程 立， 李志純

(華中科技大學(xué)管理學(xué)院， 武漢 430074)

0 引 言

近年來(lái)，經(jīng)濟(jì)的迅速增長(zhǎng)和城市化進(jìn)程的加快促使我國(guó)城市人口規(guī)模不斷擴(kuò)大.以北京市為例，根據(jù)《北京市2017年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》[1]的數(shù)據(jù)，截至2017年年底，北京市常住人口為2 170.7萬(wàn)，比5年前(即2012年)增加約100萬(wàn)；全市機(jī)動(dòng)車保有量584.8萬(wàn)輛，2012年為520萬(wàn)輛，5年增加約65萬(wàn)輛.交通需求的迅猛增長(zhǎng)，給現(xiàn)有的交通基礎(chǔ)設(shè)施帶來(lái)了巨大壓力，交通供需不平衡的矛盾日益尖銳，城市交通擁擠和霧霾現(xiàn)象日趨嚴(yán)重，在一定程度上制約著城市經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展.

為應(yīng)對(duì)城市擴(kuò)張帶來(lái)的日益嚴(yán)峻的交通和環(huán)境問(wèn)題，地方政府大力發(fā)展城市軌道交通投資項(xiàng)目.例如，截至2017年年底，北京市開(kāi)通軌道交通線路22條，總里程達(dá)608 km，軌道交通線路網(wǎng)絡(luò)形成環(huán)形放射狀結(jié)構(gòu)，其中地鐵2號(hào)線和10號(hào)線為環(huán)形線路，里程分別為23.1 km和57.1 km.2017年12月，成都市開(kāi)通了地鐵7號(hào)線，是該市首條地鐵環(huán)線，全長(zhǎng)38.61 km.

軌道交通環(huán)線的投資建設(shè)對(duì)提高城市交通網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性水平有重要的作用，從而減少現(xiàn)有設(shè)施的交通壓力和環(huán)境污染，同時(shí)帶來(lái)周邊土地增值.但環(huán)線投資建設(shè)需要巨大的投資成本.例如，北京地鐵10號(hào)線每公里造價(jià)約5億元.如果投資的環(huán)線數(shù)目過(guò)多或位置不合理，環(huán)線的通行能力得不到充分利用，結(jié)果導(dǎo)致資源浪費(fèi).如果環(huán)線數(shù)目投資過(guò)少，則滿足不了日益增長(zhǎng)的交通需求，對(duì)緩解城區(qū)的交通壓力效果甚微.對(duì)環(huán)線投資成本和收益的權(quán)衡，提出了一些有趣而重要的問(wèn)題：一個(gè)城市應(yīng)當(dāng)建設(shè)多少條軌道交通環(huán)線最合理？環(huán)線應(yīng)建在什么位置？環(huán)線投資建設(shè)如何影響城市居民住宅選址和城市房?jī)r(jià)？本文將回答這些問(wèn)題.

文獻(xiàn)中，D’Este[2]研究了二維放射狀城市中通勤者的出行路徑選擇問(wèn)題.Wong[3]進(jìn)一步將D’Este提出的模型表示為數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題.Li等[4]研究了二維單中心城市放射狀主干道密度優(yōu)化問(wèn)題.Li和Wang[5]進(jìn)一步研究了多方式二維單中心放射狀城市系統(tǒng)均衡問(wèn)題，并對(duì)擁擠收費(fèi)和巴士服務(wù)進(jìn)行設(shè)計(jì).但這些研究考慮的是放射狀城市結(jié)構(gòu)，而沒(méi)有涉及到環(huán)路或環(huán)線投資優(yōu)化問(wèn)題.Saidi等[6]研究了二維環(huán)形放射狀城市的公交環(huán)線投資問(wèn)題，他們假設(shè)城市邊界是給定和固定的，人口均勻分布且城市完全對(duì)稱，也沒(méi)有考慮公交擁擠帶來(lái)的負(fù)效應(yīng)以及環(huán)線投資建設(shè)對(duì)城市居民重新分布和城市空間結(jié)構(gòu)(住房市場(chǎng))的影響.本文將放松這些假設(shè)，研究一般環(huán)形放射狀城市中軌道交通環(huán)線位置、環(huán)線數(shù)目和軌道交通線路車輛發(fā)車頻率聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，建立的模型可以內(nèi)生城市居民分布和住房市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，也考慮了軌道交通環(huán)線投資對(duì)城市居民重新分布和城市規(guī)模的外部性影響.

