吳小康,SCHMID Robert，張 帆，張瑩冰，趙晉泉

(1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.墨爾本大學(xué)工程學(xué)院，澳大利亞 墨爾本 3010)

直流降壓變壓器因載流量大、易于控制以及響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)動(dòng)車供電、機(jī)械手臂控制和通信系統(tǒng)能源供給等領(lǐng)域[1]。目前直流降壓變壓器產(chǎn)業(yè)面臨的主要挑戰(zhàn)包括高控制精度需求下對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)無誤差、對瞬態(tài)響應(yīng)收斂速度快且無超調(diào)以及負(fù)載變化或環(huán)境干擾魯棒性等[2]。直流降壓變壓器控制方法主要有比例積分微分(PID)控制和狀態(tài)空間控制。

PID控制具有直接、程序簡單等優(yōu)點(diǎn)。周雪松等[3]為提高DC-DC變換器的抗擾性能，建立PID型滑?？刂破?，進(jìn)而推導(dǎo)出系統(tǒng)等效控制表達(dá)式。張巍等[4]使用模糊PID控制無刷直流電動(dòng)機(jī)，消除轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，削弱換相區(qū)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，提升電機(jī)運(yùn)行的魯棒性。PID控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵為對比例參數(shù)、積分參數(shù)和微分參數(shù)的選擇，這些決定了控制的整體效果。PID算法中參數(shù)的選擇和調(diào)整取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和喜好，科學(xué)的設(shè)計(jì)方法包括對PID算法進(jìn)行頻域變換和分析[5]。

狀態(tài)空間控制在拓展性方面具有優(yōu)勢，系統(tǒng)被抽象為一個(gè)矩陣后可以用數(shù)學(xué)的方法計(jì)算出控制向量對被控制系統(tǒng)的影響[5-6]。Glady 等[7]在POESLLC直流變壓器上設(shè)計(jì)了一種補(bǔ)償器和PID控制器進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)與PID控制器相比，補(bǔ)償器可以提供更快的收斂速度。

筆者基于Schmid等[8-10]推導(dǎo)出的計(jì)算控制向量參數(shù)NOUS (non-overshooting and non-undershooting) 算法，設(shè)計(jì)了基于NOUS算法的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)(以下簡稱NOUS控制系統(tǒng))，將該控制系統(tǒng)應(yīng)用于直流降壓變壓器上，并設(shè)計(jì)PID控制系統(tǒng)與之進(jìn)行對比，擬為尋找一種更加優(yōu)越的直流降壓變壓器控制系統(tǒng)方案提供參考。

圖1 直流降壓變壓器電路Fig.1 Circuit of DC-DC buck converter

1 直流降壓變壓器設(shè)計(jì)和建模

標(biāo)準(zhǔn)的直流降壓變壓器電路[11]見圖1,圖中Vg為電源輸入電壓，RC為電容內(nèi)阻，C為電容，RL為電感內(nèi)阻，L為電感，R為電阻，Vcontrol為方波控制電壓。

分析圖1中的電路模型，可得脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation， PWM)占空比d到輸出電壓Vout在頻域s上的傳遞函數(shù)Gp[2，5]為

(1)

用現(xiàn)代控制理論分析電路可得狀態(tài)空間模型(式(2)):

(2)

式中：Vload——負(fù)荷兩端電壓。

采用美國食品與藥品管理局（FDA）有關(guān)口服固體藥物利用度和生物等效性研究指南中推薦使用的 f2相似因子法［9‐10］來評價(jià)自研藥（受試藥品）與原研藥（對照藥品）體外溶出曲線的相似性，以考察其內(nèi)在質(zhì)量的差異。f2計(jì)算公式如下：

根據(jù)式(2)，定義A、B、C、D矩陣分別為

2 3種控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 NOUS控制系統(tǒng)和使用觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

