胡文林，呂衛(wèi)民，孫晨峰

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

威布爾分布是使用最為廣泛的壽命分布之一，最早由瑞典人威布爾于1951年提出[1]。威布爾分布的優(yōu)越之處主要體現(xiàn)在對小樣本抽樣和對各種類型試驗數(shù)據(jù)有著很強的適應(yīng)能力。威布爾分布是一種具有普遍適應(yīng)性的分布，其在壽命分析中有著廣泛應(yīng)用[2-7]。

當(dāng)前產(chǎn)品質(zhì)量與可靠性穩(wěn)步提高，主要得益于科技的迅猛發(fā)展。以此為背景，在定時截尾試驗中的產(chǎn)品容易出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)，如何在無失效數(shù)據(jù)時合理地估計可靠性參數(shù)，具有重要的理論和實用價值[8]。Martz和Waller[9]最先研究了該類問題，茆詩松[10]、張忠占[11]等從經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)分析方法角度出發(fā)對這類問題進行了相關(guān)研究。然而，這些方法只有當(dāng)樣本量較大時才能得到較好的估計值。這對具有高可靠性、高成本的該型裝備軸承件而言顯然不合適。

文獻[12]給出了只有一個失效數(shù)據(jù)時失效概率的E-Bayes（Expected Bayes）估計和多層Bayes 估計，指出E-Bayes 估計法計算更加簡便且結(jié)果更加穩(wěn)?。晃墨I[13-16]各自研究了故障概率的Bayes 估計、多層Bayes估計和可靠度的估計。當(dāng)前的文獻大多只研究了超參數(shù)服從一種先驗分布如均勻分布的情形，或者對可靠性參數(shù)作出估計，但沒有進行系統(tǒng)的指標評估分析。

本文針對某型裝備軸承件提出了2種可靠性參數(shù)估計模型，結(jié)合實例數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，并以穩(wěn)健性、漸近性和單調(diào)性等指標對參數(shù)估計結(jié)果進行了分析，圖1為本文的邏輯框圖。

圖1 可靠性參數(shù)估計的邏輯框圖Fig.1 Logic diagram of reliability parameter estimation

1 失效概率的E-Bayes估計

疲勞失效是某型裝備軸承件的主要失效模式之一，其疲勞壽命服從威布爾分布[17]。疲勞損傷開始形成于軸承表面下的細裂紋，隨著載荷的持續(xù)作用，裂紋會擴展到表面，這將引起材料接觸面松動。針對失效分布服從威布爾分布的該型裝備軸承件，在無失效數(shù)據(jù)時，考慮失效概率的先驗分布為Beta分布的前提下，給出了失效概率的2種E-Bayes估計模型。

1.1 失效概率的先驗分布

對于本文所討論的威布爾分布及其失效概率，pi=P(T ＜ti)，pi表示樣品在ti時間內(nèi)發(fā)生失效的概率，i=1,2,…,m；ti表示第i 次定時截尾試驗的截尾時間。失效分布為：

式（1）中：t ＞0，β ＞0，η ＞0，β 和η 分別是威布爾分布中的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

其對應(yīng)的共軛先驗分布為Beta分布，則pi密度函數(shù)為：

因而，當(dāng)0 ＜a ＜1，b ＞1 時，π(pi|a,b)為pi的減函數(shù)?；趯ayes 估計的穩(wěn)健性的考慮，超參數(shù)b 取值越大，先驗分布的尾部將越細，這會使Bayes估計具有越差的穩(wěn)健性[18]。因此，對b 設(shè)立一個上界s，s ＞0為某一常數(shù)，由此確定超參數(shù)的取值范圍為0 ＜a ＜1，1 ＜b ＜s，且0 ＜pi＜1。

1.2 失效概率的E-Bayes定義

1.3 失效概率的E-Bayes估計

證畢。

2 分布參數(shù)與可靠度的估計

2.1 失效概率的E-Bayes定義

根據(jù)式（9）、（10），在模型1和模型2中，可以對分布參數(shù)η 和β 進行估計。

2.2 可靠度的E-Bayes估計

3 可靠性參數(shù)估計的指標分析

3.1 穩(wěn)健性

穩(wěn)健性最初源于統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域，它是一種專用術(shù)語，隨著概念的不斷豐富和完善，它逐漸在控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，通常用于表征一種不敏感性，體現(xiàn)在系統(tǒng)對于外界擾動的一種感知和反饋[20]。對于產(chǎn)品，無論時間如何變化，產(chǎn)品特性始終保持一定的穩(wěn)定性。本文主要以可靠性參數(shù)估計值的極差來表征由2種估計模型得到的估計值的穩(wěn)健性，極差值越小，反映得到的可靠性參數(shù)估計值越加穩(wěn)健。

3.2 漸近性

漸近性主要體現(xiàn)在隨著定時截尾試驗時間的推移，該型裝備軸承件的失效概率在2 種模型下的估計值將趨于一致。當(dāng)1 ＜s ＜zi+3 時，有如下結(jié)論[19]：