1 基本假設(shè)

為建立模型的需要，文中做如下假設(shè)：

A1假設(shè)城市系統(tǒng)是封閉單中心的，城市的總?cè)丝诮o定，所有的工作機(jī)會(huì)集中在中心商業(yè)區(qū)(CBD).假設(shè)現(xiàn)有的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)呈放射狀結(jié)構(gòu)，政府需要對(duì)環(huán)線投資進(jìn)行決策，所有的軌道交通環(huán)線是以CBD為中心的圓.假設(shè)城市所有土地由系統(tǒng)外的地主擁有，城市邊界上的土地價(jià)值等于土地的機(jī)會(huì)成本(即農(nóng)業(yè)地租).在城市經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，這些假設(shè)是最基本的假設(shè)，見(jiàn)文獻(xiàn)[7～10].

A2城市系統(tǒng)有4類參與者：政府、城市居民、地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商和通勤者.他們有各自的決策變量和目標(biāo)：政府優(yōu)化城市軌道交通環(huán)線的位置和數(shù)量、軌道交通發(fā)車頻率，以便實(shí)現(xiàn)城市系統(tǒng)社會(huì)福利最大化.地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商通過(guò)決策住房供應(yīng)量來(lái)最大化自己的凈利潤(rùn).假定所有的房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商通過(guò)柯布-道格拉斯函數(shù)來(lái)確定住房供應(yīng)量(見(jiàn)文獻(xiàn)[11, 12]).交通出行者(通勤者)選擇從居住地至CBD(工作地)的最短路線出行[13].

A3城市居民具有同質(zhì)屬性，即具有相同收入水平和效用函數(shù).假定家庭的收入用于三方面：住房消費(fèi)、非住房商品消費(fèi)和交通費(fèi)用.每個(gè)家庭在其收入約束下，通過(guò)選擇居住地位置、住房面積和非住房商品的消費(fèi)數(shù)量來(lái)最大化家庭的效用[7～10].

A4工作是一種強(qiáng)制性活動(dòng)，每個(gè)家庭的平均勞動(dòng)力數(shù)量外生給定，可以通過(guò)人口調(diào)查數(shù)據(jù)得到，文中用η表示.假定每位通勤者每天在居住地與CBD(工作地)之間往返一次.因此，每個(gè)家庭前往CBD的日均旅行次數(shù)為η.為敘述方便，不少相關(guān)研究假定每個(gè)家庭僅有一個(gè)勞動(dòng)力[14～16].

A5放射狀主干線和環(huán)線構(gòu)成城市軌道交通系統(tǒng)骨架，其通行能力大，承載大量的交通流量，具有擁擠效應(yīng).城市內(nèi)部為稠密的輔路，其通行速度低，交通量小，擁擠效應(yīng)可以忽略.

圖1 (x,θi)處居民的路線選擇Fig.1 Route choices of residents at (x,θi)

2 城市系統(tǒng)均衡

根據(jù)假設(shè)A2，城市系統(tǒng)中有4類參與者，即政府、居民、地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商和通勤者.這些參與者有各自的決策變量和目標(biāo)，這些決策不是獨(dú)立的，而是相互影響的，共同構(gòu)成相互作用、相互關(guān)聯(lián)的均衡問(wèn)題，包括通勤者出行路線選擇均衡、居民住宅區(qū)位選址均衡和住房市場(chǎng)供需均衡.

2.1 通勤者出行路線選擇均衡

2.1.1 出行成本

如圖1所示，使用極坐標(biāo)(x,θi)表示城市居民居住位置，其中i表示第i條徑向(或放射狀)軌道交通主干線，x表示位置(x,θi)到CBD的距離，θi表示該位置與主干線i之間的夾角.假設(shè)城市中已有MRAD條主干線(不一定均勻分布)，下標(biāo)“RAD”表示主干線(radial lines).政府計(jì)劃未來(lái)修建MRIN條軌道交通環(huán)線，下標(biāo)“RIN”表示環(huán)線(ring lines).通勤者從居住地(x,θi)出發(fā)前往CBD，有多條路線可供選擇：先沿圓弧到達(dá)主干線，然后沿主干線到達(dá)CBD；或者先到達(dá)緊鄰的環(huán)線，然后沿著環(huán)線到達(dá)主干線，最后沿著主干線到達(dá)CBD.對(duì)居住地(x,θi)的居民，有6條備選路線，見(jiàn)表1.

