曾慶榮，李鵬飛，季袁冬，羅懋康,

(1.四川大學(xué)空天科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610064； 2 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 610064)

1 引 言

群體運(yùn)動(dòng)的概念來自于鴿群、魚群等生物群體的自組織行為.在群體內(nèi)部，個(gè)體通過局部信息和簡單作用規(guī)則即可達(dá)到整個(gè)群體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致，并表現(xiàn)出分布式、自適應(yīng)、魯棒性等特點(diǎn).

通過對群體運(yùn)動(dòng)過程中個(gè)體的速度、位置以及個(gè)體間的相互作用進(jìn)行描述，Vicsek等[1]首次建立數(shù)學(xué)模型描述了群體運(yùn)動(dòng)的形成機(jī)理.在此基礎(chǔ)上，Cucker和Smale[2]提出了Cucker-Smale模型,該模型可以作為控制方案應(yīng)用于無人機(jī)集群飛行及機(jī)器人編隊(duì)控制等工程領(lǐng)域.傳統(tǒng)的Cucker-Smale模型為[3]：

(1)

權(quán)函數(shù)

(2)

在文獻(xiàn)[2-3]中，作者證明：當(dāng)β<1/2時(shí)，群體內(nèi)個(gè)體間的速度差將無條件收斂，群體內(nèi)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)達(dá)到一致；當(dāng)β≥1/2時(shí)，這種收斂只在一定的群體初始條件下才成立.近年來，研究人員對Cucker-Smale模型提出了多種改進(jìn)，以適應(yīng)考慮噪聲、時(shí)延及避免碰撞等應(yīng)用場景.其中，Cucker和Dong等研究了受噪聲和時(shí)延影響的改進(jìn)模型，給出了發(fā)生群聚的閾值條件[4-7]，并提出了避免碰撞的模型，在原始模型中添加了一項(xiàng)排斥力[8].也有研究人員在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上對避免碰撞的模型做了進(jìn)一步的改進(jìn)[9-15]，如Shen將等級(jí)制度引入模型，并研究其收斂結(jié)果[16].之后，研究人員又對加入了等級(jí)制度的模型進(jìn)行了進(jìn)一步的研究[17-18].另一方面，對于群體中個(gè)體間鄰域問題的描述，Martin和Cucker等研究了引入拓?fù)渥饔绵徲虻腃ucker-Smale模型，給出了發(fā)生群聚的條件[19-20].

在自然狀態(tài)下，生物群體在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)整體性地朝向目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，即具有一定目標(biāo)趨向性.同樣，在工程應(yīng)用中，無人機(jī)群或機(jī)器人群體也可能需要朝預(yù)定的目標(biāo)運(yùn)動(dòng).然而，目前各種Cucker-Smale群體模型慮及群體目的的較少，大多僅描述群體內(nèi)所有個(gè)體問的“協(xié)調(diào)”，即群體內(nèi)部所有個(gè)體協(xié)調(diào)一致地運(yùn)動(dòng)且未發(fā)生矛盾，而不考慮描述群體內(nèi)所有個(gè)體的“協(xié)同”，即群體內(nèi)部所有個(gè)體協(xié)調(diào)地實(shí)現(xiàn)一定的目的.本文將引入考慮了目標(biāo)趨向性和幾何鄰域的Cucker-Smale增強(qiáng)模型及其效用評價(jià)效有函數(shù)，對該模型趨向群體目標(biāo)的效用及目標(biāo)趨向作用的引入對速度匹配等群體目標(biāo)的影響進(jìn)行仿真.

2 模 型

考慮速度匹配、避免碰撞、群體聚集及趨向目標(biāo)這四個(gè)群體目標(biāo)，我們建立如下模型：

(3)

其中xi和vi分別表示個(gè)體i在時(shí)刻t的位置和速度，x*表示群體目標(biāo)的位置，Ν為群體個(gè)體構(gòu)成的集合，Γi為個(gè)體i幾何鄰域內(nèi)個(gè)體的集合，|Γi|為鄰域集合內(nèi)個(gè)體數(shù)目.

