劉 新

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部,四川 廣元 628017)

0 引言

若Cn×n表示n×n階復(fù)矩陣的集合。A∈Cn×n,若有唯一的X∈Cn×n滿足下列3個(gè)等式[1-5]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA,

則把X叫做A的Drazin逆, 記X=AD。ind(A)是A的指數(shù),ind(A)=k。I-AAD記作Aπ。由于Drazin逆的廣泛應(yīng)用，許多學(xué)者花費(fèi)大量時(shí)間研究了矩陣和的Drazin逆的表示，但是都是在所給條件下做了不同討論[1-14]。例如，2009年，Patricio[6]討論了條件為P2Q+PQ2=0的矩陣和Drazin逆表達(dá)式；2016年，楊曉英[7]研究了條件為(P+Q)P(P+Q)Q=0的表示問題。在研究過程中，本文發(fā)現(xiàn)在證明時(shí)對(duì)矩陣采用不同的拆分，并借助已有文獻(xiàn)的重要結(jié)論，可以得到一個(gè)比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]更一般性的結(jié)論，為進(jìn)一步研究分塊矩陣Drazin逆的表示提供一種方法。

首先給出幾個(gè)重要的引理。

引理1[8]設(shè)U,V∈Cn×n,ind(U)=r，ind(V)=s。如果UVU=0，UV2=0，則

(U+V)D=δ1+δ2+(δ1(UD)2+(VD)2δ2-VD(UD)2-(VD)2UD)UV,

其中

引理2[9]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cn×m, 則(AB)D=A((BA)D)2B。

這里

1 兩個(gè)矩陣和的Drazin逆

Patricio得出兩矩陣和Drazin逆的表示為P2Q+PQ2=0。楊曉英得到的條件為(P+Q)P(P+Q)Q=0。本文借助上面三個(gè)引理證明了兩矩陣和Drazin逆表示的條件(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，這個(gè)條件比上面兩篇文獻(xiàn)的條件更具有一般性。

定理1 若P,Q∈Cn×n，ind(PQ+Q2)=t，ind(P2+QP)=l。如果(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，則

((P+Q)D=PH+QJ+PH(P2+QP)D(PQ+Q2)+P(PQ+Q2)DJ(PQ+Q2)

+P(PQ+Q2)D+Q(PQ+Q2)D+QJ(P2+QP)D(PQ+Q2)

+Q(PQ+Q2)DJ(PQ+Q2),

其中，

W=(P2+QP)D+(PQ+Q2)J(P2+QP)D+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DJ,

證明由引理2，可知

(1)

記

由條件(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，顯然EFE=0,EF2=0。

由引理1，得

(E+F)D=φ1+φ2+(φ1(ED)2+(FD)2φ2-FD(ED)2-(FD)2ED)EF，

其中

并且由F2=0，得FD=0，F(xiàn)π=I。易得φ2=0，φ1=ED+F(ED)2，

因此

(E+F)D=φ1+φ1EDF，

(2)

由引理3，得

(3)

這里

將(3)式和φ1代入(2)式，得

MD=(HH(P2+QP)D(PQ+Q2)+(PQ+Q2)DX(PQ+Q2)+(PQ+Q2)D

X(PQ+Q2)D+X(P2+QP)D(PQ+Q2)+(PQ+Q2)DX(PQ+Q2)),

其中

H=(P2+QP)D+(PQ+Q2)X(P2+QP)D+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DX。

不難驗(yàn)證，結(jié)論成立。

由定理1不難得出一個(gè)推論，這也是文獻(xiàn)[6]討論的內(nèi)容。

推論1[6]設(shè)P,Q∈Cn×n，若P2Q+PQ2=0，則

(P+Q)D=(P2+PQ)DP+Q(PQ+Q2)D+QXP,

其中

-(PQ+Q2)D(P+Q)(P2+PQ)D。

下面的推論是文獻(xiàn)[7]中的重要結(jié)果。

推論2[7]設(shè)P,Q∈Cn×n，ind(PQ+Q2)=s[7]，ind(P2+QP)=r。若(P+Q)P(P+Q)Q=0，則

(P+Q)D=(P+Q)((P2+QP)D+(PQ+Q2)X(P2+QP)D(P2+QP)

+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DX(P2+QP)+(PQ+Q2)D)，

這里