3.3 單調(diào)性

單調(diào)性是一個反映函數(shù)的增減性，可以定性描述在一個指定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值變化與自變量變化的關(guān)系的數(shù)學(xué)名詞[21]。本文主要考慮隨著時間的推移和超參數(shù)b 的取值上界s 的變化，失效概率和可靠度(t)會表現(xiàn)出一定的單調(diào)性，符合工程實際。

4 實例分析

根據(jù)該型裝備軸承件的定時截尾試驗得到的無失效數(shù)據(jù)如表1 所示。如前所述，該型軸承件的壽命服從威布爾分布。表1中，i 是截尾試驗次數(shù)，ni是截尾試驗樣本數(shù)，ti是截尾試驗時間。

表1 某型裝備軸承件無失效數(shù)據(jù)Tab.1 Zero-failure data of bearings

表2 的估計結(jié)果Tab.2 Calculations of different estimations on

表2 的估計結(jié)果Tab.2 Calculations of different estimations on

失效概率p?1EB1 p?1EB2 Δp?1EB p?2EB1 p?2EB2 Δp?2EB p?3EB1 p?3EB2 Δp?3EB p?4EB1 p?4EB2 Δp?4EB p?5EB1 p?5EB2 Δp?5EB p?6EB1 p?6EB2 Δp?6EB s 3 4 5 6 7 8極差0.024 1250.023 6640.023 1450.022 6550.022 1910.021 7510.002 464 0.024 6060.024 2240.023 8590.023 5100.023 1750.022 8530.001 753 0.000 3910.000 5600.000 7140.000 8550.000 9840.001 1020.000 711 0.026 8150.026 1440.025 5150.024 9250.024 3680.023 8440.002 971 0.027 2950.026 8270.026 3830.025 9590.025 5550.025 1680.002 127 0.000 4800.000 6830.000 8680.001 0340.001 1870.001 3240.000 844 0.031 9650.031 0230.030 1510.029 3400.028 5840.027 8760.004 089 0.032 6460.031 9850.031 3620.030 7730.030 2150.029 6850.002 961 0.000 6810.000 9620.001 2110.001 4330.001 6310.001 8090.001 128 0.036 6610.035 4370.034 3130.033 2790.032 3210.031 4320.005 229 0.037 5580.036 6920.035 8820.035 1200.034 4060.033 7300.003 828 0.000 8970.001 2550.001 5690.001 8410.002 0850.002 2980.001 401 0.051 9410.049 5690.047 4610.045 5690.043 8610.042 3070.009 634 0.053 7400.052 0240.050 4580.049 0200.047 6930.046 4620.007 278 0.001 7990.002 4550.002 9970.003 4510.003 8320.004 1550.002 356 0.075 6700.070 8980.066 8320.063 3150.060 2340.057 5050.018 165 0.079 4870.075 9150.072 7660.069 9590.067 4340.065 1450.014 342 0.003 8170.005 0170.005 9340.006 6440.007 2000.007 6400.003 823

表3 β 和η 的2類加權(quán)綜合估計結(jié)果Tab.3 Calculations of two types of estimations on β and η

根據(jù)表3 和式（11），可計算得到2 種模型下的可靠度的E-Bayes估計(t)和(t)，其結(jié)果見表4。

由表4的計算結(jié)果可以分析得出如下結(jié)論：

1）穩(wěn)健性。對于相同時間取值t 時的可靠度的EBayes 估計，極差值結(jié)果都是非常小的，因而(t)和(t)都是穩(wěn)健的。這說明該型裝備軸承件的失效概率很低，可靠度較高，這與實際定時截尾試驗得到無失效數(shù)據(jù)的情形是相呼應(yīng)的。

2）單調(diào)性。當(dāng)s 取值相同時，隨著時間取值t 越來越大，(t)和(t)對應(yīng)都越來越小，這與式（11）是相符的，并且與實際情況是相符的，因為隨著試驗時間延長，軸承件的失效概率會不斷增加，相應(yīng)的可靠度也會越來越小。

表4 R(t)的2類估計結(jié)果Tab.4 Calculations of two types of estimations on R(t)

5 結(jié)論

1）針對超參數(shù)a 和b 的先驗密度函數(shù)的不同，建立了失效概率p?i,EB和可靠度R?EB(t)的2 種E-Bayes 估計模型，并結(jié)合實例數(shù)據(jù)對某型裝備軸承件的可靠性參數(shù)進行了估計；

2）提出了針對該型裝備軸承件可靠性參數(shù)估計的指標評估分析原則，即穩(wěn)健性、漸近性和單調(diào)性，并結(jié)合得到的估計結(jié)果進行了指標分析，指出利用模型2對該型裝備軸承件進行可靠性參數(shù)估計是更加合理有效的；

3）下一步將探討定數(shù)截尾試驗方案下的數(shù)據(jù)處理問題，以及超參數(shù)的多種不同的先驗分布對可靠性參數(shù)估計的影響。