表1 從居住地(x,θi)到達(dá)CBD的備選路線集

為定義備選路線的旅行成本，先定義路段a至f′的旅行成本.注意到路段a、b、c和c′為輔路，由假設(shè)A5，輔路不擁擠，采用的交通工具為自行車或步行等慢行方式.令Ca(x,θi)、Cb(x,θi)、Cc(x,θi)和Cc′(x,φi-θi)分別為(x,θi)處的通勤者在路段a、b、c和c′的旅行成本，定義為

(1)

其中Rj為環(huán)線j的半徑，Vw為輔路上的旅行速度，α1為輔路旅行時(shí)間價(jià)值，φi為主干道i與i+1之間的夾角.

路段d為環(huán)線j上的路段，具有擁擠效應(yīng)，即隨著交通量的增加，旅行成本增加.令Cd,j(Rj,θi)為通勤者在路段d的旅行成本，由等車時(shí)間、車內(nèi)行駛時(shí)間和車內(nèi)擁擠成本構(gòu)成，表示為

(2)

其中fRIN, j為環(huán)線j的發(fā)車頻率，γ/fRIN, j為平均等車時(shí)間，γ為參數(shù).VRIN, j為環(huán)線j的車輛速度.α2為等車時(shí)間價(jià)值，α3為車內(nèi)時(shí)間價(jià)值.HRIN(Rj,θi)表示從位置(Rj,θi)沿環(huán)線j行駛距離Rjθi到達(dá)主干線i的車內(nèi)擁擠成本，α4為對(duì)應(yīng)的折算系數(shù).HRIN(Rj,θi)定義為

(3)

其中tRIN, j為環(huán)線j上車輛行駛單位距離的時(shí)間，Q(Rj,θi)為(Rj,θi)處的累積乘客數(shù).h(Q(Rj,θi))為(Rj,θi)處地鐵車內(nèi)單位時(shí)間的擁擠成本，定義為

(4)

其中δ1和δ2為常數(shù)，Cv為軌道交通車輛的容量.

類似地，可以定義環(huán)線j+1上路段e的旅行成本Ce, j+1(Rj+1,θi)，只要將Rj+1替代Cd,j(Rj,θi)中的Rj即可.此外，也可以定義環(huán)線j和j+1上路段d′和e′的旅行成本Cd′,j(Rj,φi-θi)和Ce′, j+1(Rj+1,φi-θi).只要將φi-θi替代Cd,j(Rj,θi)和Ce, j+1(Rj+1,θi)中的θi即可.

路段g為主干線i上的路段，具有擁擠效應(yīng).令Cg,i(x)為居住地(x,θi)的通勤者沿主干線i的路段g的旅行成本.它由等車時(shí)間、車內(nèi)行駛時(shí)間和車內(nèi)擁擠成本構(gòu)成，定義為

(5)

其中fRAD, i為主干線i的發(fā)車頻率，VRAD, i為主干線i的車輛速度.HRAD, i(x)為主干線i上距離CBD為x的位置到達(dá)CBD所承受的車內(nèi)擁擠成本，定義為

(6)

式中tRAD, i為主干線i上車輛行駛單位距離的時(shí)間，Qi(x)為主干線i上與CBD距離為x的位置的累積乘客數(shù).h(Qi(x))為主干線i上x(chóng)處地鐵車內(nèi)單位時(shí)間的擁擠成本，定義為

(7)

類似地，可以分別定義主干線i上路段f和h的旅行成本Cf,i(Rj)和Ch,i(Rj+1)，以及主線i+1上路段f′、g′和h′的旅行成本Cf′,i+1(Rj)、Cg′,i+1(x)和Ch′,i+1(Rj+1).

