胡 搖， 李騰飛， 郝 群， 常 旭

(1.北京理工大學光電學院精密光電測試儀器及技術(shù)北京市重點實驗室，北京100081；2.中國北方車輛研究所，北京100072)

1 引 言

非球面光學元件廣泛應(yīng)用于各種光學儀器中，用來改變光路、校正像差、改善像質(zhì)、減少光學系統(tǒng)的體積和重量[1，2]。特別是在天文望遠鏡，外太空望遠鏡和衛(wèi)星遙感相機領(lǐng)域，高精度的非球面起著十分重要的作用[3，4]。

非球面的加工誤差可以分為兩類：面形誤差(surface figure error，SFE)和面形參數(shù)誤差。面形誤差是被測面與標稱面之間的不規(guī)則偏差，可以通過干涉儀[1]和輪廓儀[5]進行測量；面形參數(shù)誤差包括頂點曲率半徑加工誤差和二次常數(shù)加工誤差。其中，頂點曲率半徑(vertex radius of curvature，VROC)加工誤差是指非球面的實際頂點曲率半徑與理想值之間的偏差，它影響非球面的基本性質(zhì)，比如非球面的焦距，進而影響光學系統(tǒng)的像差和成像質(zhì)量。精確測量非球面的頂點曲率半徑加工誤差對光學面的加工制造和校準是非常重要的，一直以來是研究的熱點問題。

作為參考，傳統(tǒng)的球面曲率半徑測量方法是“貓眼和共焦位置”法，即通過自準直或干涉條紋判讀法來精確定位貓眼位置和共焦位置兩點，并測得這兩點之間的距離來獲得曲率半徑[5，6];而非球面的幾何關(guān)系較為復(fù)雜，通常很難直接找到其共焦位置，為頂點曲率半徑加工誤差的測量帶來一定的困難。按照是否接觸被測面，非球面頂點曲率半徑加工誤差的主要測量方法可以分為兩類：接觸式測量方法和非接觸式測量方法。

接觸式測量方法是利用輪廓儀[5，7，8]和三坐標機[9～12]，對被測非球面進行逐點測量，通過曲面擬合計算其頂點曲率半徑，進而與理想值比對計算加工誤差。但是，該方法容易受到掃描非正交性的影響，引入較大的系統(tǒng)誤差[13]。測量儀器接觸被測面，一般情況下要求被測面進行拋光處理；在測量過程中，測量儀器和被測非球面均會因擠壓而產(chǎn)生磨損和變形，影響測量結(jié)果；對環(huán)境要求高，靜電、灰塵和震動等均會使測量精度降低[8，13，14]。

非接觸式測量方法不會造成被測面的損傷，測量結(jié)果精度較高，受到越來越多的關(guān)注。進一步對非接觸式測量方法進行細分，包含非干涉測量方法與干涉測量方法兩大類。對于非干涉測量方法，一種常用的方法是使用激光掃描輪廓儀[15]來獲得被測面的頂點曲率半徑加工誤差，其相對測量精度可以達到0.02%。哥倫比亞國立大學的Mejía等基于哈特曼光闌檢驗[16]，提出了一種Null screen方法來測量二次曲面的頂點曲率半徑加工誤差[17]，相對測量精度可以達到0.15%，但是該方法存在Null screen只能測量某一個特定類型的非球面的問題，導(dǎo)致其動態(tài)測量范圍較窄;普埃布拉州立大學的Diaz-Uribe[18，19]、清華大學王浩[2]和中國科學院光電技術(shù)研究所的黃傳科[20]等基于法線像差的幾何性質(zhì)，進行非球面頂點曲率半徑加工誤差的測量，相對測量精度可以達到0.5%。這類方法的原理均較為簡單，但是由于儀器和設(shè)備的制約，相對測量精度或者測量范圍受到一定的限制。

對于干涉測量方法，一般是通過零位補償干涉來獲得非球面的頂點曲率半徑加工誤差[21，22]。漢茨維爾阿拉巴馬大學的Robinson等通過零位干涉系統(tǒng)獲得的相對測量精度優(yōu)于0.1%[23]；但是，一種零位補償器或者零位全息圖(computer generated hologram，CGH)只能測量某一個特定類型的非球面，測量范圍窄，周期長，開發(fā)成本較高。而基于部分補償干涉(partial compensation interferometry，PCI)的非球面測量可以在提高相對測量精度的同時拓寬測量范圍，具有較廣的應(yīng)用前景；然而，傳統(tǒng)的PCI系統(tǒng)只能測量非球面的面形誤差，無法獲得非球面的頂點曲率半徑加工誤差。目前，僅有浙江大學楊甬英等提出了一種基于部分零位干涉的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量方法[24]，使用部分零位干涉系統(tǒng)的多重結(jié)構(gòu)模型進行同步優(yōu)化，同時獲得被測非球面的頂點曲率半徑加工誤差和面形誤差，其相對測量精度可以優(yōu)于0.025%；該方法使用的干涉系統(tǒng)多重結(jié)構(gòu)模型，可能會導(dǎo)致波前相位的測量逐漸積累誤差，最終影響整個系統(tǒng)的測量精度。

