董家根， 胡義明， 羅俐雅*， 梁忠民

(1.江蘇省水文水資源勘測局， 江蘇 南京 210029； 2.河海大學水文水資源學院， 江蘇 南京 210098)

1 概 述

洪水預報是流域防洪減災工作中重要的非工程措施。由于自然水文過程的復雜性和人類認識水平的局限性，洪水預報不可避免地存在諸多不確定性，從而導致洪水預報結(jié)果的不確定性。為了定量描述洪水預報的不確定性，洪水概率預報理念逐漸獲得重視，成為水文預報領域的重要研究熱點之一。

縱觀國內(nèi)外諸多洪水概率預報方法，大體可分為全要素耦合和總誤差分析兩大類途徑[1]。全要素耦合類方法是在識別和量化降雨—徑流過程各環(huán)節(jié)不確定性要素基礎上，通過耦合各要素的不確定性，最終實現(xiàn)概率預報，如貝葉斯總誤差分析方法[2]、貝葉斯綜合不確定性估計方法[3]等?？傉`差分析類方法是直接對預報結(jié)果的不確定性進行量化，而不處理預報各環(huán)節(jié)的不確定性，最終以預報量后驗分布的形式實現(xiàn)概率預報，如貝葉斯概率預報系統(tǒng)[4-5]、模型條件處理器法[6]等?？紤]到不同流量量級下洪水預報誤差不同，在誤差總分析框架下發(fā)展了若干典型的考慮預報誤差異分布的概率預報方法，如Steenbergen等[7]構建了三維誤差矩陣以反應不同洪水量級預報誤差分布規(guī)律的不同；梁忠民等[1]通過構建預報誤差的均值與流量的定量關系，進而提出了誤差異分布概率預報模型，實現(xiàn)了洪水概率預報。

本文在分析運河站的洪水預報誤差統(tǒng)計規(guī)律基礎上，采用誤差異分布概率預報模型開展洪水概率預報研究，提供洪水預報傾向值和預報區(qū)間成果，豐富了運河站的洪水預報信息。

2 方法原理

2.1 誤差異分布概率預報模型

誤差異分布概率預報模型考慮了不同洪水量級下洪水預報誤差的非平穩(wěn)性特征[1]。若將Y和M分別記作預報量的真實值及確定性預報值，(Y，M)代表了至預報時刻所能獲取的所有歷史信息，則未來t時刻預報量yt的預測不確定性可以記作f(yt|mt，Y，M)，其中，mt為t時刻的確定性預報值。預報誤差為

(1)

由于模型預報值在預報時刻是已知量，則t時刻預報量yt可以視作預報誤差的函數(shù)，即，

yt|mt=B(ε)

(2)

式中，B(ε)為預報誤差的函數(shù)。

則預測不確定性可以寫作：

f(yt|mt，Y，M)=f(B(ε)|Y，M)

(3)

即f(yt|mt，Y，M)的推求可以轉(zhuǎn)化為誤差條件概率g(ε|Y，M)函數(shù)的概率分布推求問題。假定預報誤差的先驗分布為正態(tài)分布，即，

ε～N(μ,σ2)

(4)

式中，μ為誤差先驗分布均值，σ為誤差先驗分布標準差。

大量研究發(fā)現(xiàn)，預報誤差的分布函數(shù)與流量級別密切相關，因此假定誤差的均值與標準差和流量具有函數(shù)關系：

E(ε|Y，M)=H(Mt)

(5)

Std(ε|Y，M)=L(Mt)

(6)

式中，E為均值函數(shù)，Std為標準差函數(shù)，H和L為函數(shù)關系，其具體形式不定。由此可以推得預報誤差的后驗分布：

(7)

因此，結(jié)合式(3)可以推得預報量的條件概率分布為

(8)

2.2 預報評價指標

概率預報模型在提供定值預報(如中位數(shù)預報Q50)的同時，還可以提供某一置信度下的洪水預報區(qū)間(如90%預報區(qū)間)，為此，概率預報成果的評價可以分為定值預報成果評價和預報區(qū)間成果評價。具體而言，針對定值預報結(jié)果(Q50)，采用如下3項指標進行預報精度評價。

(1)次洪徑流深相對誤差

ΔR=[(Robs-Rc)/Robs]×100%

(9)

(2)洪峰相對誤差

ΔQm=[(Qm,obs-Qm,c)/Qm,obs]×100%

(10)

(3)確定性系數(shù)

(11)

針對預報區(qū)間成果，采用如下2項指標進行評價：

(1)覆蓋率

(12)

(2)離散度

DI=(qui-qdi)/Qi,obs

(13)

式中，qui、qdi分別為第i時刻概率預報區(qū)間(具有某一置信度，如90%)的上、下限；Qi,obs為第i時刻實測流量；N為預報總時段數(shù)。

3 應用研究

3.1 確定性預報

本次選取運河站以上流域2003—2010年間10場洪水進行新安江模型的率定與驗證，其中，2003—2008年間的8場洪水用于模型率定，2009—2010年間的2場洪水用于模型驗證，計算步長Δt=2 h。表1給出了新安江模型參數(shù)的率定結(jié)果，表2給出了洪水預報精度的統(tǒng)計結(jié)果。

