5，焦距35 mm，波長范圍400 nm～1 000 nm，主波長400 nm，鏡頭結(jié)構(gòu)圖和色焦移曲線如圖4所示。

圖4 雙高斯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與色焦移曲線圖Fig.4 Double Gauss system structure and chromatic focal shift curve

消色差系統(tǒng)的色焦移曲線通常帶有一個(gè)拐點(diǎn)，選取530 nm，560 nm和630 nm的焦距-波長數(shù)據(jù)代入Conrady公式求解系數(shù)，得到雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線的函數(shù)表達(dá)式：

圖5（a）為雙高斯系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線的對比結(jié)果。當(dāng)波長范圍較大時(shí)，Conrady公式求解曲線會(huì)出現(xiàn)較大偏差，圖5（b）是仿真曲線與Conrady公式求解曲線的殘差圖。從圖5可以看出，在波長1 000 nm處仿真曲線和Conrady公式求解曲線的最大絕對誤差為47.47 μm，相對誤差為0.1349%。

為了使求解曲線與理想曲線更吻合，嘗試使用復(fù)消色差特性公式求解計(jì)算。復(fù)消色差特性公式是在Conrady公式基礎(chǔ)上拓展一個(gè)波長項(xiàng)后得到的。復(fù)消色差特性公式[12]為

式中：Af、Bf、Cf分別為常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和波長項(xiàng)系數(shù)，X1、X2、X3為冪級數(shù)系數(shù)。

通過調(diào)整冪級數(shù)系數(shù)可以將求解曲線逼近仿真曲線。冪級數(shù)系數(shù)共有3個(gè)，它們之間相互影響著曲線的特性，因此冪級數(shù)系數(shù)的選取并非是唯一的，它們存在著很多組合。本文主要在光學(xué)系統(tǒng)最常用的近紫外、可見光和近紅外波段范圍分析復(fù)消色差特性公式的冪級數(shù)系數(shù)的取值范圍。最初分析復(fù)消色差特性公式時(shí)通過手動(dòng)調(diào)節(jié)求解曲線的各項(xiàng)冪級數(shù)系數(shù)，然后與仿真曲線進(jìn)行對比，這種方法效率很低，同時(shí)很難窮舉確定3個(gè)冪級數(shù)系數(shù)。因此使用Matlab 編寫程序使得求解曲線在一定的冪級數(shù)系數(shù)范圍內(nèi)做循環(huán)運(yùn)算，然后計(jì)算其與仿真曲線的誤差大小。當(dāng)求解曲線與仿真曲線偏離較大時(shí)舍棄結(jié)果，當(dāng)求解曲線與仿真曲線偏離較小時(shí)則保留結(jié)果，冪級數(shù)系數(shù)范圍確定的流程如圖6所示。

圖5 雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線與Conrady公式求解曲線對比Fig.5 Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with Conrady formula solution curve

圖6 確定復(fù)消色差特性公式冪級數(shù)系數(shù)范圍流程圖Fig.6 Flow chart of determination of power series range for apochromatic characteristic formula

為了能夠獲得合適的冪級數(shù)系數(shù)范圍，根據(jù)前期手動(dòng)調(diào)節(jié)冪級數(shù)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，將（5）式中冪級數(shù)系數(shù)X1范圍設(shè)定為0.1～5，X2范圍設(shè)定為5.1～10，X3范圍設(shè)定為0.1～5，循環(huán)時(shí)每個(gè)系數(shù)的數(shù)據(jù)間隔為0.1，共進(jìn)行125 000次循環(huán)測試。在循環(huán)之前，設(shè)定合理的誤差對于保留曲線的冪級數(shù)系數(shù)結(jié)果來說十分重要，在400 nm～1 000 nm波段求解的復(fù)消色差特性曲線與仿真曲線的差異，可以采用絕對誤差和相對誤差兩種方式進(jìn)行評價(jià)。相對誤差在求解曲線的較短波段起到限制作用，絕對誤差在求解曲線較長波段起到限制作用，在這里針對雙高斯系統(tǒng)將絕對誤差設(shè)定在50 μm以內(nèi)，相對誤差設(shè)定在0.05%以內(nèi)。

滿足要求的待求解雙高斯系統(tǒng)復(fù)消色差特性公式為

將530 nm、630 nm、670 nm、720 nm處的焦距-波長數(shù)據(jù)代入（6）式求解，得到雙高斯系統(tǒng)焦距-波長曲線的復(fù)消色差特性公式：