基于上述路段成本的定義和表1，備選路線1～路線6的旅行成本定義如下

(8)

為方便敘述，定義相鄰的主干線i和i+ 1，及相鄰的環(huán)線j和j+1圍成的區(qū)域?yàn)閕j.表2給出了出行成本關(guān)于θi和位置x的比較靜態(tài)分析.它表明：在區(qū)域ij內(nèi)，隨著與第i條主干線夾角θi

表2 出行成本的比較靜態(tài)分析

2.1.2 出行路線覆蓋區(qū)域

假定所有通勤者選擇出行成本最小的路線出行.令ψmin(x,θi)表示從位置(x,θi)到CBD的最小成本，即

ψmin(x,θi)=min{ψl(x,θi),l=1,…,6}

(9)

圖2 路線選擇均衡下的區(qū)域劃分

表3 路線選擇均衡條件

2.1.3 主干線和環(huán)線上任一位置的交通需求

定義q0(x,θi)為(x,θi)處每小時(shí)的潛在交通需求，η為每個(gè)家庭前往CBD的日均旅行次數(shù)，ξ為高峰時(shí)段交通量因子，即高峰時(shí)段的車流量占全天車流量的比例.q0(x,θi)可以表示為

q0(x,θi)=ξηn(x,θi)=λn(x,θi)

(10)

其中λ=ξη表示每個(gè)家庭在高峰時(shí)段前往CBD的平均出行次數(shù)，n(x,θi)為(x,θi)處的居住密度，即單位面積的家庭數(shù)量.

實(shí)際中，軌道交通需求依賴于軌道交通服務(wù)水平.為此，引入指數(shù)彈性需求函數(shù)

q(x,θi)=q0(x,θi)exp(-ωψmin(x,θi))

(11)

其中q(x,θi)為實(shí)際交通需求，ω為需求對(duì)軌道交通通勤費(fèi)用的敏感性參數(shù).

下面定義環(huán)線上的交通需求.令Q(Rj,θi)表示環(huán)線j上與主干線i夾角為θi的位置(Rj,θi)的交通需求.由圖1，(Rj,θi)可能落在d上，也可能落在d′上.若落在d上，由圖2，可知(Rj,θi)處的交通需求等于來(lái)自區(qū)域ij中的Iij和區(qū)域i(j-1)中的IIi(j-1)與θ≥θi共同構(gòu)成區(qū)域上的累積需求；若落在d′上，則(Rj,θi)處的交通需求等于來(lái)自區(qū)域ij中的IVij和區(qū)域i(j-1)中的Vi(j-1)與θ≤θi共同構(gòu)成區(qū)域上的累積需求.因此，Q(Rj,θi)可表示為

(12)

(13)

其中j=0表示CBD.Q(Rj,φi-1)表示相鄰區(qū)域IV(i-1)j和V(i-1)(j-1)通過(guò)環(huán)線j經(jīng)由主干線i到達(dá)CBD的累積需求.Q(Rj,0)表示相鄰區(qū)域Iij和IIi(j-1)通過(guò)環(huán)線j經(jīng)由主干線i到達(dá)CBD的累積需求.Q(Rj,φi-1)和Q(Rj,0)可分別通過(guò)令式(12)中的θi=φi-1和θi=0計(jì)算得到.

2.2 住房市場(chǎng)均衡

2.2.1 家庭住宅區(qū)位選址行為

假定家庭的效用函數(shù)為擬線性函數(shù)形式[17,18]，即

U(x,θi)=z(x,θi)+αlng(x,θi),α>0

(14)

其中U(x,θi)為(x,θi)處的家庭的效用函數(shù)，z(x,θi)為(x,θi)處的家庭的非住房商品消費(fèi)，其價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為1，g(x,θi)為(x,θi)處的家庭的住房消費(fèi).

由假設(shè)A3，每個(gè)家庭在其收入預(yù)算約束下，通過(guò)選擇居住地位置、住房面積和非住房商品的消費(fèi)來(lái)最大化家庭的效用.家庭效用最大化問(wèn)題可表示為

(15)

s.t.z(x,θi)+p(x,θi)g(x,θi)=Y-E(x,θi)

(16)

其中p(x,θi)為(x,θi)處的單位住房面積的房?jī)r(jià)，Y為家庭的年收入，E(x,θi)為(x,θi)處的家庭平均每年的交通費(fèi)用，表示為

E(x,θi)=2ρψmin(x,θi)

(17)

其中 系數(shù)“2”表示每天在(x,θi)與CBD之間的往返出行，ρ為家庭到達(dá)CBD的年均出行次數(shù).

在均衡態(tài)，城市所有家庭的效用相等.令u表示均衡態(tài)下居民的效用水平，有

u=z(x,θi)+αlng(x,θi)

=Y-E(x,θi)-α+αlng(x,θi)

(18)

由一階最優(yōu)性條件，可以將g(·)和p(·)表示為居民效用水平u的函數(shù)

(19)

上式表明住房?jī)r(jià)格隨著通勤費(fèi)用增加而降低，住房面積隨著通勤費(fèi)用增加而增加.