在式(3)中，加速度的第一項(xiàng)為速度匹配項(xiàng)，模型通過該項(xiàng)實(shí)現(xiàn)速度匹配的群體目的，其中權(quán)重aij(x)由(2)式定義.速度匹配項(xiàng)通過與鄰域內(nèi)其余個(gè)體的速度差來調(diào)整自身加速度，實(shí)現(xiàn)速度匹配.

加速度的第二項(xiàng)為個(gè)體間作用項(xiàng)，模型通過該項(xiàng)實(shí)現(xiàn)避免碰撞以及群體聚集的群體目的，其中個(gè)體作用函數(shù)f(‖Δxij‖)的定義為

‖Δxij‖=‖xi(t)-xj(t)‖為個(gè)體間距r，d0為群體個(gè)體間的最小安全距離，D0為排斥作用的最大距離，Γi為個(gè)體i幾何鄰域內(nèi)個(gè)體的集合，Ωi為鄰域外個(gè)體的集合.

個(gè)體作用函數(shù)可分為鄰域內(nèi)和鄰域外兩個(gè)部分.當(dāng)鄰域內(nèi)個(gè)體間距d0D0時(shí)，個(gè)體受到吸引作用，個(gè)體間距越大，吸引作用越強(qiáng).此外，處于個(gè)體i鄰域外的個(gè)體對其有微弱的吸引作用，以避免“分群”現(xiàn)象的發(fā)生.

加速度的第三項(xiàng)為目標(biāo)趨向作用項(xiàng)，模型通過該項(xiàng)實(shí)現(xiàn)趨向目標(biāo)的群體目的，其中的吸引作用函數(shù)g(‖x*-xi(t)‖)定義為

g(r)=k4r-α

(5)

其中α>0為比例系數(shù)，調(diào)整α的大小可以調(diào)整目標(biāo)趨向作用函數(shù)的形狀，k4為目標(biāo)趨向作用權(quán)重系數(shù)，調(diào)整k4的大小可以描述不同強(qiáng)度的目標(biāo)趨向作用.目標(biāo)趨向作用項(xiàng)通過將“引力”勢函數(shù)加入到群體內(nèi)單個(gè)個(gè)體的加速度項(xiàng)中，使得群體的運(yùn)動(dòng)受到一個(gè)整體的牽引作用，以描述群體運(yùn)動(dòng)趨向預(yù)定目標(biāo)的目的.

為定量分析模型效能，我們需要建立效能函數(shù).為實(shí)現(xiàn)速度匹配、群體聚集、避免碰撞及趨向目標(biāo)這四個(gè)目標(biāo)，在不同初始條件以及不同參數(shù)設(shè)置下，模型對幾個(gè)群體目的的實(shí)現(xiàn)情況各不相同.

下面我們給出速度匹配差、群體離散度、碰撞個(gè)體數(shù)及目標(biāo)偏離角等四個(gè)指標(biāo)：

ψ3=Ncrash,

ψ4=arg(vcg,x0-xcg)，

其中，N為群體內(nèi)個(gè)體數(shù)目，Ncrash為碰撞個(gè)體數(shù)目，x0為群體目標(biāo)點(diǎn)的位置，vcg為群體的重心速度，xcg為群體重心位置，定義為

(6)

速度匹配差ψ1刻畫了運(yùn)動(dòng)過程中群體速度的匹配程度，取值越小說明群體速度匹配程度越高，ψ1=0即意味著群體速度實(shí)現(xiàn)了完全匹配.

群體離散度ψ2刻畫了運(yùn)動(dòng)過程中群體的聚合程度，取值越小意味著個(gè)體間距越小，群體聚集效果越好.如果群體最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，則群體離散度變化曲線收斂到某一穩(wěn)定值.

碰撞個(gè)體數(shù)ψ3為群體運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生碰撞的個(gè)體數(shù)量.當(dāng)碰撞個(gè)體數(shù)為0時(shí)，群體就達(dá)到了避免碰撞的目的.

