徐利輝，馬 蒙，劉維寧

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

地鐵隧道在運營期內的常見病害包括：襯砌裂縫、縱向不均勻沉降和結構滲漏水等[1]。由于施工等因素的影響，隧道襯砌結構往往含有初始缺陷，列車長期動荷載作用下，缺陷進一步萌生、發(fā)展，使結構力學性能下降，影響隧道結構使用壽命。

隧道結構的動力響應是一個廣受關注的課題，針對這一問題國內外學者提出了許多有價值的隧道-地層耦合動力模型，如Pipe-in-Pipe 模型[2]、基于有限元法[3?4]、周期性有限元-邊界元[5]、波數(shù)有限元-邊界元[6]及基于2.5 維有限元-邊界元法[7]的隧道-地層模型等，并基于此研究了隧道襯砌動應力響應與分布、位移導納特性等，得到了有意義的結論；此外，楊驍?shù)萚8?9]、王平等[10]與Ma 等[11]分別基于解析法、辛方法與曲線2.5 維有限元法研究了隧道周圍地層的動力響應。但研究中隧道襯砌均被視為不發(fā)生損傷的結構，未涉及列車動荷載對隧道襯砌結構損傷分布及疲勞壽命的影響。為研究隧道襯砌車致動力損傷分布，并預測襯砌結構疲勞壽命，黃娟[12]將損傷理論與Drucker-Prager 準則結合建立了混凝土損傷本構，研究了車致動力損傷分布并進行疲勞壽命預測；丁祖德[13]采用相同的方法探究了基底軟巖對襯砌結構疲勞壽命的影響；劉寧等[14]利用Miner 累積損傷理論建立了仰拱結構壽命的預測方法；朱正國等[15]探究了列車荷載作用下隧道襯砌動力損傷分布，發(fā)現(xiàn)圍巖條件對損傷發(fā)展有較大影響；晏啟祥等[16]研究了垂直交疊盾構隧道襯砌車致振動響應及損傷分布規(guī)律；王祥秋等[17]進行了隧道襯砌結構動力累積損傷模型試驗，得到仰拱與拱腳累積損傷較大的結論。上述研究在進行隧道壽命預測時，大多基于Miner 線性累積損傷理論，但這種假設與混凝土材料實際累積損傷演化規(guī)律存在一定差距。

為進一步提高襯砌疲勞壽命預測的準確性，本文首先根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》(GB50010?2010)損傷計算公式推導了混凝土增量損傷本構模型，并基于ANSYS 二次開發(fā)用戶子程序UPFs 將其編入到標準計算流程中，通過與實驗結果對比驗證了本構模型的合理性；進一步建立了地鐵圓形隧道-地層耦合動力有限元模型，并基于改進的Miner 累積損傷理論分析了列車長期荷載作用下隧道襯砌結構損傷分布、動應力/應變變化規(guī)律、損傷增量演化規(guī)律及累積疲勞損傷演化規(guī)律。

1 增量損傷本構模型

1.1 混凝土增量損傷本構方程

混凝土材料中存在大量微裂紋、微孔洞、水泥漿與骨料之間的界面接觸不密實等初始缺陷。在外荷載作用下這些缺陷發(fā)展、聚集，進而演化為宏觀裂紋，造成混凝土力學性能劣化，使其表現(xiàn)出非線性力學行為。《混凝土結構設計規(guī)范》(GB50010?2010)中推薦采用單軸受拉、受壓損傷變量Dt和Dc表征加載過程中混凝土材料非線性力學特征，其拉壓異性的非線性應力-應變關系為[18]：

式中， εi表示受力點的主應變。 〈.〉為Macaulay 符號：x≥0， 〈x〉 =x；x<0 時， 〈x〉=0。將式(4)代入式(2)與式(3)即可得到復雜應力狀態(tài)下受拉與受壓損傷變量。

由上述計算公式可知，混凝土損傷可分為受拉損傷與受壓損傷兩類，分別服從不同的演化規(guī)律。為簡化分析，本文用綜合損傷變量來同時考慮混凝土受拉與受壓損傷演化，定義綜合損傷D為：

式中， αt與 αc分別為受拉與受壓損傷權重系數(shù)。從式(5)可以看出，當受力點處于受拉應力狀態(tài)時( αt=1， αc=0)，此時綜合損傷退化為單軸受拉損傷；而當受力點處于受壓應力狀態(tài)時( αt=0，αc=1)，此時綜合損傷退化為單軸受壓損傷。因此，式(5)所定義綜合損傷可同時考慮混凝土受力的拉壓異性損傷演化。