本文首先針對PCI系統(tǒng)中頂點曲率半徑加工誤差與面形誤差的耦合問題，提出旋轉(zhuǎn)對稱非球面的誤差分離原理，從而消除面形誤差中耦合的部分頂點曲率半徑加工誤差；然后，在分析PCI系統(tǒng)的剩余波前像差的基礎(chǔ)上，建立初級球差項與頂點曲率半徑加工誤差的關(guān)系；最后，提出一種基于PCI的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量方法，在簡化測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的同時，實現(xiàn)非球面頂點曲率半徑加工誤差的高精度測量。

2 基本測量原理

2.1 部分補償干涉法的原理

光學系統(tǒng)中用非球面光學元件可以在增強像差的同時減少系統(tǒng)中光學元件的數(shù)量。但是如果將非球面光學元件和它所屬的系統(tǒng)分開，那么在進行非球面檢測時，該元件會產(chǎn)生非球面波前;而在干涉系統(tǒng)中，非球面波前與參考波前干涉的條紋密度很可能超過探測器的分辨率，因此非球面波前自身的檢測要比球面波前或者平面波前較困難[16]。

零位補償干涉法通過使用零位補償器把非球面波前完全轉(zhuǎn)化為球面波前或者平面波前，然后與參考波前進行干涉，對其結(jié)果進行分析計算，即可獲得被測非球面光學元件的相關(guān)信息;PCI法則使用部分補償器減小干涉系統(tǒng)剩余波前的最大斜率，使得干涉條紋的密度滿足探測器分辨率的要求[25]，同時具有較高的精度、較大的動態(tài)范圍和一定的通用性。

PCI法用于非球面面形誤差測量的原理如圖1所示，包括1臺實際干涉儀以及1臺通過計算機建立的虛擬干涉儀，PC是部分補償器(partial compensator)。在實際干涉儀中，采用實際PC補償被測非球面，從而得到包含被測面誤差信息的一幅實際干涉圖；在計算機中，根據(jù)實際干涉光路，在被測面位置虛設(shè)與被測非球面對應(yīng)的標準非球面，并代入已知的PC參數(shù)，用光線追跡的方法得到4幅移相虛擬干涉圖。采用數(shù)字莫爾移相干涉技術(shù)比較處理實際干涉圖與虛擬干涉圖，即可得到被測非球面的面形誤差信息[3，26]。

圖1 部分補償干涉法原理圖Fig.1 Schematic diagram of partial compensation interferometry

對頂點曲率半徑加工誤差測量而言，與零位補償干涉系統(tǒng)不同，PCI系統(tǒng)不存在零位置，無法確定實際被測面和虛擬被測面的相對位置，使部分頂點曲率半徑加工誤差信息被離焦補償而丟失，而無法直接獲得非球面的頂點曲率半徑加工誤差;同時頂點曲率半徑加工誤差與面形誤差耦合。為有效分離2種誤差，并發(fā)揮PCI方法的優(yōu)勢，基于PCI本文進行了非球面頂點曲率半徑加工誤差測量的研究。

2.2 誤差分離原理

該原理的目的是將頂點曲率半徑加工誤差剔除，得到完整的面形誤差信息。光學系統(tǒng)中通常采用的是旋轉(zhuǎn)對稱非球面，在直角坐標系中，設(shè)Z軸為非球面的旋轉(zhuǎn)對稱軸，非球面的頂點P與坐標原點重合，可以建立非球面的曲面方程，用以表征非球面的面型，其關(guān)系式可表示為[16]：

(1)

式中：S2=x2+y2；|S|表示非球面上任意一點到旋轉(zhuǎn)對稱軸的徑向距離；R0是非球面的頂點曲率半徑；K0是二次曲面常數(shù)，K0=-e2，e為二次曲面的偏心率；A2i是高次非球面系數(shù)。

對式(1)進行麥克勞林級數(shù)展開(McLaurin series expansion)，可以獲得：

(2)

式中D2i為非球面形變系數(shù)。

2.3 非球面頂點曲率半徑加工誤差測量的原理

在獲得去離焦面形誤差的基礎(chǔ)上，研究剩余波前像差的初級球差項與頂點曲率半徑加工誤差的關(guān)系，可以得到基于PCI的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量方法。