目標(biāo)偏離角指標(biāo)ψ4刻畫了群體趨向目標(biāo)的程度，其取值越接近0意味著群體朝向目標(biāo)的誤差越小.

3 仿 真

仿真的初始條件設(shè)置為：群體內(nèi)個(gè)體數(shù)為100，均勻隨機(jī)分布在200 m×200 m的平面空間內(nèi)；每個(gè)個(gè)體初始速度大小范圍為10～20 m/s，初始速度方向分布范圍為-45°～45°；群體目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置為距群體初始分布中心10 km處；群體內(nèi)個(gè)體間最小間距為3 m，個(gè)體間距離小于3 m視為發(fā)生了碰撞.在仿真中，群體模型內(nèi)除目標(biāo)趨向作用權(quán)重之外的各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置為：速度匹配權(quán)函數(shù)參數(shù)H=100，β=0.4；鄰域內(nèi)作用函數(shù)參數(shù)k1=1 000，k2=200，θ1=θ2=0.1；鄰域外作用函數(shù)參數(shù)k3=0.5，θ3=0.3；目標(biāo)趨向作用函數(shù)參數(shù)α=0.1.在所有仿真中，時(shí)長均為100 s.為避免隨機(jī)初始分布對結(jié)果造成影響，每次仿真均隨機(jī)取值重復(fù)進(jìn)行200次取平均值.

圖1給出了不同k4取值下和2～12 s時(shí)間段內(nèi)的目標(biāo)偏離角函數(shù)，以及k4從1到100變化時(shí)目標(biāo)偏離角函數(shù)最后10 s的收斂均值.

圖1 不同目標(biāo)趨向作用權(quán)重下的目標(biāo)偏離角曲線(a) 目標(biāo)偏離角曲線；(b)目標(biāo)偏離角曲線的局部放大； (c) 目標(biāo)偏離角曲線的最終收斂值Fig.1 Target deviation angle curve at different weight of target directed interaction(a) The target deviation angle curve; (b) partiall enlarged view of the target deviation angle curve; (c) finall convergence value of the target deviation angle

表1 不同目標(biāo)趨向作用權(quán)重下的碰撞個(gè)體數(shù)以及群體穩(wěn)定時(shí)間Tab.1 Collision number and group stability time at different weight of target directed interaction

圖1(a)顯示，在各項(xiàng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重下，目標(biāo)偏離角整體上有明顯的收斂趨勢.當(dāng)k4大于一定值時(shí)，在群體運(yùn)動(dòng)了40 s左右時(shí)群體的目標(biāo)偏離角均收斂到0附近.這說明群體在一定目標(biāo)趨向作用權(quán)重下已實(shí)現(xiàn)了趨向目標(biāo)的群體目的.同時(shí)，從圖1(b)可以看出，隨著目標(biāo)趨向作用權(quán)重的增加，群目標(biāo)偏離角的收斂速度加快.從圖1(c)可以看出，隨著目標(biāo)趨向作用權(quán)重的增加，目標(biāo)偏離角指標(biāo)的最終收斂值逐漸減小.當(dāng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重大于30時(shí)，該指標(biāo)的最終值下降至0附近.這說明當(dāng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重越大時(shí)，趨向目標(biāo)的群體目的效果越好.

我們通過仿真得到碰撞個(gè)體數(shù)，速度匹配差，群體離散度及群體穩(wěn)定時(shí)間等，進(jìn)而分析引入了目標(biāo)趨向作用權(quán)重之后的影響.