假定復雜應力狀態(tài)下混凝土損傷僅與偏壓力有關而與靜水壓力無關[20]，則混凝土全量損傷本構方程為：

式中： σi j與eij分別為應力張量及偏應變張量；εV為體積應變，εV=εx+εy+εz；G與K分別為混凝土剪切彈性模量及體積彈性模量；δij為Kronecker函數(shù)。

對混凝土全量本構方程兩端進行同時微分可得混凝土增量損傷本構方程，其表達式如下：

與全量本構方程相比，混凝土增量損傷本構方程中增加一微分項，其表征損傷變量變化率對增量形式應力-應變關系的修正，表示混凝土應力-應變曲線上某點的切線模量較原點割線模量降低值。

1.2 增量損傷本構方程的數(shù)值實現(xiàn)

根據(jù)混凝土增量損傷本構方程式(7)對ANSYS 有限元進行材料本構模型二次開發(fā)，將開發(fā)的本構模型用戶子程序植入到標準有限元計算流程中，以滿足研究對本構模型的要求。ANSYS調用本構模型用戶子程序為基于增量有限元的迭代過程，每一荷載步均需調用用戶子程序，根據(jù)應變增量計算應力增量，繼而得到總應力：

式中：上標表示荷載步數(shù)； ?σk為第k荷載步應力增量，由式(7)計算得到。

混凝土材料在外荷載作用下的損傷為不可逆熱力學過程，損傷只能向增加的方向進行。動力荷載卸載過程中，材料的應變減小，根據(jù)式(2)及式(3)其損傷也會變小，違反了不可逆熱力學原理。為消除其不合理性，需對動力荷載作用過程進行加卸載判定。根據(jù)文獻[21]，加卸載判斷準則為：

由式(9)可知，當處于卸載或者彈性加載過程時，材料損傷保持不變；當處于損傷加載時，需對損傷進行更新，即：

根據(jù)上述計算原理，將混凝土增量損傷本構方程編入到數(shù)值軟件ANSYS 中，通過調用開發(fā)的本構模型用戶子程序，實現(xiàn)模擬混凝土在外荷載作用下的損傷分布及演化。

2 改進的Miner 累積損傷理論

通過上述計算流程能夠得到單次列車荷載引起的隧道結構損傷，若計算隧道全壽命周期內的損傷演化，需對隧道結構進行反復加載。列車動荷載作用下襯砌混凝土疲勞壽命超百萬次[13]，但進行如此大量的有限元計算是不切實際的。為簡化計算，盡量反映混凝土在全壽命周期內的損傷演化，并使計算過程易于實現(xiàn)，對損傷演化過程作出如下假設：

1) 損傷演化曲線用k條首尾相接的直線代替，損傷演化率在各直線內保持恒定；

2) 用分段直線起始點對應的損傷增量代替本段直線的斜率。

基于上述假設，某直線段內損傷演化方程為：

式中：D(n)與D(n+m)分別為n次與n+m次列車荷載作用下的累積損傷；ΔD(n)為第n次列車荷載引起的損傷，即損傷增量。

式中：ΔDi為第i條直線段內單次列車引起的損傷增量；mi為第i條直線段經歷的列車次數(shù)。

式(11)表明，損傷演化在各直線段內服從Miner累積損傷理論，即服從改進的Miner 累積損傷理論。改進的Miner 累積損傷理論核心為在各直線段內對單次列車荷載引起的損傷增量進行修正，所取k越大，所得分段線性損傷演化曲線越逼近真實損傷演化曲線?；贛iner 累積損傷理論的線性損傷演化、基于改進的Miner 累積損傷理論的分段線性損傷演化與真實損傷演化對比如圖1所示?？梢钥闯?，分段線性損傷演化較線性損傷演化更接近真實值，因此本文采用此方式對隧道結構全壽命周期損傷演化進行模擬。

圖1 線性、分段線性與真實損傷演化對比示意圖Fig. 1 Comparison of linear, piecewise-linear and true damage evolution

