劉艷

【摘 要】 文章主要分析了兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應的捕食-食餌模型，通過對其進行討論分析，探究了在投放與不投放天敵狀況之下系統(tǒng)周期的穩(wěn)定性以及存在性問題，獲得了對應的控制參數(shù)臨界值，通過對其進行模擬分析，為相關研究提供參考與支持。

【關鍵詞】 兩類;帶狀態(tài)依賴脈沖效應的捕食;食餌模型;動力學

探究兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應的捕食-食餌模型的動力學，利用生物數(shù)學的方式進行食餌模型的分析，可以達到優(yōu)化參數(shù)的目的。對此，通過分析兩類不同的食餌模型，在生物數(shù)學的支持之下，研究分析其內在的規(guī)律特征，有利于生態(tài)保護工作的開展。

一、兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應的捕食研究分析

生物數(shù)學就是通過數(shù)學知識解決生物問題的重要學科，其融合了生物學以及數(shù)學專業(yè)知識，主要是通過數(shù)學方法以及技巧解決生物學的問題，在理論上對其進行深入研究，有利于當代生物學的發(fā)展及在各個領域中的廣泛應用。生物動力學是生物數(shù)學中較為重要的分支學科，通過研究分析生物系統(tǒng)中相關生物以及狀態(tài)在不同時間中產生變化的規(guī)律特征，利用對應的差分方程、時滯微分方程以及脈沖微分方程等相關微分動力系統(tǒng)對生物系統(tǒng)進行描述分析。

隨著生態(tài)問題日益嚴重，人們的生產生活也受到了不同程度的影響，通過微分動力系統(tǒng)進行生物模型，可以充分了解生物種群以及生態(tài)系統(tǒng)中產生的變化規(guī)律，進而為人力保護生態(tài)環(huán)境、害蟲治理以及預防生態(tài)系統(tǒng)等提供有效的參考與支持。對此，通過微分動力系統(tǒng)進行生物模型研究具有重要的價值。

二、探究兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應的捕食-食餌模型的動力學

根據(jù)實際狀況分帶狀態(tài)依賴脈沖效應的型捕食-食餌模型，利用首次積分以及數(shù)學方式分析討論此模型的正周期解及其存在的穩(wěn)定條件，證明了系統(tǒng)正周期解或者不存在及其在存在但是不穩(wěn)定狀況中的狀況，表明了此模型在生物脈沖中的必要性，也就是在害蟲數(shù)量達到特定閾值或者小于某個數(shù)值的時候，要投放特定量的天敵，則可以達到控制病蟲數(shù)量的目的，通過結果分析論證了在產生生物脈沖系統(tǒng)的時候正周期解的穩(wěn)定條件，在理論上優(yōu)化了傳統(tǒng)的方式。

1.HollingII型捕食-食餌模型分析

治理害蟲是生態(tài)學以及生物數(shù)學中較為復雜的問題，在環(huán)境變化、人類行為的作用與影響之下，會造成生物數(shù)量出現(xiàn)不同程度的變化，這種變化會產生不同程度的影響。對此，可將動力學系統(tǒng)與脈沖融合，將常微分系統(tǒng)轉化處理形成對應的脈沖微分系統(tǒng)。同理，治理害蟲中通過噴灑農藥以及投放天敵的方式會在短時間中減少害蟲數(shù)量，這樣就會產生對應的帶脈沖效應的捕食-食餌模型。多數(shù)系統(tǒng)分析的都是固定時刻中產生的脈沖，也就是在固定的時刻中進行處理，每次采取措施的時間也是固定的。在一些生物模型中，在害蟲數(shù)量達到某個特定閾值的時候才會采取一些措施。對此，一些學生就對狀態(tài)依賴脈沖微分系統(tǒng)進行了研究分析，在害蟲數(shù)量達到閾值的同時噴灑農藥或者投放天敵，就會忽略殺蟲劑對天敵產生的影響，也就是殺蟲劑在殺死害蟲的同時也會殺死天敵，這樣就會增加成本。同時，忽略天敵對害蟲產生的控制與影響，只要害蟲數(shù)量已經達到了閾值就進行處理，此種方式缺乏合理性，主要是因為一些害蟲數(shù)量雖然達到了閾值要求，但是并沒有達到必須要應用殺蟲劑控制的時候，可以通過生物方式進行控制，這樣就會減少農藥造成的污染與影響，也可以有效地控制害蟲數(shù)量。因此，在不同時刻中投放天敵以及噴灑農藥的生物模型便產生了。在害蟲數(shù)量達到閾值的時候，通過投放天敵的方式可以有效地減少害蟲的增加速度;在害蟲數(shù)量呈現(xiàn)持續(xù)增加并達到了更大的閾值的時候再噴灑農藥，就會在短時間內減少害蟲的數(shù)量。在噴灑農藥之后也會減少天敵的數(shù)量，其主要生物模型如下：