表1給出了當(dāng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重k4在10到100范圍內(nèi)碰撞個(gè)體數(shù)指標(biāo)以及群體穩(wěn)定時(shí)間的變化，其中穩(wěn)定時(shí)間定義為當(dāng)群體的速度匹配差指標(biāo)下降至一定閾值條件以下時(shí)所需的時(shí)間.這里我們?nèi)￠撝禐?.1.可以看出，在各個(gè)權(quán)重下群體在運(yùn)動(dòng)過程中均沒有發(fā)生碰撞.這說明目標(biāo)趨向作用的引入對于群體內(nèi)部避撞的功能沒有影響.隨著目標(biāo)趨向作用權(quán)重的增大，群體的穩(wěn)定時(shí)間呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.當(dāng)權(quán)重較小即k4<40時(shí)，群體在仿真的100 s時(shí)長內(nèi)均沒有達(dá)到群體穩(wěn)定時(shí)所需的閾值條件.當(dāng)權(quán)重4060時(shí)，由于離散仿真有可能造成在一個(gè)步長內(nèi)個(gè)體會(huì)受到過大的目標(biāo)吸引力而調(diào)整過大，進(jìn)而使得個(gè)體在一個(gè)步長內(nèi)來回抖動(dòng)，導(dǎo)致穩(wěn)定時(shí)間隨著權(quán)重的增加而增大，因而目標(biāo)趨向作用權(quán)重也不宜取得過大.群體要達(dá)到一致狀態(tài)，首先要使群體的速度匹配差指標(biāo)在一定時(shí)間內(nèi)下降至閾值以下，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).因此，群體穩(wěn)定時(shí)間的要求需要優(yōu)先判斷.在穩(wěn)定時(shí)間滿足要求的前提下再考慮群體離散度以及目標(biāo)偏離角的需求.從表1中可以得到，群體的目標(biāo)趨向作用權(quán)重應(yīng)大于30才能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

圖2顯示了不同k4取值下速度匹配差隨時(shí)間的變化以及k4在1到100范圍內(nèi)速度匹配指標(biāo)最終的收斂均值.

圖2 不同目標(biāo)趨向作用權(quán)重下的速度匹配差曲線(a) 速度匹配差曲線；(b) 曲線的局部放大； (c) 速度匹配差的最終收斂值曲線Fig.2 Speed matching difference curve at different weight of target directed interaction

(a) Speed matching difference curve; (b) partially enlarged view of the speed matching difference curve; (c) finally convergence value of the speed matching difference curve

圖2(a)顯示，在各項(xiàng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重下群體的速度匹配差均有明顯收斂到0附近的過程.這說明群體均能很快實(shí)現(xiàn)內(nèi)部個(gè)體間速度的一致.同時(shí)，在運(yùn)動(dòng)過程中速度匹配差指標(biāo)有一個(gè)明顯的波動(dòng).這是因?yàn)樵谌后w運(yùn)動(dòng)初期，群體前端的個(gè)體會(huì)受到吸引作用而先有一個(gè)減速的效果，使得速度匹配差增大，之后再由于速度匹配作用而減小.由于目標(biāo)趨向作用會(huì)阻礙群體內(nèi)個(gè)體間的吸引作用，我們可以看到，隨著目標(biāo)趨向作用權(quán)重的增加，速度匹配差曲線的波動(dòng)越小，從而更容易實(shí)現(xiàn)群體內(nèi)個(gè)體間速度的一致.從圖2(b)可以看到,當(dāng)k4不同取值時(shí)，速度匹配差最終收斂值也不同.從圖2(c)可以看到在1到100范圍內(nèi)，隨著權(quán)重的增加，速度匹配指標(biāo)的最終收斂值逐漸減小.當(dāng)權(quán)重大于30時(shí)，該指標(biāo)的最終值下降至0附近.這說明目標(biāo)趨向作用對模型速度匹配群體目的的實(shí)現(xiàn)具有正向的促進(jìn)作用.當(dāng)k4繼續(xù)增大時(shí)，由于單步長內(nèi)速度調(diào)整過大而出現(xiàn)的抖動(dòng)使得速度匹配差隨著k4的增大而有微弱的增加.這表明群體目標(biāo)吸引項(xiàng)對于群體速度的匹配具有積極的效果.