基于改進的Miner 累積損傷理論假設，研究隧道結構全壽命周期內的損傷演化，僅需計算單次列車通過引起隧道結構的損傷增量(即直線段斜率)，按式(11)計算末端對應的損傷量及分布并將其作為初始條件輸入模型中，從而獲得下一直線段斜率。重復上述步驟，當隧道結構中最大損傷達預設值時停止計算，通過擬合得到長期荷載作用下?lián)p傷演化曲線。本方法通過于各直線段內對Miner 累積損傷理論斜率進行修正，既能在一定程度上提高計算精度，又能節(jié)省計算時間。

3 本構模型驗證

利用上述增量損傷本構模型對分別對文獻[22]與文獻[23]中混凝土單軸拉伸與單軸壓縮試驗進行數(shù)值模擬，通過結果對比驗證本構模型與數(shù)值程序的正確性。數(shù)值模擬中混凝土彈性模量E、泊松比ν、最大抗拉/抗壓強度ft ,c,r等參數(shù)源自文獻[22]與文獻[23]，其他相關參數(shù)則依據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》(GB50010?2010)利用內插法獲得，如表1 所示。

表1 單軸拉伸/壓縮數(shù)值試驗參數(shù)表Table 1 Parameters for uniaxial tension and compression numerical simulations

混凝土單軸拉伸、單軸壓縮試驗與數(shù)值模擬應力-應變關系如圖2 所示。對比發(fā)現(xiàn)，峰值應變前，單軸拉伸與單軸壓縮試驗與數(shù)值模擬應力-應變曲線幾乎重合，結果準確性較高；超過峰值應變后，混凝土發(fā)生應變軟化現(xiàn)象，即應力隨應變增加而降低，上述增量損傷本構模型中的修正項使有限元迭代過程中剛度矩陣主對角元出現(xiàn)負值，繼而造成計算過程不收斂，因此，上述增量損傷本構模型無法考慮混凝土的應變軟化。但由于單次地鐵列車運行引起混凝土應變較小，遠低于混凝土峰值應變，故應用此增量損傷本構模型模擬隧道襯砌結構是合理的。

圖2 混凝土單軸拉伸/壓縮試驗與數(shù)值結果對比Fig. 2 Comparison between uniaxial tension/compression experiment results and numerical simulation results

4 損傷分布及演化規(guī)律

基于混凝土增量損傷本構建立地鐵圓形隧道-地層耦合動力有限元模型，計算不同列車累積運行次數(shù)下襯砌結構車致?lián)p傷分布規(guī)律，得到動荷載作用下的最不利位置，并探究最不利位置處動應力/應變幅值隨損傷增加的變化情況，研究列車荷載長期作用下隧道襯砌損傷演化規(guī)律。

4.1 隧道-地層耦合模型及地鐵列車荷載

耦合動力有限元模型中地層簡化為各向同性、均一的彈性介質，彈性模量為600 MPa，泊松比為0.28，密度為2200 kg/m3；軌道板及基底填充物亦簡化為各向同性、均一的彈性介質，均采用C50 混凝土，彈性模量為34.5 GPa，泊松比為0.2，密度為2400 kg/m3；隧道襯砌采用C40 混凝土，采用增量損傷本構模型進行模擬，相關參數(shù)見表2。基于平面應變假設，模型簡化為二維有限元模型，模型尺寸為40 m×30 m；隧道襯砌為圓形結構，內徑為6 m，襯砌厚度為0.3 m，模型尺寸及數(shù)據(jù)采集點如圖3。

截斷邊界處施加粘彈性邊界(圖3(b))，以消除邊界對入射波的反射效應。粘彈性邊界可由一系列彈簧-阻尼系統(tǒng)等效替代，其切向與法向彈簧剛度和阻尼系數(shù)取為[24]：

式中：KBT與KBN分別為切向與法向彈簧剛度；CBT與CBN分別為切向與法向阻尼系數(shù)；式中其他參數(shù)詳見文獻[24]。

有限元模型中采用Rayleigh 阻尼假設，阻尼比取3%。采用文獻[25]提出的頻域車輛-軌道耦合模型計算扣件反力，如圖4。

4.2 累積損傷分布

列車不同運行次數(shù)下隧道襯砌累積損傷分布與各測點斷面最大損傷值分別如圖5 與圖6 所示。車致隧道襯砌累積損傷關于隧道中心線對稱，主要分布于仰拱處，分布角約120°；荷載作用位置下方隧道仰拱中出現(xiàn)兩個損傷集中區(qū)；車致隧道拱頂和側墻累積損傷較小，約為集中區(qū)內最大損傷的1/5000，由此可見列車運行可能引起的隧道襯砌疲勞破壞最先發(fā)生于仰拱位置處。同時，不同列車運行次數(shù)下襯砌結構累積損傷值各不相同，但相對大小幾乎不發(fā)生變化，即分布不變。測點#2 與#12 處累積損傷相當且最大，為最危險點，下文分析主要針對測點#2 進行。