首先，對PCI系統(tǒng)的剩余波前像差進行研究。圖2為部分補償干涉系統(tǒng)測量臂的結(jié)構(gòu)示意圖，SUT表示被測非球面(aspheric surface under test，SUT)；剩余波前經(jīng)由理想透鏡匯聚在像平面處，然后與參考球面波干涉形成部分補償干涉圖。

圖2 部分補償干涉系統(tǒng)測量臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch map of the measured arm of the partial compensation interferometer

在PCI系統(tǒng)中，SUT的球差并沒有被完全補償，存在部分余量，從SUT處反射的光線不沿原路返回，剩余波前為非球面波前，系統(tǒng)存在一定的剩余波前像差。當沿光軸方向移動SUT時，剩余波前的分布會發(fā)生變化，即系統(tǒng)會產(chǎn)生額外的剩余波前像差，且種類與原剩余波前像差一致，不會產(chǎn)生新的像差分量。鑒于PCI系統(tǒng)是以補償球差為主，這里只考慮剩余波前像差中的球差分量，將其變化量記為ΔWS(Δl)，其中Δl是SUT沿光軸方向的位置變化量，其關(guān)系可以表示為[27]：

(3)

為了便于分析和研究，需建立Zernike初級球差系數(shù)與Δl的關(guān)系。一般用Zernike多項式的前九項表示初級像差，對其進行合并同類項和等價替換，可以得到球差分量的變化量表達式：

ΔWS(Δl)=6·ΔZ8·S4

(4)

式中：ΔZ8是Zernike多項式的第9項系數(shù)的變化，可以用來表示初級球差的變化。

可知，ΔZ8與Δl成正比[27]，則Z8隨SUT沿光軸方向的位移滿足直線關(guān)系：

Z8(Δl)=k·Δl+b

(5)

式中：k和b分別是直線的斜率和截距。

然后，對初級球差項Z8與頂點曲率半徑加工誤差ΔR的關(guān)系進行研究。構(gòu)造4種不同的SUT形式用于像差分析。

(1) 實際SUT：同時包含去離焦面形誤差和頂點曲率半徑加工誤差，記為SR，其剩余波前的初級球差用Z8R來表示；

(2) 虛擬SUT：只包含去離焦面形誤差，記為SF，其剩余波前的初級球差用Z8F來表示；

(3) 構(gòu)造SUT：只包含頂點曲率半徑加工誤差，記為SC，其剩余波前的初級球差用Z8C來表示；

(4) 理想SUT：不包含任何加工誤差，記為SV，其剩余波前的初級球差用Z8V來表示。

如果沿光軸方向移動SR、SF、SC和SV相同的距離Δl，根據(jù)式(5)，Z8R、Z8F、Z8C、Z8V的數(shù)值變化均滿足直線關(guān)系，則Z8R-Z8F和Z8C-Z8V也是直線，記Z8R-Z8F=Z8RF，則有：

Z8RF=kRF·Δl+bRF

(6)

式中：kRF和bRF分別是直線的斜率和截距。

同理，記Z8C-Z8V=Z8CV，則有：

Z8CV=kCV·Δl+bCV

(7)

式中：kCV和bCV分別是直線的斜率和截距。

大量仿真實驗結(jié)果表明：式(6)和式(7)表示的兩條直線具有較好的平行關(guān)系，即kRF≈kCV；而kCV與非球面頂點曲率半徑加工誤差ΔR近似成正比，即

kCV=α·ΔR+β

(8)

式中：α是比例系數(shù)；β是直線的截距。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定后，無需實際被測面即可通過光學設(shè)計軟件進行預(yù)先標定。

因此，利用包含實際SUT的實際PCI和包含理想SUT的虛擬PCI系統(tǒng)1采用數(shù)字莫爾移相干涉測量得到的結(jié)果，以及包含虛擬SUT的虛擬PCI系統(tǒng)2模擬得到的結(jié)果，即可擬合得到式(6)所示直線和kRF；根據(jù)kRF≈kCV以及預(yù)先標定得到的α和β，利用式(8)，即可求得實際SUT的頂點曲率半徑加工誤差ΔR。

3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與測量流程

建立圖3所示的基于PCI的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量系統(tǒng)框圖，使用虛擬PCI系統(tǒng)1和實際PCI系統(tǒng)來測量實際SUT(即SR)位于光軸不同位置時的剩余波前像差，使用虛擬PCI系統(tǒng)2來獲得虛擬SUT(即SF)位于光軸不同位置時的球差Z8F，具體測量流程為：

