劉迎圓，宮建國，徐 穎，戎程錦，王樂勤

（1.上海師范大學(xué) 信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海 200234；2.華東理工大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200237；3.浙江大學(xué) 化工機(jī)械研究所，杭州 310027）

0 引言

空間導(dǎo)葉式離心泵通常采用高而細(xì)的塔狀結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以節(jié)省空間，但容易發(fā)生振動[1]。當(dāng)水力激振的頻率與泵某一部件的固有頻率相等或成比例時(shí)，會發(fā)生共振，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行。研究表明，在流體介質(zhì)的作用下，流體機(jī)械葉輪固有頻率和振型均與在空氣中有所差別[2]。因此，為獲得流體介質(zhì)環(huán)境下的葉輪模態(tài)行為并服務(wù)于后續(xù)的葉輪動力學(xué)分析，有必要研究流固耦合作用下空間導(dǎo)葉式離心泵葉輪的濕模態(tài)特性。

在離心泵等流體機(jī)械的濕模態(tài)分析中，目前主要集中在水環(huán)境下葉輪固有頻率與附加質(zhì)量效應(yīng)的研究。例如，肖若富等[3]基于附加質(zhì)量法從能量守恒的角度推導(dǎo)了水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪在空氣和水環(huán)境下固有頻率的關(guān)系。Egusquiza和Rodriguez等[4-5]采用試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算的方法，開展了水泵水輪機(jī)在靜水中和空氣中的固有頻率的對比分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在水中獲得的振型與空氣中相同，但固有頻率會因水的附加質(zhì)量效應(yīng)而降低。張新和陳宇杰等[6-7]考慮流體的可壓縮性研究了臥式軸流泵葉輪在水中和空氣中的模態(tài)特性，發(fā)現(xiàn)水介質(zhì)不僅會引起葉輪各階固有頻率的降低，還會導(dǎo)致各階振型振動幅值有所減小。施衛(wèi)東等[8]對特大型潛水軸流泵的軸系轉(zhuǎn)動部件進(jìn)行了濕模態(tài)分析，分析了不同情況下葉輪軸系轉(zhuǎn)動部件模態(tài)行為的差異及其原因。尹庭赟和高海司等[9-10]分別對海水淡化增壓泵和蝸殼式混流泵開展流固耦合模態(tài)分析，分析了葉輪結(jié)構(gòu)及其材料屬性對干濕模態(tài)固有頻率的影響，結(jié)果表明金屬材料的楊氏模量越大，葉輪各階固有頻率越大；且加厚后蓋板厚度對提高各階固有頻率作用明顯。綜上，現(xiàn)有葉輪機(jī)械的濕模態(tài)分析中，水體模型多采用在葉輪周圍包裹的水體模型（如圓柱形、方形水體），但這與實(shí)際流體域存在顯著差異；同時(shí)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚未發(fā)現(xiàn)空間導(dǎo)葉式離心泵濕模態(tài)的研究工作。

基于此，本文以某空間導(dǎo)葉式離心泵為對象，考慮實(shí)際流體域的影響，開展流固耦合作用下空間導(dǎo)葉式離心泵葉輪的濕模態(tài)特性分析。主要包括考慮預(yù)應(yīng)力的葉輪模態(tài)分析和靜水介質(zhì)下葉輪的濕模態(tài)分析：（1）首先通過求解Navier-Stoke方程（N-S方程）獲取空間導(dǎo)葉式離心泵的流體作用力，進(jìn)而基于流固耦合算法，研究預(yù)應(yīng)力對葉輪模態(tài)的影響；（2）基于聲-固耦合算法，開展水環(huán)境中葉輪濕模態(tài)特性研究，并分析流體介質(zhì)參數(shù)對葉輪固有頻率的影響，闡明不同介質(zhì)中葉輪模態(tài)差異的原因；（3）結(jié)合葉輪動靜干涉理論，分析葉輪的模態(tài)行為，預(yù)測葉輪的共振特性。

1 基本理論

葉輪結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為：

式中 Ms，Cs，Ks——結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；

F（st）——外界對結(jié)構(gòu)的作用力，包括泵自身的重力、流體作用力和旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力。

葉輪干模態(tài)分析屬于無阻尼模態(tài)分析，Cs=0，F(xiàn)（st）=0，動力學(xué)方程可簡化為：

本文考慮水環(huán)境下葉輪的濕模態(tài)分析，其結(jié)構(gòu)阻尼較小，忽略其對固有頻率和振型的影響。同時(shí)，考慮液體對結(jié)構(gòu)的耦合作用，假設(shè)液體介質(zhì)為無旋、無黏、均勻的可壓縮聲學(xué)流體，則N-S方程可簡化為流體的三維波動方程[6，11]：