2.2.2 房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的住房開(kāi)發(fā)行為

由假設(shè)A2，地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商通過(guò)決策住房供給(或投資強(qiáng)度)來(lái)最大化自己的凈利潤(rùn).假定房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的住房生產(chǎn)服從柯布-道格拉斯函數(shù)，表示為

h(S(x,θi))=μ·(S(x,θi))b,0

(21)

其中h(S(x,θi))為(x,θi)處單位土地面積的住房供應(yīng)量，S(x,θi)為(x,θi)處單位土地面積投資的資金量(也稱為資金投資強(qiáng)度).μ和b為正的參數(shù).

地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的利潤(rùn)等于總的住房銷售收入減去獲得土地的資金成本和住房建設(shè)資金的機(jī)會(huì)成本.地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的利潤(rùn)最大化問(wèn)題可表示為

(r(x,θi)+kS(x,θi))

(22)

其中Λ(x,θi)為(x,θi)處地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商通過(guò)土地開(kāi)發(fā)獲得的凈利潤(rùn).r(x,θi)為(x,θi)處單位面積土地的價(jià)值，k為貨幣的利息率.

由一階最優(yōu)性條件，得到資金投資強(qiáng)度S也是效用水平u的函數(shù)，即

(23)

假定房地產(chǎn)市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，那么，均衡狀態(tài)下所有房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的凈利潤(rùn)為零，即Λ(x,θi)=0.因此，可得

r(x,θi)=μp(x,θi)(S(x,θi))b-kS(x,θi)

(24)

上式表明，隨著通勤費(fèi)用或貨幣利息率上升，資金投資強(qiáng)度和土地價(jià)值均下降，反之亦然.

2.2.3 住房供需均衡

住房供需均衡意味著城市每個(gè)位置的住房需求量等于該處住房供給量，表示為

h(S(x,θi,u))=n(x,θi)g(x,θi,u)

(25)

其中n(x,θi)為(x,θi)處的家庭居住密度.n(x,θi)可表示為

(26)

由假設(shè)A1，本文考慮的城市是一個(gè)封閉系統(tǒng)，意味著所有的居民在城市內(nèi)部，即

(27)

(28)

利用式(24)，式(28)可以重寫(xiě)為

(29)

n(0)→ψ(0)→n(1)→ψ(1)→…→(n*,ψ*)

(30)

其中ψ={ψmin(x,θi)}和n={n(x,θi)}表示均衡時(shí)的出行成本和居民密度向量.

3 環(huán)線投資社會(huì)福利最大化模型

政府通過(guò)對(duì)城市軌道交通環(huán)線數(shù)目和環(huán)線位置以及車輛發(fā)車頻率進(jìn)行決策，來(lái)最大化整個(gè)城市系統(tǒng)的社會(huì)福利.社會(huì)福利(SW)是城市系統(tǒng)中所有參與者凈收益的和，包括全部家庭的效用，土地?fù)碛姓邚姆康禺a(chǎn)開(kāi)發(fā)商手中獲得的土地租金總額，軌道交通票價(jià)總收入，減去環(huán)線投資總成本和軌道交通系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)成本.社會(huì)福利最大化問(wèn)題可表示為

(31)

其中 2ρ/η為通勤者每年從(x,θi)到CBD的往返次數(shù)，Qi(0)為每小時(shí)經(jīng)由主干線i到達(dá)CBD的總流量，Qi(0)/ξ為每天經(jīng)由主干線i到達(dá)CBD的總流量，y為軌道交通環(huán)線的使用年限.Φj為第j條環(huán)路的建設(shè)成本，定義為

Φj=γ1+γ2(2πRj)

(32)

其中γ1和γ2分別為環(huán)線建設(shè)成本中的固定和可變成本參數(shù).

Θi為軌道交通主干線i的運(yùn)營(yíng)成本，Θj為軌道交通環(huán)線j的運(yùn)營(yíng)成本，分別定義為

(33)

(34)

其中Li為主干線i的長(zhǎng)度，ζ1和ζ2分別為運(yùn)營(yíng)成本的固定和可變成本參數(shù).