表1 新安江模型參數(shù)率定結(jié)果

表2 率定期和驗證期洪水模擬效果分析成果

由表2可以看出，場次洪水洪峰相對誤差均在15%以內(nèi)，除20070627場次外，其余場次洪量相對誤差均在20%以內(nèi)，平均確定性系數(shù)為0.55。

3.2 預報誤差分析結(jié)果

基于新安江模型的模擬預報結(jié)果，分析了上述10場洪水預報相對誤差與新安江模型預報流量值的關系，如圖1所示。

圖1 預報相對誤差與新安江模型流量預報值關系

由圖1可知，高、低流量預報值呈現(xiàn)出不同的相對誤差特征規(guī)律，高流量預報值的相對誤差變幅較小，而低流量預報值的相對誤差變幅較大。為進一步分析預報相對誤差的統(tǒng)計規(guī)律，根據(jù)預報量的大小對預報量進行分組，求得不同組別預報相對誤差的均值與標準差，進而繪制誤差均值與誤差標準差變化趨勢，如圖2所示。

圖2 相對誤差均值和標準差與確定性預報值關系

由圖2可知，相對誤差均值、標準差隨模型預報值呈線性變化：模型預報值在0～504 m3/s時，相對誤差均值隨預報值呈遞增趨勢；預報值在504～943 m3/s時，相對誤差均值呈遞減趨勢；預報值在943 m3/s以上時，相對誤差均值再次呈遞增趨勢。模型預報值在0～1 090 m3/s時，相對誤差標準差雖波動較大，但總體呈遞減趨勢；預報值在1 090～1 290 m3/s時，相對誤差標準差也呈遞減趨勢，但遞減趨勢變大；預報值在1 290 m3/s以上時，相對誤差標準差仍呈遞減趨勢，但遞減趨勢變緩。

由于相對誤差均值、標準差與預報值呈現(xiàn)分段線性關系，為此，采用分段線性方程進行擬合，擬合效果如圖3所示。

圖3 相對誤差均值、標準差與預報流量擬合

3.3 概率預報結(jié)果

根據(jù)預報流量的概率密度函數(shù)，計算中位數(shù)預報結(jié)果(Q50)和90%置信水平對應的預報區(qū)間。采用次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差及確定性系數(shù)評估中位數(shù)預報結(jié)果的精度，采用覆蓋率和離散度指標評估預報區(qū)間成果的可靠性。評價結(jié)果見表3。

由表3可以看出，就概率預報模型提供的中位數(shù)(Q50)定值預報結(jié)果而言，10場洪水的次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差均在20%以內(nèi)；10場洪水的次洪徑流深相對誤差絕對值的平均值為9.6%，洪峰相對誤差絕對值的平均值為5.3%，確定性系數(shù)平均值為0.69；就概率預報模型提供的90%置信區(qū)間而言，10場洪水的平均覆蓋率達93.4%，平均離散度為1.2，表明90%預報區(qū)間能覆蓋絕大多數(shù)的實測數(shù)據(jù)。

表4給出了概率預報模型提供的中位數(shù)(Q50)定值預報結(jié)果與新安江模型原始預報結(jié)果的精度對比分析結(jié)果。由表4中可知，概率預報模型提供的Q50定值預報結(jié)果要優(yōu)于新安江模型原始預報結(jié)果的精度，經(jīng)概率預報模型處理后，10場洪水的平均確定性系數(shù)由0.55提高到0.69，確定性系數(shù)大于0.5的洪水場次數(shù)由5場提高到8場；10場洪水的次洪徑流深相對誤差絕對值的平均值由11.0%減小到9.6%；洪峰相對誤差絕對值的平均值由5.1%到5.3%，無明顯差異。

為了更為直觀地顯示概率預報模型的預報效果，圖4提供了20050919場洪水的新安江模型預報結(jié)果、概率預報模型的中位數(shù)Q50預報結(jié)果、90%置信度下的預報區(qū)間結(jié)果以及實測流量過程對比圖。從圖4可知，概率預報模型提供的Q50定值預報與實測流量過程更為吻合，且90%預報區(qū)間可以覆蓋絕大多數(shù)的實測流量。

圖4 20050919號洪水的概率預報結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)分析了運河站洪水預報誤差的均值和標準差與預報流量間的關系，發(fā)現(xiàn)洪水預報誤差的均值和標注差與模型預報量間存在顯著的分段線性關系，采用分段線性函數(shù)建立了預報誤差的均值、預報流量和預報誤差的標準差、預報流量間的描述關系。

(2)采用次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差及確定性系數(shù)3個指標， 評估了原始確定性模型預

表3 率定期和驗證期洪水概率預報評估結(jié)果

表4 概率預報模型的Q50預報結(jié)果與新安江模型預報結(jié)果對比

報精度和誤差異分布模型的中位數(shù)(Q50)預報精度。結(jié)果表明，經(jīng)誤差異分布模型處理后，洪水預報精度得到進一步的提高。

(3)基于覆蓋率和離散度指標，評估了誤差異分布模型計算的90%置信度預報區(qū)間對實測系列的覆蓋率。結(jié)果表明，10場洪水的平均覆蓋率達93.4%，平均離散度為1.2， 90%預報區(qū)間能覆蓋絕大多數(shù)的實測數(shù)據(jù)。