2.1.1NOUS算法

對于一個(gè)有p個(gè)極點(diǎn)的n階系統(tǒng)，Moore設(shè)計(jì)了一種根據(jù)計(jì)算特征向量集V={v1,v2,...,vn},(vi∈Rn)和W={w1,w2,...,wn},(wi∈Rp)計(jì)算控制向量F=WV-1的計(jì)算方法[12]。構(gòu)建Rosenbrock矩陣方程[13]：

(3)

式中：I——單位矩陣；λi——系統(tǒng)的特征值，每個(gè)特征值對應(yīng)一個(gè)向量si，對于i=1,2,...,n-p,λi應(yīng)等于系統(tǒng)的零點(diǎn)zi,對應(yīng)的si為零矩陣。

Robert在此基礎(chǔ)上提出了一種設(shè)計(jì)方法，在數(shù)學(xué)上證明了他的方法可以實(shí)現(xiàn)無超調(diào)控制，并命名其為NOUS控制：對于式(3)中i=n-p+1,…,n，λi可以隨意選擇，si=In-p+i。定義當(dāng)前狀態(tài)向量x(t)和穩(wěn)態(tài)狀態(tài)向量xss的差為ζ(t)=x(t)-xss，并定義變量α=[α1,α2,…,αn]T=V-1ζ(0)，根據(jù)選擇的特征值λi計(jì)算α，當(dāng)α滿足判據(jù)時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)無超調(diào)[8-10]。

2.1.2NOUS控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

將式(2)中A、B、C、D矩陣代入式(3)，根據(jù)選擇的特征值(λ1,λ2)，可求得特征向量集V，據(jù)此算出α。對于二階系統(tǒng)的NOUS算法，無超調(diào)的判據(jù)為(α1+α2)α2>0。如果選擇的向量組不滿足判據(jù)，則嘗試下一組特征值。找到滿足條件的特征值后可計(jì)算降壓變壓器的控制向量F, 并算出反饋向量參數(shù)[8]。NOUS算法程序的流程見圖2。

圖2 NOUS算法程序的流程Fig.2 Flow chart of NOUS algorithm

在完成NOUS算法程序的基礎(chǔ)上，用傳感器測量電路中的參數(shù)變化，并據(jù)此更新NOUS算法控制器的參數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)因負(fù)荷變化或擾動(dòng)等原因系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，該控制器的控制效果保持一致。

2.1.3 使用觀測器的NOUS控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

觀測器是在狀態(tài)空間控制器基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的附加控制系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的一些狀態(tài)參數(shù)受環(huán)境條件或是成本限制等因素影響難以得到測量，使用觀測器可以通過數(shù)學(xué)方法代替對部分參數(shù)的測量[5-6]。對于直流降壓變壓器，減去電流傳感器可以為原型機(jī)減少約20%的成本。而實(shí)際產(chǎn)品中一般不需要配置開發(fā)板的單片機(jī)，因此不用電流傳感器減少的成本會(huì)高于20%。通過添加觀測器，可以減去這部分成本。

(4)

式中：G——觀測器反饋增益；u——控制輸入。

一般情況下，選擇觀測器的特征值使其收斂速度比閉環(huán)控制系統(tǒng)快2～6倍較為合適[6，14-15]。選定觀測器特征值后可以計(jì)算得觀測器反饋增益G。

2.2 PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)PID控制系統(tǒng)目的是作為NOUS控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)對照組在直流降壓變壓器原型機(jī)上運(yùn)行。PID控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)為擁有盡可能短的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間，使瞬態(tài)響應(yīng)無超調(diào)和具有魯棒性[16-17]。本文用波特圖進(jìn)行PID控制系統(tǒng)參數(shù)選擇。

標(biāo)準(zhǔn)PID控制的傳遞函數(shù)為[5]

(5)

式中：Kp、KI、KD——PID控制比例、積分、微分參數(shù)；K——傳遞函數(shù)的放大系數(shù)；Z1、Z2——傳遞函數(shù)的2個(gè)零點(diǎn)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)正相關(guān)于式(1)(5)之積：