式中 c——流體聲速；

p——流體壓力；

k——流體壓縮模量；

ρf——流體密度。

在流固耦合交界面，流體與結(jié)構(gòu)之間的相互作用為：

式中 n——交界面處的法向量；

?p——沿著法線向量的壓力梯度；

將式（3）離散化，得流體的動力學(xué)方程：

式中 Mf——流體質(zhì)量矩陣；

Kf——流體的剛度矩陣；

P——流體聲學(xué)壓力；

R——流體和結(jié)構(gòu)耦合矩陣；

Ff——作用在流體上的外力。

考慮聲學(xué)流體介質(zhì)的作用，結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可表示為：

式中 Fp（t）——耦合面上聲壓在結(jié)構(gòu)上的面力向量；

F0——作用在結(jié)構(gòu)上的流體載荷。

對流體（聲）-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)來說，聯(lián)立式（5）和式（6）即可得到結(jié)構(gòu)聲場耦合的方程：

式中 Mfs——等效耦合質(zhì)量矩陣；

Kfs——等效耦合剛度矩陣。

2 數(shù)值模型的建立

2.1 葉輪幾何模型

空間導(dǎo)葉式離心泵的幾何模型如圖1所示，主要包括喇叭入口、葉輪、空間導(dǎo)葉和出口管路4個(gè)部分。泵的比轉(zhuǎn)速為158，其主要運(yùn)行與結(jié)構(gòu)參數(shù)包括：葉輪出口直徑D2=720 mm，葉輪葉片數(shù)Z=6，導(dǎo)葉葉片數(shù)M=7，設(shè)計(jì)流量Q=2 860 m3/h，設(shè)計(jì)揚(yáng)程H=55 m，轉(zhuǎn)速n=990 r/min。水泵葉輪材料采用具有耐腐蝕性的不銹鋼0Cr18Ni9（S30408），其密度為 7930 kg/m3，彈性模量為 2.04×1011Pa，泊松比為0.3。

圖1 空間導(dǎo)葉式離心泵幾何示意

2.2 考慮預(yù)應(yīng)力的流固耦合模型

采用Block Lancos方法對空間導(dǎo)葉式離心泵進(jìn)行模態(tài)分析。離心泵結(jié)構(gòu)域中，葉輪與軸作為整體考慮，主要約束為葉輪中心軸軸承支撐處的圓柱約束。葉輪軸系結(jié)構(gòu)的主要約束與載荷如圖2所示，葉輪預(yù)應(yīng)力包括葉輪自身的重力、旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力和水體作用于葉片和輪轂、蓋板等部分的壓力。葉輪自身重力與旋轉(zhuǎn)時(shí)的離心力可通過施加重力加速度和旋轉(zhuǎn)速度設(shè)定。水體作用于葉輪上的壓力則是基于單向流固耦合的方法，首先通過CFX軟件采用有限體積法對流體流動控制方程進(jìn)行離散求解，獲取流體作用力后通過流固耦合面施加到葉輪軸系結(jié)構(gòu)上。

圖2 有預(yù)應(yīng)力葉輪與軸結(jié)構(gòu)的約束設(shè)置

流體預(yù)應(yīng)力計(jì)算時(shí)，采用六面體網(wǎng)格對泵的水力模型進(jìn)行離散如圖3所示，葉輪與導(dǎo)葉的單元數(shù)分別為4 192 440和5 053 356，全流道總網(wǎng)格單元超過107。另外，為了保證足夠的求解精度，葉輪和導(dǎo)葉的無量綱y+值分別為90與50。采用RNG k-ε湍流模型進(jìn)行控制方程的封閉求解，主要邊界條件為質(zhì)量進(jìn)口、壓力出口，近壁面采用標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)處理。

圖3 流體預(yù)應(yīng)力計(jì)算的葉輪與導(dǎo)葉流體域網(wǎng)格

2.3 基于聲固耦合算法的葉輪濕模態(tài)模型

基于聲固耦合算法，考慮流體的可壓縮性，對空間導(dǎo)葉式離心泵開展無預(yù)應(yīng)力的濕模態(tài)分析。離心泵的結(jié)構(gòu)域和水體域網(wǎng)格如圖4所示，結(jié)構(gòu)和流體單元分別采用高階單元SOLID186和FLUID221，結(jié)構(gòu)和水體的網(wǎng)格單元數(shù)分別為107 096和191 459，節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為180 757和282 042。

圖4 葉輪結(jié)構(gòu)與水體部分的網(wǎng)格

水體模型通過Workbench中的Acoustic body設(shè)置為聲學(xué)流體，并將葉輪葉片及其前后蓋板內(nèi)表面設(shè)置為流固耦合面。同時(shí)，為了模擬葉輪在水域的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)，水域進(jìn)口設(shè)置為自由液面，出口設(shè)置為帶壓面，壓力為537.922 kPa（揚(yáng)程55 m）。