害蟲數(shù)量在達到一定閾值的時候投放天敵，則害蟲數(shù)量不變，但是天敵數(shù)量增加，就會減少害蟲數(shù)量增加的速度。在害蟲數(shù)量增加到一定閾值的時候通過殺蟲劑進行控制處理，就會減少害蟲的數(shù)量以及天敵的數(shù)量。

通過構建Poincare的方式映射，通過定性分析的方式進行處理，則可以確定系統(tǒng)在半平凡周期解中存在以及穩(wěn)定狀況之下的正周期解存在的條件參數(shù)，為了驗證結論是否正確，就要對其進行數(shù)值模擬分析。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，不投放天敵狀況之下，每次噴灑殺蟲劑數(shù)量對于害蟲的控制系數(shù)較大的時候，可以將害蟲的數(shù)量控制在（0.3，0.6）的區(qū)間范圍內，殺蟲劑也會對天敵產生影響。因此，天敵數(shù)量在時間的推移之下會逐漸趨于零，系統(tǒng)呈現(xiàn)平衡的狀態(tài)。但是，如果每次噴灑殺蟲劑數(shù)量較小，其對于天敵的作用不大，在此種狀況之下，天敵會呈現(xiàn)自然繁衍狀況，害蟲則會被有效消滅。而天敵數(shù)量的增加也會造成系統(tǒng)崩潰的問題出現(xiàn)，因此，如果想要合理地控制害蟲的數(shù)量，保持系統(tǒng)平衡性，就要合理控制殺蟲劑數(shù)量，將害蟲與天敵的數(shù)量控制在可控的范圍內。

通過設置兩個脈沖面的方式進行模型改進優(yōu)化，利用幾何方法以及定性分析幾何的方式研究系統(tǒng)，是一種全新的方式。

2.一類帶脈沖狀態(tài)依賴的一型捕食-食餌模型的動力學分析

捕食-食餌模型動力學分析是研究的重點內容。為了達到減少病蟲數(shù)量的目的，人們通過定期噴灑農藥或者投放天敵的方式進行處理，通過在固定的時刻中同時投放天敵或者噴灑農藥的方式進行處理是研究的重點。但是如果沒有分析害蟲數(shù)量，就盲目地定期處理缺乏實踐性，不僅會增加成本，也會造成環(huán)境污染。因此，相關學者提出在害蟲數(shù)量達到一定數(shù)值的時候再進行控制的狀態(tài)依賴脈沖控制系統(tǒng)，此種方式雖然有效，但是因為其沒有分析農藥對天敵產生的影響，導致農藥造成天敵的死亡。分析在不同時刻中噴灑農藥以及投放天敵的模型則被提出，如下：

通過帶脈沖狀態(tài)依賴的一型捕食-食餌模型研究論證在不發(fā)生生物脈沖狀況之下，此系統(tǒng)正周期解或者不存在，分析是否穩(wěn)定性，利用數(shù)值模擬的方式證實分析其結論信息，利用映射或者首次積分的方式獲得其發(fā)生生物脈沖，通過分析在投放天敵狀況之下系統(tǒng)在正周期解的條件之下生物脈沖量屬于控制便令，通過證明確定在其小于特定的閾值條件之下系統(tǒng)正周期解是存在的。同時，在其初始值滿足特定條件的狀態(tài)之下，系統(tǒng)正周期解是呈現(xiàn)局部軌道穩(wěn)定狀態(tài)的，系統(tǒng)則呈現(xiàn)平衡的狀態(tài)。

通過分析如何保障系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性，在系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)之下通過映射以及首次積分、定性分析等方式獲得控制變量的臨界值。

通過脈沖微分方程描述生物系統(tǒng)構建的模型更加符合實際狀況，模型有效性相對較高，主要是因為脈沖微分系統(tǒng)可以綜合瞬間的突發(fā)狀況對于生態(tài)系統(tǒng)中各個生物以及狀態(tài)產生的即時影響，其更為深刻，可以精準地反映此種狀況之下生物的變化，符合生物系統(tǒng)。對此，在生物系統(tǒng)中廣泛應用脈沖微分系統(tǒng)，在種群生態(tài)動力學系統(tǒng)以及微生物連續(xù)培養(yǎng)模型、藥物動力學模型等領域中應用廣泛，效果顯著。