T(s)∝GP(s)GPID(s)

經(jīng)過在波特圖上繪制T(s)，選擇Z1=0.1，Z2=10-6可以使150 Hz以上幅頻降低以消除噪音；選擇K=1.86，可以使階躍響應(yīng)無超調(diào)并獲得最短的達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間。綜上，PID控制系統(tǒng)的3個(gè)參數(shù)分別為KP= 0.186、KI= 1.86、KD=1.86×10-7。

3 3種直流降壓變壓器控制系統(tǒng)性能對比

分別從階躍響應(yīng)、魯棒性對PID控制系統(tǒng)、NOUS控制系統(tǒng)和含觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的直流降壓變壓器控制性能進(jìn)行對比。

3.1 階躍響應(yīng)測試

階躍響應(yīng)測試主要考察電路控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應(yīng)的特性。根據(jù)應(yīng)用的需要，會(huì)對瞬態(tài)響應(yīng)的特性有各種要求，最常見的包括收斂速度快、無超調(diào)等。本文定義成功的降壓變壓器的階躍響應(yīng)具有的特征為：(a)10 V以階躍響應(yīng)內(nèi)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1 V；(b)收斂到允許誤差以內(nèi)的時(shí)間短于20 ms；(c)瞬態(tài)響應(yīng)無超調(diào)。0～6 V的階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)中輸出電壓在示波器上的對比結(jié)果見圖3、表1。

圖3 3種控制系統(tǒng)下降壓變壓器0～6 V階躍響應(yīng)在示波器上的結(jié)果Fig.3 0-6 V step response of the buck converter with 3 controllers on oscilloscope

表1 3種控制系統(tǒng)下變壓器0～6 V階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3中可看出：從穩(wěn)態(tài)誤差的角度考察，NOUS控制系統(tǒng)、帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)都能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1 V；從收斂速度的角度考察，NOUS控制系統(tǒng)收斂速度最快，帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)其次，PID控制系統(tǒng)收斂速度較慢；從超調(diào)的角度考察，PID控制系統(tǒng)和NOUS控制系統(tǒng)都如設(shè)計(jì)預(yù)想一樣，實(shí)現(xiàn)了瞬態(tài)響應(yīng)無超調(diào)，帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)具有超調(diào)。

NOUS控制系統(tǒng)在階躍響應(yīng)中展現(xiàn)出優(yōu)越性，它擁有更小的穩(wěn)態(tài)誤差，更快的收斂速度。而加入觀測器的NOUS控制系統(tǒng)表現(xiàn)不佳，它的穩(wěn)態(tài)誤差較大并且階躍響應(yīng)有超調(diào)，和原本設(shè)計(jì)的意圖不符，但在收斂速度上仍然優(yōu)于PID控制系統(tǒng)。

狀態(tài)空間控制需要非常精確的建模才能保證控制結(jié)果符合預(yù)期，在反饋信息充足的情況下，系統(tǒng)可以修正有限的誤差，但是使用觀測器的情況下，用計(jì)算代替一部分反饋向量的信息，導(dǎo)致誤差被放大。而用相同的系統(tǒng)參數(shù)在MATLAB的仿真中NOUS控制系統(tǒng)和帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)幾乎完全一樣，僅控制信號(hào)波形有些許不同，可見觀測器會(huì)導(dǎo)致建模誤差放大，使得控制效果與預(yù)期有差別。

3.2 魯棒性測試

圖4 負(fù)載電阻從21 Ω跳變?yōu)?.5 Ω時(shí)2種控制方法下變壓器瞬態(tài)響應(yīng)Fig.4 Transient response of the converter with 2 controllers when load changes from 21 Ω to 4.5 Ω