模型(31)為一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，決策變量包括軌道交通環(huán)路數(shù)量、環(huán)路半徑(或位置)、軌道交通發(fā)車頻率.由于目標(biāo)函數(shù)是多維度、高度非線性，通常很難得到全局最優(yōu)解.本文采用Hooke-Jeeves方法來(lái)求解，它不需要目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，求解的基本思想是依次執(zhí)行探測(cè)性搜索和模式搜索.理論表明Hooke-Jeeves方法可以收斂于模型的最優(yōu)解[19].

為評(píng)價(jià)投資環(huán)線前后城市系統(tǒng)的性能，定義如下指標(biāo)

平均家庭居住密度=N/city area

平均家庭住房面積=

平均房?jī)r(jià)=

平均土地價(jià)值=

平均資金投資強(qiáng)度=

圖3 無(wú)環(huán)放射狀城市結(jié)構(gòu)Fig. 3 Radial city structure without ring rail line

4 算 例

如圖3所示，考慮一個(gè)4條主干線的城市,長(zhǎng)度Li分別為19.3 km，22.5 km，20.4 km和21.3 km.4條主干線之間的夾角分別為120°，80°，70°和90°，將城市劃分成4個(gè)扇形，顯然，該城市具有非對(duì)稱結(jié)構(gòu).為簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中所有的主干線、環(huán)線分別具有相同的旅行速度和車輛容量.模型參數(shù)的值見(jiàn)表4.

表4 算例輸入?yún)?shù)

圖4 投資的軌道交通環(huán)線數(shù)對(duì)社會(huì)福利的影響Fig. 4 The effect of the number of ring rail lines to be invested on social welfare

圖4給出了投資的軌道交通環(huán)線數(shù)對(duì)社會(huì)福利的影響.它表明隨著環(huán)線數(shù)增加，社會(huì)福利首先增加，然后下降，當(dāng)環(huán)線數(shù)為2時(shí)，社會(huì)福利的值達(dá)到最大，為6 775.8億元.因此，該城市投資的軌道交通環(huán)線最佳數(shù)目為2.表5給出了沒(méi)有環(huán)線和具有兩個(gè)環(huán)線的城市的最優(yōu)解.它表明環(huán)線1和環(huán)線2的最佳位置與CBD的距離分別為9.3 km和14.3 km.

圖5給出了投資環(huán)線前和投資兩個(gè)環(huán)線后居民的路線選擇分布，圖中區(qū)域S1表示直接到達(dá)CBD；區(qū)域S2表示先沿圓弧到達(dá)主干線，然后沿主干線到達(dá)CBD；區(qū)域S3和區(qū)域S4分別表示先到達(dá)環(huán)線1和環(huán)線2，然后通過(guò)環(huán)線到達(dá)主干線再到達(dá)CBD.比較圖5a和圖5b可以發(fā)現(xiàn)，投資環(huán)線前，通勤者只有兩種途徑到達(dá)CBD，居民集中分布在主干線兩側(cè).投資環(huán)線后，通勤者到達(dá)CBD的途徑多樣化，居民分布分散化，城市面積擴(kuò)大.

圖6(a)～圖6(d)和圖6(a′)～圖(d′)分別表示投資環(huán)線前后居住密度(家庭/km2)、房?jī)r(jià)(元/m2)、居民的住房面積(m2/家庭)以及資金投資強(qiáng)度(106元/km2)的分布.圖6(a)～圖6(d)表明，投資環(huán)線前，城市居住密度、房?jī)r(jià)和開(kāi)發(fā)商投資強(qiáng)度從CBD往城市外圍依次單調(diào)下降，家庭住房面積依次單調(diào)上升.但投資環(huán)線后，這種單調(diào)性被打破(如圖6(a′)～圖6(d′))，投資環(huán)線后，城市居住密度、房?jī)r(jià)和開(kāi)發(fā)商投資強(qiáng)度從CBD往城市外圍先下降，但在接近環(huán)線時(shí)這些指標(biāo)上升，在遠(yuǎn)離環(huán)線往城市外圍又開(kāi)始下降，從而在環(huán)線處形成“山峰”；家庭住房面積正好相反，先上升，在接近環(huán)線時(shí)下降，在遠(yuǎn)離環(huán)線往城市外圍又上升，結(jié)果在環(huán)線處形成“山谷”.

