冀占江，覃桂茳*，張更容

(1.梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院，廣西 梧州 543002;2.梧州學(xué)院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 梧州 543002;3.湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410205)

1 基本定義

定義1設(shè)X，Y是度量空間，稱f是一個(gè)同胚映射，如果f:X→Y是一個(gè)一一映射，并且f，f-1都是連續(xù)的．

定義2設(shè)X是度量空間，A?X，f:X→X連續(xù)，若f(A)?A，則稱A對(duì)f不變.

定義3設(shè)X是度量空間，A?X，f:X→X連續(xù)，若f(A)=A，則稱A對(duì)f強(qiáng)不變.

定義4[13]設(shè)X是度量空間，G是拓?fù)淙海粲成洇?G×X→X滿足：

(1) 對(duì)任意的x∈X，有φ(e,x)=x，其中e為G的單位元；

(2) 對(duì)任意的x∈X以及g1，g2∈G，有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x)，則稱(X,G,φ)是度量G-空間，簡(jiǎn)稱X是度量G-空間．為書寫方便，通常將φ(g,x)簡(jiǎn)寫為gx．特別地，若X是緊致度量空間，則稱X是緊致度量G-空間．

定義5[14]設(shè)X，Y是度量G-空間，f:X→Y連續(xù)，稱f是等價(jià)映射，如果?g∈G，?x∈X，有f(gx)=gf(x)．

定義6[15]設(shè)X，Y是度量G-空間，f:X→Y連續(xù)，稱f偽等價(jià)映射，如果?g∈G，?x∈X，?h∈G，有f(gx)=hf(x)．

定義9[16]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，x∈X，稱x是f的G-周期點(diǎn)，如果存在n∈N+，?g∈G，使得gfn(x)=x，滿足gfn(x)=x的最小正整數(shù)稱為x的G-周期．f的G-周期點(diǎn)集用PG(f)表示.

定義11[17-18]設(shè)(X,d)是度量空間，f:X→X連續(xù)，x∈X，稱x是f的回歸點(diǎn)，如果對(duì)任意x的領(lǐng)域U，存在n∈N+，使得fn(x)∈U.f的回歸點(diǎn)集用R(f)表示．

定義12設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，x∈X，稱x是f的G-回歸點(diǎn)，如果對(duì)任意x的領(lǐng)域U，存在n∈N+，?g∈G，使得gfn(x)∈U.f的G-回歸點(diǎn)集用RG(f)表示．

2 若干引理

引理1設(shè)X，Y是度量G-空間，f:X→Y偽等價(jià)(等價(jià))，則：

(1) ?m≥2，fm偽等價(jià)(等價(jià))；

(2) 若f:X→Y同胚，則f-m:Y→X偽等價(jià)(等價(jià))，m≥1.

證明(1)由f偽等價(jià),知?x∈X，?g∈G，?h∈G，有f(gx)=hf(x)，故f2(gx)=f(hf(x)).同樣由f偽等價(jià),知?t∈G，使得f(hf(x))=tf2(x)，故f2(gx)=tf2(x)，因此f2偽等價(jià)．以此類推可得fm偽等價(jià)．

(2) ?x∈X，?g∈G，由f同胚，知存在唯一點(diǎn)y∈X，使得f(y)=x，故f-1(gx)=f-1(gf(y)).由f偽等價(jià)，知?t∈G，使得f-1(gf(y))=f-1f(ty)=ty，故f-1(gx)=tf-1(x)，因此f-1:Y→X偽等價(jià)．以此類推可得f-m偽等價(jià)．

引理2設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X偽等價(jià)映射，則f(PG(f))?PG(f).

證明設(shè)y∈PG(f)，則?m∈N+，?g∈G，使得gfm(y)=y．由f是偽等價(jià)，可知?h∈G，使得hfm(f(y))=f(y)，故f(y)∈PG(f)，因此f(PG(f))?PG(f)．

注1由于PG(f)對(duì)f不變，因此可以考慮f在PG(f)上形成的逆極限空間，后面的定理1給出了具體的結(jié)論.

引理3設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X同胚等價(jià)，x∈X，則wG(x,f)是閉集，且f(wG(x,f))=wG(x,f).

證明wG(x,f)是閉集和f(wG(x,f))?wG(x,f)的證明見文獻(xiàn)[16].下面證明wG(x,f)?f(wG(x,f)).

設(shè)z∈wG(x,f)，則?{nk}?N+，?{gk}?G，使得gkfnk(x)→z,k→∞. 又f同胚等價(jià)，由引理1的(2)，知f-1等價(jià)，因此gkfnk-1(x)→f-1(z),k→∞，故f-1(z)∈wG(x,f)，則wG(x,f)?f(wG(x,f)).

引理4設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X同胚等價(jià)，則WG(f)是閉集，且f(WG(f))=WG(f).

注由于WG(f)對(duì)f強(qiáng)不變，因此可以考慮f在WG(f)上形成的逆極限空間，后面的定理2給出了具體的結(jié)論.

引理5設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，x∈X，則?i∈N+，有wG(fi(x),f)=wG(x,f).

證明先證wG(fi(x),f)?wG(x,f).設(shè)y∈wG(fi(x),f)，則?{gk}?G，?{nk}?N+，使得gkfnk(fi(x))→y,k→∞，即gkfnk+i(x)→y，故y∈wG(x,f).

下證wG(x,f)?wG(fi(x),f). 設(shè)t∈wG(x,f)，則?{pk}?G，?{mk}?N+，使得

pkfmk(x)→t，

即pkfmk-i(fi(x))→t，故t∈wG(fi(x),f)，則wG(fi(x),f)=wG(x,f).

引理6設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X偽等價(jià)，則f(RG(f))?RG(f).

證明設(shè)x∈RG(f)，則x∈wG(x,f).由引理3，知f(wG(x,f))?wG(x,f)，故f(x)∈wG(x,f).由引理5，知wG(f(x),f)=wG(x,f)，則f(x)∈wG(f(x),f)，故f(x)∈RG(f)，因此f(RG(f))?RG(f).

注2由于RG(f)對(duì)f不變，因此可以考慮f在RG(f)上形成的逆極限空間，后面的定理3給出了具體的結(jié)論.

3 主要定理

故

f(wG(yi,f))=wG(yi,f).