負(fù)載電路中加一個(gè)開關(guān)可以使負(fù)載電阻在4.5 Ω和21 Ω之間切換，本文將以此測試系統(tǒng)的魯棒性。狀態(tài)空間控制方法需要所有準(zhǔn)確的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行建模，包括負(fù)載電阻，所以當(dāng)切換負(fù)載電阻的時(shí)候，控制方法也需要進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。本文中NOUS控制系統(tǒng)的算法，包括根據(jù)NOUS判據(jù)尋找符合條件的極點(diǎn)程序都被翻譯成C語言寫入單片機(jī)使其能夠檢測負(fù)載電阻的變化并在線更新控制器算法。檢測負(fù)載電阻需要對電流進(jìn)行測量，而觀測器的價(jià)值就在于代替電感電流測量，所以這里不加入魯棒性測試對比。實(shí)驗(yàn)分別記錄了NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)在電阻從21 Ω突變到4.5 Ω時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)，結(jié)果如圖4所示。

圖4中，PID控制系統(tǒng)下直流降壓變壓器重新回到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間為8.1ms，NOUS控制系統(tǒng)下直流降壓變壓器重新回到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間為22.4 ms，證明了PID控制系統(tǒng)優(yōu)越的魯棒性。而狀態(tài)空間控制下每次系統(tǒng)的變化都需要對控制程序進(jìn)行重新計(jì)算，從檢測到參數(shù)變化到計(jì)算出新的控制向量所花的時(shí)間以及這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的較大輸出偏差，導(dǎo)致其魯棒性不如PID控制。

4 結(jié) 語

a. 基于狀態(tài)空間控制的NOUS控制系統(tǒng)具有最優(yōu)秀的瞬態(tài)響應(yīng)和收斂速度。在設(shè)定值頻繁變化，并且對控制的速度和精度有較高要求的時(shí)候，是更優(yōu)越的控制方法。但是基于狀態(tài)空間的算法需要對被控制系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的建模，這意味著系統(tǒng)中參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致控制失效，不具備魯棒性。因?yàn)闋顟B(tài)空間控制的極點(diǎn)選擇和控制效果均可量化，在NOUS算法中表現(xiàn)為滿足一定判據(jù)下可保證瞬態(tài)響應(yīng)的無超調(diào)，所以可以把控制程序的設(shè)計(jì)步驟寫入單片機(jī)，讓系統(tǒng)自行檢查系統(tǒng)中參數(shù)的變化實(shí)時(shí)更新控制算法，實(shí)現(xiàn)魯棒性。

b. 使用NOUS控制系統(tǒng)的直流降壓變壓器有成本較高的缺點(diǎn)，因?yàn)闋顟B(tài)空間算法需要更多的反饋參數(shù)，在直流降壓變壓器中表現(xiàn)為額外的電流傳感器的成本。但這個(gè)缺點(diǎn)可以通過設(shè)計(jì)觀測器來彌補(bǔ)。帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)仍保留了收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)建模中的誤差被放大，影響輸出結(jié)果。

c. PID控制系統(tǒng)在收斂速度和瞬態(tài)響應(yīng)的波形均不如NOUS控制系統(tǒng)，但是具有程序簡潔、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)使PID控制系統(tǒng)在現(xiàn)代工業(yè)控制中最為常用。

d. NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)各有優(yōu)劣，在處理頻繁的設(shè)定值變化時(shí)應(yīng)選擇NOUS控制系統(tǒng)；在系統(tǒng)無法精確建模，或系統(tǒng)模型需要持續(xù)變化時(shí)，PID控制系統(tǒng)是更好的選擇。

NOUS控制算法在直流降壓變壓器控制上的應(yīng)用僅僅是一種簡單應(yīng)用，它可以處理更高階的復(fù)雜系統(tǒng)[9]。在復(fù)雜系統(tǒng)中，基于狀態(tài)空間的控制算法更具價(jià)值和意義[18]。未來的研究可以著眼于更復(fù)雜的控制系統(tǒng)，如風(fēng)電機(jī)控制、自動(dòng)駕駛等，NOUS控制系統(tǒng)無超調(diào)的特性使其在這些領(lǐng)域會(huì)有更加具體和重要的意義。