表5 無(wú)環(huán)和兩環(huán)下最優(yōu)解的比較

(a)投資環(huán)線前(a) Before investing ring rail lines (b)投資兩個(gè)環(huán)線后(b) After investing two ring rail lines

(a)

(c)

(a’)

(c’)

表6 無(wú)環(huán)和兩環(huán)下城市系統(tǒng)性能的比較

表6比較了投資環(huán)線前和投資兩個(gè)環(huán)線后城市系統(tǒng)的性能.可以看出：投資建設(shè)兩個(gè)環(huán)線后，整個(gè)城市的面積擴(kuò)張，城市平均居住密度下降，平均住房面積增加，平均房?jī)r(jià)下跌，平均土地價(jià)值隨之下降，從而地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商的平均資金投資強(qiáng)度也下降.結(jié)果，城市居民效用和總的社會(huì)福利增加.因此，環(huán)線投資建設(shè)將使得城市居民和整個(gè)城市系統(tǒng)均受益.

圖7 軌道交通線路造價(jià)對(duì)最優(yōu)環(huán)線數(shù)目的影響Fig. 7 The effect of rail line construction cost on the optimal number of ring rail lines

實(shí)際中，由于地質(zhì)條件的不同，不同城市軌道交通線路的造價(jià)γ2存在較大的差異，這對(duì)環(huán)線的投資建設(shè)可能帶來(lái)影響.圖7表明了軌道交通線路造價(jià)對(duì)最佳環(huán)線數(shù)目的影響.它表明：當(dāng)造價(jià)為每公里5億元時(shí)，建造的最佳環(huán)數(shù)為3條，當(dāng)造價(jià)為每公里6億元～8億元時(shí)，最佳的環(huán)線數(shù)為2條，當(dāng)造價(jià)在9億元以上時(shí)，最佳方案是建造1條環(huán)線.因此，在規(guī)劃軌道交通環(huán)線投資時(shí)，要因地制宜，充分考慮區(qū)域的實(shí)際情況，制定適合地方經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的軌道交通投資決策方案.

5 結(jié)束語(yǔ)

研究了城市軌道交通環(huán)線投資決策問(wèn)題，包括優(yōu)化環(huán)線位置、環(huán)線數(shù)量和發(fā)車頻率等.在分析城市系統(tǒng)中政府、城市居民、地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商和通勤者相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立了城市系統(tǒng)均衡模型，包括通勤者路線選擇均衡、居民住宅選址均衡、城市住房市場(chǎng)均衡.然后，建立了城市軌道交通環(huán)線投資決策模型，使得城市系統(tǒng)的社會(huì)福利最大.模型可以內(nèi)生確定城市居住密度、住房?jī)r(jià)格、家庭住房面積、土地價(jià)值、資金投資強(qiáng)度等.研究結(jié)果表明環(huán)線投資后整個(gè)城市面積擴(kuò)大，城市居住密度、房?jī)r(jià)和開(kāi)發(fā)商投資強(qiáng)度在環(huán)線處出現(xiàn)“山峰”，而家庭住房面積在環(huán)線處出現(xiàn)“山谷”.這在一定程度上解釋了實(shí)際中地鐵環(huán)線附近住房市場(chǎng)的變化規(guī)律.就城市平均性能而言，平均居住密度、平均房?jī)r(jià)、平均土地價(jià)值和平均投資強(qiáng)度下降，但平均住房面積增加.總體來(lái)說(shuō)，環(huán)線投資建設(shè)使得城市居民和整個(gè)城市系統(tǒng)均受益.

本研究主要針對(duì)單中心城市結(jié)構(gòu)和軌道交通方式，在進(jìn)一步研究中，可將其拓展到多中心城市結(jié)構(gòu)和多種競(jìng)爭(zhēng)的交通方式，包括私家車和公交車.文中提出的模型是確定性、靜態(tài)模型，適用于中長(zhǎng)期城市規(guī)劃和投資評(píng)價(jià)目的.實(shí)際中，存在各種隨機(jī)不確定性因素，而且城市人口規(guī)模在動(dòng)態(tài)發(fā)生變化，因此，進(jìn)一步研究中將考慮動(dòng)態(tài)、不確定性因素的影響.文中假定出行者總是選擇費(fèi)用最小的路線出行，近來(lái)的研究表明，在出行路線選擇中有必要考慮出行者的心理行為[20, 21]，這也是我們下一步的研究方向.此外，本文假定城市居民是同質(zhì)的，也沒(méi)有考慮企業(yè)選址行為和就業(yè)崗位等，未來(lái)研究中，將進(jìn)一步考慮城市居民的異質(zhì)性以及企業(yè)選址和就業(yè)崗位布局等問(wèn)題.