圖7（a）是復(fù)消色差特性公式求解曲線與仿真曲線的對比結(jié)果，在400 nm～1 000 nm波段，兩者的最大絕對誤差為6.1 μm（λ=400 nm），相對誤差為0.02%，殘差圖如圖7（b）所示。由圖7可看出，相比Conrady公式，復(fù)消色差特性公式求解曲線幾乎與仿真曲線重合，因此復(fù)消色差特性公式能用于表示消色差系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關(guān)系。

2.3 復(fù)消色差系統(tǒng)

為了進(jìn)一步校正色差，復(fù)消色差光學(xué)系統(tǒng)通常需要使用特殊色散玻璃，因此復(fù)消色差系統(tǒng)的色焦移曲線比消色差系統(tǒng)更加復(fù)雜，圖8為復(fù)消色差望遠(yuǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和色焦移曲線圖。

復(fù)消色差系統(tǒng)的色焦移曲線具有2個(gè)拐點(diǎn)，而Conrady公式最多只能產(chǎn)生帶1個(gè)拐點(diǎn)的曲線，因此只能使用復(fù)消色差特性公式（5）描述其焦距-波長曲線。圖9（a）是求解復(fù)消色差特性公式曲線與仿真曲線的對比圖，圖9（b）是曲線殘差圖。根據(jù)圖9（b）可知，在400 nm～1 000 nm波段內(nèi)焦距的最大絕對誤差為1.1 μm（λ=400 nm），相對誤差小于0.01%。求解曲線與仿真曲線高度重合，此時(shí)選用的復(fù)消色差特性公式為

圖7 雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線與復(fù)消色差特性公式求解曲線對比Fig.7 Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with apochromatic characteristic formula solution curve

圖8 望遠(yuǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和色焦移曲線Fig.8 Telescopic system structure and chromatic focal shift curve

由于復(fù)消色差特性公式能描述帶2個(gè)拐點(diǎn)的曲線，因此可用于表示復(fù)消色差系統(tǒng)的縱向色差。

圖9 望遠(yuǎn)系統(tǒng)焦距-波長曲線與求解復(fù)消色差特性公式曲線對比Fig.9 Comparison of focal length-wavelength curve for telescopic system with apochromatic characteristic formula solution curve

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用波前Zernike 系數(shù)與位置呈線性關(guān)系的特點(diǎn)，使用菲索干涉儀測量單透鏡和雙膠合鏡頭在5個(gè)波長下的若干個(gè)離焦位置波前，然后確定各波長的焦點(diǎn)位置，再使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解得到被測系統(tǒng)在400 nm～1 000 nm波段的縱向色差曲線并進(jìn)行評估。

3.1 實(shí)驗(yàn)測量

根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理，選用5種波長的激光光源（532 nm、561 nm、632.8 nm、671 nm、721 nm）用于測量光學(xué)系統(tǒng)的透射波前Z3信息和焦點(diǎn)的位置變化，其中透射波前信息通過干涉儀測量后直接讀取，焦點(diǎn)的位置變化通過測微旋鈕的刻度讀取，精度為0.005 mm，實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示。首先校準(zhǔn)干涉儀的光軸與導(dǎo)軌，然后將球面反射鏡放置在五維支架托盤上，通過旋轉(zhuǎn)固定在導(dǎo)軌托盤上的測微旋鈕推動(dòng)五維支架前后移動(dòng)達(dá)到獲取焦點(diǎn)位置的目的，這樣球面反射鏡在前后移動(dòng)測量的過程中能夠與光軸盡可能保持一致，同時(shí)為減少回程誤差，測量每一組透射波前時(shí)球面鏡的移動(dòng)方向應(yīng)相同。在完成一組波長的透射波前和焦點(diǎn)位置記錄后需要在保證光學(xué)系統(tǒng)不變的前提下更換激光光源。圖10（b）是一個(gè)自制的光源調(diào)整臺，激光器安裝在該裝置上能夠調(diào)整X軸、Y軸位移以及傾斜，以便保證光軸不變。更換激光光源后，將剪切干涉儀放置在干涉儀的透射平面鏡和被測系統(tǒng)之間，如圖11(a)～11(e)所示，通過調(diào)整激光干涉儀的準(zhǔn)直透鏡位置保證各個(gè)波長的測試光束準(zhǔn)直。