表2 隧道襯砌混凝土計算參數(shù)Table 2 Parameters for tunnel lining concrete simulation

圖3 模型尺寸及損傷測點示意圖Fig. 3 Sketch of FE model dimensions and damage measuring points

圖4 地鐵列車荷載時程Fig. 4 Time history of subway train loads

圖5 隧道襯砌累積損傷分布Fig. 5 Cumulative damage distribution in tunnel lining

圖6 各測點斷面最大累積損傷Fig. 6 Maximum cumulative damage in each measuring cross-section

如圖5(e)所示，隨列車運行次數(shù)的增加，損傷區(qū)由仰拱外側向內側徑向發(fā)展及沿仰拱環(huán)向發(fā)展，損傷范圍不斷增大。列車累積運行次數(shù)為115 萬次時，閾值為0.2 的損傷區(qū)已貫穿仰拱襯砌，其環(huán)向尺寸約1.7 m；閾值為0.5 的損傷區(qū)徑向尺寸約0.2 m(隧道襯砌厚度的2/3)，環(huán)向尺寸約1.1 m，損傷范圍較大；由此引起的測點#2 與#12 處隧道截面力學性能退化較嚴重，影響隧道正常運營。

隨著運行次數(shù)的增加，累積損傷逐漸增大；當累積損傷增大到一定值時，隧道襯砌產生裂縫，失去抗拉能力，但由于圍巖及仰拱填充物的限制作用，其仍有一定抗壓能力。隧道仰拱結構性能劣化具有隱蔽性，但列車動荷載作用會引起較大損傷，使隧道運營安全存在潛在隱患，因此應注意監(jiān)測仰拱結構長期力學性能變化，以及時保養(yǎng)維修。

4.3 仰拱動應力及動應變響應

不同列車累積運行次數(shù)下測點#2 豎向車致動應力與動應變響應時程及最大值隨損傷變化如圖7與圖8 所示。列車車輪通過時，隧道結構中產生最大動應力與動應變，且隨時間衰減較快；計算動應力時程曲線與文獻[26]中測試時程曲線形狀類似，由于列車軸重不同，幅值有所差異。列車運行引起隧道仰拱測點#2 處產生較大的動拉應力與拉應變，混凝土抗拉性能遠弱于抗壓性能，因而隧道仰拱結構產生較大損傷，混凝土襯砌性能劣化的主要原因是結構出現(xiàn)較大拉應力。

圖7 動應力響應時程及最大動應力變化Fig. 7 Time history of dynamic stress and variation of its maximum value

圖8 動應變響應時程及最大動應變變化Fig. 8 Time history of dynamic strain and variation of its maximum value

隨著累積損傷的增加，單次列車荷載引起的最大動應力與動應變變化趨勢有所差異。累積損傷增加到0.9 時，最大動應力由12 kPa 減小到2 kPa，減小約83%；最大動應變由0.8×10?6增加到2×10?6，增加約150%，變化幅值較大。同時，累積損傷越大，最大動應力/動應變變化越劇烈。地鐵列車長期運行會引起隧道襯砌混凝土劣化，造成襯砌結構剛度下降，由剛度分配原理可知，結構剛度越小，其所分配荷載越小，因而測點#2 處動應力幅值隨損傷增加而呈現(xiàn)下降趨勢。

4.4 損傷增量演化

不同列車累積運行次數(shù)下測點#2 車致?lián)p傷增量時程如圖9 所示。累積損傷為0 時，單次列車荷載引起損傷增量約為0.47×10?6，與文獻[12]結果數(shù)量級一致。車致隧道結構損傷增量的增加主要發(fā)生于第1 s 內，即第一個轉向架經過時，且呈階躍現(xiàn)象；第3 s 損傷增量增加是由于此時隧道結構中產生最大應變；之后損傷增量基本保持不變。隨著累積運行次數(shù)增加，單次列車荷載引起的最大損傷增量增加，由0.47×10?6增加到6.82×10?6，增加約13.5 倍，且累積運行次數(shù)越大，損傷增量幅值增加越大。

