摘 要：本文通過對一道分段函數題目的改編，試圖將函數的零點、對稱性、單調性、極值等性質貫穿起來，從而引導學生在解決函數問題時關注其圖象與性質，學會以點帶面，將知識學通.

關鍵詞：函數;性質;圖象

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0032-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：程春暖（1988.2-），女，安徽人，博士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

函數是高中數學課程內容的主線，是學生進入高中之后接觸到的第一個難點，也是讓許多學生望而生畏的數學概念.從初中的注重直觀到高中的逐步抽象，學生對函數的認識在理論上應當上升了一個層次.但實際上，許多學生還是：

看到函數，慌了;

沒有頭緒，亂了;

陷于計算，涼了;

再有參數，完了.

本文以一道分段函數的單調性問題為背景，通過對題目的改編，以求讓學生體會解決函數問題關注其圖象與性質才是關鍵.

原題 （2006年北京理）已知fx=3a-1x+4a，x<1

logax，x≥1， 是（-∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是（ ?）.

A.（0，1） B.（0，13） C.17，13 D.17，1

分析 本題考查了一次函數、對數函數及分段函數的單調性.要使函數在R上單調遞減，則需要滿足：① f（x）在（-∞，1）上單調遞減;② f（x） 在（1，+∞）上單調遞減;③當自變量x從-∞趨近于1時，f（x）的極限不小于f（1）.從而有 3a-1<0，

0 3a-1+4a≥loga1， 解得17≤a<13，故選C.

改編角度1 單調性的定義

本練習在原題的基礎上考查了函數單調性的定義.作為第一種變形，知識跨度較小，易于理解，學生接受度也較高.

改編角度2 單調性與零點的關系

零點是函數的重要性質，零點個數與函數的單調性之間有密切關系，因此將問題定位在零點個數考查單調性也是一種常見的方式.

練習2.1 已知fx=3a-1x+4a，x<1，logax，x≥1，若對于任意m∈R，fx=m 至多有1個根，求a的取值范圍.

分析 因為“任意m∈R，fx=m 至多有1個根”，所以fx 在R上必是單調函數.若 fx 在R上單調遞減，則同原題，得a∈17，13;若fx 在R上單調遞增，由分段函數的單調性可知 3a-1>0，a>1，3a-1+4a≤loga1， 此方程組無解.綜上，a∈17，13.

數學解題本質上就是一個不斷轉化的過程，將未知的問題轉化為已知的問題.這種思想可以幫助我們解題，也可以幫助我們改編題目.沿著此思路，就函數的零點，筆者又進行了如下的變形設計：

練習2.2 已知fx=3a-1x+4a，x<1，

logax，x≥1，若對于任意m∈R，fx=m 有且只有1個根，求a的取值范圍.

分析 本題條件由練習2.1中的“至多1個根”改為“有且只有1個根”，對函數的要求由“單調”增強為“單調且連續(xù)”.結合練習2.1的分析可知：3a-1+4a=loga1， a=17 . 經檢驗，a=17 時，fx單調遞減且連續(xù)，所以a=17.

函數單調的情況研究清楚了，不單調的情況自然也就了然于心了.考慮此，筆者設計了如下的變式練習：

分析 “存在m∈R， 使得fx=m 有2個不同的根”意味著fx在R上不單調.因此由練習2.1 及對數函數對a的要求（a>0 且 a≠1）可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞.

.

原題是函數中有字母考查單調性，反過來，在已知單調性的基礎上考查其應用尤其是與不等式相關的問題亦是一個常見的角度，故此在原題中取a=14 設置了如上的變形.

分析 函數解析式是自變量與因變量之間的對應關系，通過對解析式的分析可以得到該函數的相關性質.同時我們也應注意到，圖象也是函數的重要表達形式，且從圖象觀察性質更形象直觀.對于不需要嚴謹推理證明過程的小題，借助圖象可以更快捷方便.本題fx的圖象如圖所示，由圖象可知fx在R上單調遞減.故若想求解fa2-a>-12 只需求得函數值為-12 的自變量即可.又由圖象可知函數值為-12的自變量必大于1，因此由-log4x=-12 求得x=2，從而 a2-a<2，解得-1 ? ? 改編角度4 單調性與對稱性

分析 因為存在 x>1，使得 fx=f（2-x），即 fx 的圖象上存在關于 x=1對稱的兩點，所以fx在R上不單調.由練習2.3可得 a∈0，17∪13，1∪1，+∞. 接下來為了更好地觀察對稱性，我們借助函數的圖象：

由本題可以進一步體會圖象的重要性.若單純地借助解析式進行代數推導將陷入復雜沒有頭緒的計算之中.

改編角度5 單調性與極值、最值

分析 由于該分段函數在-∞，1及1，+∞內分別都是單調函數，故fx若存在極值點，極值點必在分段點x=1處產生，從而fx在R上一定是不單調的.結合練習4的圖象及極值（點）的定義，可得a∈0，17 時，x=1為極大值點;a∈1，+∞ 時，x=1為極小值點;其余情況下fx都不存在極值點.故a∈0，17∪1，+∞.

感悟 1.解析式與與圖象是函數的兩種非常重要的表示方法，通過解析式研究性質可以鍛煉學生的邏輯思維、數學抽象，要求學生對概念有深刻的認識，對函數有本質的理解，而通過圖象獲取函數的性質在解決小題時的優(yōu)點更為顯著.圖象提供了更多的形象思維，更直觀、易于理解，且性質一目了然.筆者在教學過程中針對此類題目總結了如下的口訣，深受學生喜歡.

遇見函數心莫慌，借助圖象來幫忙.

慧眼識珠多發(fā)現，性質利用是關鍵.

含有參數困難增，留心觀察變不變.

困難就像霧霾天，大風起兮藍天見！

2.作為教師，要勤于思考，善于改編，用盡量少的題面幫助學生梳理盡量多的知識.教師的首要職責之一是不能給學生下列印象：數學題相互之間幾乎沒有什么聯(lián)系，與其他事物也根本毫無聯(lián)系.因此在同樣的問題背景下改編設問，知識之間的聯(lián)系更容易產生，知識網絡更容易形成，更有利于學生的整體認知及思維形成.

參考文獻：

[1]G.波利亞.怎樣解題＼[M＼].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.

[責任編輯：李 璟]