3 結(jié)果與分析

3.1 葉輪預(yù)應(yīng)力求解

流體載荷采用穩(wěn)態(tài)計(jì)算，計(jì)算得到的離心泵揚(yáng)程與效率如圖5所示?？梢钥闯?，離心泵的揚(yáng)程與效率的計(jì)算值均與試驗(yàn)值較為接近，這說明文中的數(shù)值模型較為準(zhǔn)確。

圖5 泵外特性曲線

基于上述模型，計(jì)算葉輪表面的流體作用力后，通過Workbench流固耦合程序施加到葉輪流固耦合界面上，可得到預(yù)應(yīng)力下葉輪的等效應(yīng)力和葉輪變形如圖6所示。可以看出，葉輪的等效應(yīng)力最大值集中在葉片與輪轂相接的根部，葉輪與軸的連接處、葉輪前后蓋板等效應(yīng)力均較小。與未變形結(jié)構(gòu)相比，葉輪表現(xiàn)為相對于軸的彎曲變形，并由葉輪進(jìn)口處向葉輪出口擴(kuò)展。綜合考慮葉輪軸系等效應(yīng)力和變形的情況可知，如果需要增強(qiáng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度，應(yīng)該從葉片與前后蓋板連接處和軸的剛度入手。

圖6 預(yù)應(yīng)力作用下葉輪的等效應(yīng)力與變形分布（990 r/min，黑色邊框?yàn)槲醋冃谓Y(jié)構(gòu)）

3.2 預(yù)應(yīng)力作用下的葉輪模態(tài)分析

有無預(yù)應(yīng)力作用下葉輪的前6階固有頻率見表1。可以看出，有無預(yù)應(yīng)力作用下葉輪不同階次的固有頻率有所差別，但是相差不大。同時(shí)，采用增大泵轉(zhuǎn)速的方法使預(yù)應(yīng)力增大，研究預(yù)應(yīng)力的進(jìn)一步影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)預(yù)應(yīng)力增大到原來值的6倍后，考慮預(yù)應(yīng)力下的固有頻率仍未有較大變化，變化率均在1.8%以內(nèi)（見表1）。這說明，葉輪結(jié)構(gòu)在預(yù)應(yīng)力的作用下并未出現(xiàn)明顯的應(yīng)力剛化，同時(shí)流場作用力以及慣性力對葉輪固有頻率的影響并不明顯。

表1 有無預(yù)應(yīng)力作用的葉輪固有頻率對比 Hz

預(yù)應(yīng)力作用下葉輪的前6階振型如圖7所示。圖中采用節(jié)徑ND（Nodal diameter）的數(shù)目i和節(jié)圓NC（Nodal circle）的數(shù)目j表示葉輪的振型（i，j），如圖7中1階模態(tài)（0，1）代表該葉輪振型中包含0個(gè)位移為0的線和1個(gè)位移為0的圓。可以看出，在共振頻率作用下，空間導(dǎo)葉式離心泵葉輪的振型主要有3類，分別為：彎曲振動模態(tài)、旋轉(zhuǎn)振動模態(tài)和軸向振動模態(tài)。

圖7 有預(yù)應(yīng)力作用下葉輪的前6階振型（黑色邊框?yàn)槲醋冃谓Y(jié)構(gòu)）

3.3 葉輪濕模態(tài)分析

固有頻率下降率（FRR）是用來描述液體介質(zhì)對葉輪結(jié)構(gòu)固有頻率下降的影響[12-18]，如下式所示：

式中 fa——葉輪的固有頻率（干模態(tài)）；

fw——葉輪的固有頻率（濕模態(tài)）。

同時(shí)，本文采用無量綱量附加質(zhì)量系數(shù)l描述水體的附加質(zhì)量見下式:

式中 Ma——附加質(zhì)量矩陣。

葉輪在水環(huán)境下的前6階固有頻率及其下降率和附加質(zhì)量系數(shù)見表2。可以看出，水環(huán)境下葉輪各階次的固有頻率均大幅降低，除第三階固有頻率下降率為33.81%外，其他階次下的葉輪結(jié)構(gòu)固有頻率下降率達(dá)約60%～65%左右。相應(yīng)地，水體附加質(zhì)量系數(shù)除第三階次為1.28外，其它均在5.21～7.26范圍內(nèi)。這說明，相對于干模態(tài)而言，水體的附加質(zhì)量效應(yīng)較大，而水體剛度與結(jié)構(gòu)剛度相比可以忽略，故水環(huán)境下葉輪的固有頻率下降。

表2 水環(huán)境下葉輪的固有頻率及下降率

葉輪濕模態(tài)下的前6階振型如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在濕模態(tài)共振頻率作用下，離心泵葉輪的振型主要有兩類：彎曲振動模態(tài)和旋轉(zhuǎn)振動模態(tài)。與干模態(tài)葉輪振型相比如圖7所示，濕模態(tài)下的葉輪振動幅值有明顯較小的趨勢，這說明水體的附加質(zhì)量和附加阻尼對葉輪的振動產(chǎn)生了抑制作用。