圖9 不同累積運行次數(shù)下?lián)p傷增量時程Fig. 9 Time history of damage increment under different cumulative operation times

圖10 表示各測點損傷增量幅值隨列車累積運行次數(shù)的變化。與前述類似，測點#2 處損傷增量幅值最大，其他測點較小。損傷增量幅值隨列車累積運行次數(shù)增加而增大；列車累積運行次數(shù)小于90 萬次(對應最大累積損傷0.58)時，損傷增量幅值增加較為緩慢；列車累積運行次數(shù)大于90 萬次時，隨累積運行次數(shù)的增加損傷增量變化率越來越大。由此說明，采用基于全過程線性假設的Miner 累積損傷理論計算隧道結構車致疲勞壽命會產生較大誤差。同時，單次列車引起的損傷增量幅值明顯增大時，應當及時對隧道結構進行養(yǎng)護維修。

圖10 各測點損傷增量幅值演化曲線Fig. 10 Amplitude evolution curves of damage increment

4.5 累積損傷演化

各測點累積損傷與列車累積運行次數(shù)關系如圖11 所示。類似地，測點#2 處累積損傷較其他測點大，此處隧道襯砌最易發(fā)生破壞。由圖可知，列車累積運行次數(shù)為115 萬次時，測點#2 累積損傷已達0.9，此時隧道結構已經發(fā)生嚴重破壞，應及時維修或者更換襯砌構件。因此，本算例隧道結構疲勞壽命為115 萬次。

圖11 累積損傷演化曲線及擬合曲線Fig. 11 Evolution curves and fitting curve of cumulative damage

采用函數(shù)y=AeBx+C對測點#2 累積損傷曲線進行非線性擬合并與基于Miner 理論的損傷演化進行對比，如圖12，擬合曲線與計算曲線幾乎重合，可決系數(shù)為0.9999。列車累積運行次數(shù)為115萬次時，采用Miner 理論得到的累積損傷為0.55。車致隧道襯砌結構累積損傷演化呈現(xiàn)非線性特性，且累積損傷隨列車累積運行次數(shù)增加而增大，呈指數(shù)增長，采用Miner 累積損傷理論會高估襯砌的疲勞壽命。再一次說明，采用Miner 累積損傷理論對隧道襯砌結構進行疲勞壽命預測會產生較大誤差，因此本文推薦采用改進的Miner累積損傷理論進行模擬計算，此方法提高壽命預測準確性的同時，又能夠節(jié)省計算時間。

圖12 不同預測方法下累積損傷演化對比Fig. 12 Comparison of cumulative damage evolution using different prediction methods

5 結論

根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》(GB50010?2010)規(guī)定的混凝土損傷計算方法建立了混凝土增量損傷本構模型，并依據(jù)單軸拉、壓試驗結果驗證了其正確性。建立隧道-地層耦合動力模型，采用增量損傷本構模型模擬隧道襯砌結構，基于改進的Miner 累積損傷理論探究列車長期荷載作用下隧道襯砌結構損傷分布、動應力/應變變化規(guī)律、損傷增量演化規(guī)律及累積疲勞損傷演化規(guī)律，得出以下結論：

(1) 單線圓形隧道中，車致襯砌累積損傷關于隧道中心線對稱，主要分布于仰拱結構，分布角約120°；不同列車運行次數(shù)下襯砌結構累積損傷值各不相同，但相對大小不發(fā)生變化，損傷分布不變。

(2) 列車荷載作用位置下方存在兩個損傷集中區(qū)，損傷量遠大于其他位置，為襯砌結構潛在危險區(qū)。隨列車累積運行次數(shù)的增加，損傷區(qū)沿襯砌徑向與環(huán)向不斷發(fā)展；閾值為0.5 的最終損傷區(qū)徑向尺寸約為隧道襯砌厚度的2/3，損傷范圍較大。

(3) 隨列車累積運行次數(shù)增加，損傷集中區(qū)內車致動應力幅值減小約83%，動應變幅值增加約150%；混凝土襯砌性能劣化的主要原因是結構出現(xiàn)較大拉應力。

(4) 損傷增量幅值與累積疲勞損傷隨列車累積運行次數(shù)增加而增大，且呈非線性關系。采用Miner 累積損傷理論對隧道襯砌結構進行疲勞壽命預測會產生較大誤差，本文推薦采用改進的Miner累積損傷理論，此方法能夠提高壽命預測準確性，同時又能節(jié)省計算時間。