圖10 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.10 Experimental device

圖11 使用剪切干涉儀對出射光束準(zhǔn)直Fig.11 Collimate optical path by using shear interferometer

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

因?yàn)閱紊到y(tǒng)的色焦移曲線形狀基本一致，根據(jù)實(shí)際條件選擇最簡單的單透鏡代表單色系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由于被測系統(tǒng)在不同波長測量時(shí)的焦點(diǎn)位置和焦深均不同，因此測量每一個(gè)波長透射波前的離焦位置及范圍略有不同。將5種波長的Z3系數(shù)和位置數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖12所示。

根據(jù)各離焦位置的Z3系數(shù)與位置的線性擬合計(jì)算出零離焦位置，這比直接通過干涉儀軟件測量零離焦時(shí)的位置更加精確，計(jì)算結(jié)果如表1所示。使用計(jì)算的后截距數(shù)據(jù)求解Conrady公式，獲得后截距-波長曲線，結(jié)果如圖13（a）所示。圖13（b）為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和求解曲線數(shù)據(jù)的殘差圖，實(shí)測532 nm和721 nm處后截距與求解曲線吻合，且求解曲線與仿真曲線基本一致，說明單色系統(tǒng)的縱向色差可以使用Conrady公式表示。

圖12 單色系統(tǒng)的Z3系數(shù)與位置曲線圖Fig.12 Curve of Z3coefficient for monochrome system and position

表1 計(jì)算得到各波長焦點(diǎn)位置數(shù)據(jù)Table1 Focal position data of each wavelength

圖13 Conrady公式求解的單透鏡后截距-波長曲線和數(shù)據(jù)殘差圖Fig.13 Conrady formula solution curve of single lens and residual curve

按照相同的方法測量雙膠合鏡頭的焦距位置，各波長近焦的Z3系數(shù)和離焦位置的擬合曲線如圖14所示。

通過擬合曲線計(jì)算得到零離焦時(shí)的焦點(diǎn)位置，結(jié)果如表2所示。分別使用采集數(shù)據(jù)求解Conrady公式和復(fù)消色差特性公式縱向色差曲線，結(jié)果如圖15所示。圖15（a）和15（c）中求解Conrady公式曲線與實(shí)測的671 nm數(shù)據(jù)點(diǎn)吻合，而與721 nm處的后截距數(shù)據(jù)有較明顯的偏離；圖15（b）和15（d）中求解復(fù)消色差特性公式曲線能與實(shí)測的721 nm后截距數(shù)據(jù)吻合，這與仿真時(shí)的結(jié)果一致。實(shí)驗(yàn)及計(jì)算結(jié)果表明，消色差系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關(guān)系在400 nm～1000 nm波段需要使用復(fù)消色差特性公式表示。

圖14 消色差系統(tǒng)Z3系數(shù)與位置的曲線圖Fig.14 Curve of Z3coefficient for achromatic system and position

表2 計(jì)算得到的各波長焦點(diǎn)位置Table2 Focal position of each wavelength

圖15 雙膠合透鏡的求解曲線Fig.15 Solution curve of double cemented lens

4 結(jié)論

焦距檢測常會(huì)因?yàn)椴ㄩL不匹配而引入色差，本文分析了光學(xué)系統(tǒng)縱向色差的變化規(guī)律，通過軟件模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)在400 nm～1 000 nm波段，單色系統(tǒng)的縱向色差曲線可使用大家熟知的Conrady公式有效表示，而運(yùn)用范圍更廣的消色差系統(tǒng)和復(fù)消色差系統(tǒng)的縱向色差曲線則需要使用復(fù)消色差特性公式表示，同時(shí)給出了復(fù)消色差特性公式冪級數(shù)系數(shù)范圍的選定方法。本文還提出了一種基于菲索干涉儀測量光學(xué)系統(tǒng)縱向色差曲線的方法，通過測量離焦位置的透射波前Z3系數(shù)確定各波長的焦點(diǎn)位置，利用離散數(shù)據(jù)求解模型公式后獲得400 nm～1 000 nm波段內(nèi)光學(xué)系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)曲線。本文的研究工作表明，Conrady公式和復(fù)消色差特性公式除了適用于光學(xué)系統(tǒng)Zernike 系數(shù)的變化規(guī)律外，還同樣適用于光學(xué)系統(tǒng)的縱向色差，這對于焦距的精確測量具有指導(dǎo)意義。