為了進(jìn)一步分析流體特性對葉輪濕模態(tài)的影響，本文對不同流體特性參數(shù)下葉輪模態(tài)開展相應(yīng)的分析。流體密度與聲速對葉輪濕模態(tài)下固有頻率的影響如圖9所示。可以看出，流體環(huán)境下，葉輪固有頻率主要取決于流體介質(zhì)聲速，而受流體介質(zhì)密度的影響較小；同時(shí)流體介質(zhì)的聲速越小，葉輪濕模態(tài)下的固有頻率越小。這是由于在濕模態(tài)分析中，流體介質(zhì)被假設(shè)為聲學(xué)流體，流體的附加質(zhì)量與其聲速的大小密切相關(guān)。流體介質(zhì)的聲速減小，流體的附加質(zhì)量增大，葉輪的固有頻率減小?？紤]到氣液兩相介質(zhì)的相互摻混會改變流體流動的結(jié)構(gòu)特征，使流體聲速大幅降低，故高參數(shù)化（高轉(zhuǎn)速、高水頭等）流體機(jī)械的濕模態(tài)分析，應(yīng)當(dāng)考慮空化氣液兩相流動等因素的影響。

圖8 葉輪水環(huán)境下的濕模態(tài)前6階振型（黑色邊框?yàn)樵Ｐ臀恢茫?/p>

圖9 不同介質(zhì)參數(shù)環(huán)境下葉輪的固有頻率

3.4 動靜干涉原理及葉輪共振特性分析

葉輪與導(dǎo)葉的動靜干涉是流體機(jī)械葉輪以及靜止部件的主要振源[16-17]。在動靜干涉作用下，葉輪的激振頻率與導(dǎo)葉等靜止部件的激振頻率分別為：

式中 fr——葉輪的激振頻率；

Zg——導(dǎo)葉數(shù)；

fs——導(dǎo)葉等靜止部件的激振頻率；

Zr——葉輪葉片數(shù)。

而激振力的振型由葉輪葉片數(shù)和導(dǎo)葉數(shù)決定[18]。本文模型泵的激勵力與振型見表3。一般來說，k值較小的振型容易被激勵出來，因此表3中給出了|k|＜10的振型，其中k=-1和k=-2更加容易被激勵出。

式中 k——振型中的節(jié)徑數(shù)目。

表3 激振力頻率及振型（|k|＜10）

由表3可以看出，葉輪最小的激振力頻率為115.5 Hz，其與結(jié)構(gòu)干模態(tài)和有預(yù)應(yīng)力的一階固有頻率非常接近，此時(shí)容易誘發(fā)葉輪共振。但考慮到水體作用下葉輪濕模態(tài)固有頻率有所降低，激振力頻率與固有頻率不再相近，進(jìn)而抑制了葉輪共振模態(tài)的激發(fā)。

4 結(jié)論

（1）預(yù)應(yīng)力對葉輪的固有頻率影響不大，表明葉輪結(jié)構(gòu)在流體作用力、旋轉(zhuǎn)離心力和自身重力的作用下并未出現(xiàn)明顯的應(yīng)力剛化。

（2）水環(huán)境下，葉輪各階固有頻率均大幅降低，葉輪振型的振動幅值有所減小。這是由于水體會在葉輪的運(yùn)動下產(chǎn)生協(xié)同振動，引起水體的附加質(zhì)量效應(yīng)和阻尼作用，振動能量向外輻射，造成固有頻率和振動幅值的下降。

（3）葉輪固有頻率主要取決于介質(zhì)的聲速，而受介質(zhì)密度的影響較小。同時(shí)，介質(zhì)的聲速越大，葉輪濕模態(tài)下的固有頻率越小。這是由于在濕模態(tài)分析中，流體被假設(shè)為聲學(xué)流體，流體的附加質(zhì)量與介質(zhì)聲速密切相關(guān)?？紤]到氣液兩相介質(zhì)的相互摻混會降低流體聲速，故高參數(shù)化（高轉(zhuǎn)速、高水頭等）流體機(jī)械的濕模態(tài)分析應(yīng)該空化兩相流動等因素的影響。

（4）離心泵動靜干涉的激振力頻率分析發(fā)現(xiàn)，葉輪的最小激振力頻率與結(jié)構(gòu)干模態(tài)、含預(yù)應(yīng)力條件下的一階固有頻率非常接近，容易誘發(fā)葉輪共振。但考慮到水體作用下葉輪濕模態(tài)固有頻率有所降低，激振力頻率與固有頻率不再相近，進(jìn)而抑制了葉輪共振模態(tài)的激發(fā)。