(1) 確定補償鏡和被測鏡名義參數(shù)后，預(yù)先建模構(gòu)造SUT，標定求解kCV與ΔR的關(guān)系，計算其比例系數(shù)α和截距β；

(2) 基于PCI法和誤差分離原理，獲得實際SUT的去離焦面形誤差；

(3) 利用虛擬PCI系統(tǒng)1和實際PCI系統(tǒng)，通過數(shù)字莫爾移相干涉技術(shù)，計算實際SUT(包含面形誤差和頂點曲率半徑加工誤差)位于光軸不同位置Δl時的剩余波前球差Z8R；

(4) 利用虛擬PCI系統(tǒng)2，獲得虛擬SUT(包含去離焦面形誤差)位于光軸不同位置Δl時的球差Z8F；

(5) 計算Z8R-Z8F，對其與Δl關(guān)系進行擬合，計算斜率kRF，利用kRF≈kCV獲得kCV；

(6) 利用式(8)計算實際SUT的頂點曲率半徑加工誤差ΔR。

圖3 基于PCI的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量系統(tǒng)框圖Fig.3 Diagram of fabrication error measuring system for the VROC of aspheric surface based on PCI

4 實驗驗證

在第2.3節(jié)闡述的測量原理中，ΔZ8與Δl成正比是嚴格滿足的，但式(6)和式(7)表示的兩條直線具有較好的平行關(guān)系，即kRF≈kCV是近似關(guān)系，且式(8)所示線性關(guān)系也是近似的，因此有必要通過仿真實驗驗證上述原理的精度和可行性。

利用ZEMAX對基于PCI的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量法進行驗證，理想非球面參數(shù)：R0=1 179.45 mm，D=580 mm，K0=-0.499 4，非球面度107.1λ，激光器的波長為550 nm。仿真實驗中，實際PCI系統(tǒng)也由ZEMAX軟件仿真完成。以Zernike多項式的形式來向?qū)嶋HSUT添加面形誤差，其值為：第5項至第18項和第20項系數(shù)10-4，相應(yīng)的分布如圖4所示。向?qū)嶋HSUT添加的頂點曲率半徑加工誤差為1.54 mm，即實際SUT的頂點曲率半徑為1 180.99 mm。

圖4 向?qū)嶋HSUT添加的面形誤差分布Fig.4 The distribution of surface error added to the real SUT

首先，求解kCV與ΔR的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示，其比例系數(shù)α=0.475 5，截距β=0.003 2。

圖5 kCV與ΔR的關(guān)系Fig.5 The relationship between kCV and ΔR

其次，分別將實際SUT和虛擬SUT置于光軸的不同位置Δl，共取相隔0.5 mm的9個采樣點，計算其剩余波前球差Z8R和Z8F。

然后，計算Z8R-Z8F，并對Z8RF和Δl的關(guān)系進行擬合，結(jié)果如圖6所示，斜率kRF=0.740 5。

圖6 Z8RF和Δl的關(guān)系Fig.6 The relationship between Z8RF and Δl

最后，kCV=kRF=0.740 5，根據(jù)式(8)，計算實際SUT的頂點曲率半徑加工誤差ΔR=1.56 mm。

對比引入頂點曲率半徑加工誤差真值1.54 mm，結(jié)果的相對測量精度為(ΔR-1.54)/R0=0.002%。

向非球面添加不同的頂點曲率半徑加工誤差，可以得到如表1所示的結(jié)果。

表1 不同頂點曲率半徑加工誤差的測量結(jié)果Tab.1 Measuring results of VROC fabrication error

5 結(jié) 論

針對當前部分補償干涉法中缺少頂點曲率半徑加工誤差測量方法的現(xiàn)狀，本文提出一種基于部分補償干涉的非球面頂點曲率半徑加工誤差測量方法，以部分補償干涉系統(tǒng)的剩余波前像差為切入點，對其進行分析和研究，得到了初級球差項與頂點曲率半徑加工誤差的關(guān)系，進而實現(xiàn)頂點曲率半徑加工誤差的高精度測量。

該方法的原理相對測量精度仿真結(jié)果優(yōu)于0.003%，實際測量時其限制因素包括：(1) 測量過程中的曲面擬合、Zernike多項式擬合和直線擬合引入的誤差；(2) 系統(tǒng)測量誤差，如面形誤差測量偏差和實際被測非球面沿光軸方向的位移偏差等；(3) 環(huán)境因素的干擾，如光學平臺的振動、大氣擾動等。對上述誤差源進行限制和校準，可以進一步提高非球面頂點曲率半徑加工誤差的相對測量精度。