圖3 不同目標(biāo)趨向作用權(quán)重下的群體離散度曲線(a) 群體離散度隨曲線；(b) 群體離散度最終收斂值曲線Fig.3 Group dispersion degree curve at different weight of target directed interaction(a) Group dispersion degree curve; (b) finally convergence value of the group dispersion degree

圖3為在目標(biāo)趨向作用權(quán)重k4不同取值下群體離散度的時(shí)間變化及k4在1到100范圍內(nèi)群體離散指標(biāo)最終的收斂均值.由圖3(a)可見，在各項(xiàng)權(quán)重下，群體離散度指標(biāo)均有一個(gè)收斂的過程，群體在運(yùn)動(dòng)過程中均能夠?qū)崿F(xiàn)聚集.同時(shí)，隨著權(quán)重的增加，群體離散度的收斂值逐漸增大.這是因?yàn)椋瑱?quán)重越大群體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的目標(biāo)趨向作用越強(qiáng)，從而使得群體內(nèi)部個(gè)體間的吸引作用越弱，更難實(shí)現(xiàn)群體的聚集.從圖3(b)可以看到，隨著k4的增加，群體離散指標(biāo)的最終收斂值逐漸增大.這說明目標(biāo)趨向作用的增加不利于模型群體聚集目的的實(shí)現(xiàn).根據(jù)前文群體穩(wěn)定時(shí)間的仿真結(jié)果，群體的目標(biāo)趨向作用權(quán)重應(yīng)大于30才能在仿真時(shí)長內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).因此，在設(shè)定的初始條件下，在滿足群體穩(wěn)定時(shí)間要求的前提下群體離散度指標(biāo)最優(yōu)值應(yīng)在k4=40附近取得，這里為128.31左右.

綜上所述，引入了目標(biāo)趨向力以及幾何鄰域并不影響避免碰撞、速度匹配及群體聚集這3個(gè)群體目的的實(shí)現(xiàn)，并且當(dāng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重增加時(shí)，群體最終的速度匹配差均值減小，群體能夠更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).然而，目標(biāo)趨向作用的增加會(huì)阻礙群體的聚集，使得群體離散度增大.在滿足群體穩(wěn)定時(shí)間的要求下，我們可以根據(jù)群體目標(biāo)偏離角和群體離散度是否達(dá)到預(yù)期的閾值條件來判斷兩個(gè)群體目的的實(shí)現(xiàn)情況.在本文設(shè)置的初始條件下，我們可以設(shè)目標(biāo)偏離角閾值為0.1，當(dāng)目標(biāo)偏離角在一定時(shí)間之后小于0.1則視為達(dá)到了趨向目標(biāo)，另一方面，我們可設(shè)置群體離散度指標(biāo)閾值為150，當(dāng)群體離散度收斂值小于150時(shí)視為達(dá)到了群體聚集.在滿足閾值條件的情況下，選擇穩(wěn)定時(shí)間最小的目標(biāo)趨向作用權(quán)重k4=40.在實(shí)際應(yīng)用中，目標(biāo)偏離角和群體離散度兩個(gè)指標(biāo)的閾值可根據(jù)群體初始條件設(shè)置以及實(shí)際需求設(shè)定.

4 結(jié) 論

在本文中，我們將目標(biāo)趨向作用和幾何鄰域引入Cucker-Smale群體模型，得到了一個(gè)增強(qiáng)型群體運(yùn)動(dòng)模型.該模型能夠?qū)崿F(xiàn)速度匹配、避免碰撞、群體聚集及趨向目標(biāo)等4個(gè)群體目標(biāo).仿真結(jié)果表明，當(dāng)目標(biāo)趨向作用權(quán)重增加時(shí)，群體趨向目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的速度和程度均會(huì)增加，同時(shí)對群體內(nèi)個(gè)體速度的匹配有積極促進(jìn)作用，對群體的聚集則有消極影響.速度匹配作用對群體內(nèi)個(gè)體加速度的影響與此類似，也會(huì)阻礙群體的聚集.此外，過大的目標(biāo)趨向作用權(quán)重也會(huì)導(dǎo)致群體內(nèi)個(gè)體在單步長內(nèi)速度調(diào)整過大而發(fā)生抖動(dòng)，進(jìn)而使得穩(wěn)定時(shí)間和速度匹配差收斂值變大.因此，群體模型的目標(biāo)趨向作用權(quán)重不能過大也不能過小，需要根據(jù)群體的初始狀態(tài)以及群體所處環(huán)境給出合理值.