施長燕 黃荷燕

在函數(shù)版塊的學習中，同學們總是困擾于其抽象思維的要求而對很多問題望而卻步，甚至連一些耳熟能詳?shù)念}型也往往不能得分，在運用反比例函數(shù)的增減性以及結合圖像求取值范圍時也會出現(xiàn)一些失誤?，F(xiàn)將同學們在學習過程中常見的錯誤進行分析，以做到有效預防。

一、掌握性質(zhì)

例1對于反比例函數(shù)y=-2，下列說法不正確的是（）。

A.圖像分布在第二、四象限

B.當x>0時，y隨x的增大而增大

C.圖像經(jīng)過點（1，-2）

D.若點A（x1，y1），B（x2，y2）都在圖像上，且x1

【錯因分析】有同學選擇B項，主要認為k=-2<0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)就認為y隨x的增大而增大，條件x>0給得多余了，這是對“x>0”這樣的條件理解不仔細、不深入。其實當x>0時，只需考慮第四象限內(nèi)的圖像。

解：A.k=-2<0，∴它的圖像在第二、四象限，故本選項說法正確;

B.k=-2<0，當x>0時，y隨x的增大而增大，故本選項說法正確;

C.∵-21=-2，∴點（1，-2）在它的圖像上，故本選項說法正確;

D.點A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函數(shù)

y=-2x的圖像上，若x1

<0y2;若0

在利用反比例函數(shù)概念解決問題時，有的同學會忽略反比例函數(shù)y=kx中自變量x的取值范圍這個條件，從而解答錯誤。

二、把握圖像直觀性例2已知點A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（3，ky3）都在反比例函數(shù)y=x（k>0）的圖像上，則y1、y2、y3的大小關系為。

【錯因分析】有同學的答案為y10時，y隨x的增大而減?。┍容^出函數(shù)值的大小。

解：反比例函數(shù)的增減性有別于一次函數(shù)的增減性，要落實到每一個象限內(nèi)討論，即分x>0與x<0兩種情況。本題因為k>0，所以圖像在一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，y20，所以正確答案為y2

三、理解k的幾何意義

例3如圖2，反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點E，與邊BC相交于點F，連接OF。點F是BC的中點嗎？

【錯因分析】部分同學由于對函數(shù)y=kx中的系數(shù)k的幾何意義沒有理解到位，忽視了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，故而連解決問題的思路都沒有找到。也有同學沒能抓住點E、B、F三個坐標之間的關聯(lián)，出現(xiàn)錯誤性判斷。解法一：設中點E的坐標為（t，k），根據(jù)題意得點B的坐標為（t，2k），點F的坐標為t（1t，2k），所以點F是BC的中點。

此解法以“坐標”之間的關聯(lián)為主，即從“數(shù)”的層面去解決問題。其實本題也可以從“形”的角度做出推斷。

解法二：連接OB，∵E是AB中點，∴S△AOEkk=S△BOE=2?！逽△COF=2，S△AOB=S△COB，∴S△COF11=2S△COB，∴CF=2CB。即F是BC的中點。

四、綜合運用

例4如圖3，兩個邊長分別為a、b（a>b）的正方形連在一起，三點C、B、F在同一直線上，反比例函數(shù)y=kx在第一象限的圖像經(jīng)過小正方形右下頂點E。若OB2-BE2=8，則k的值是（）。

A.3

B.4

C.5

D.45

【錯因分析】在雙曲線與其他幾何圖形相結合的問題中，通過已知條件求比例系數(shù)k，往往都是利用幾何圖形的性質(zhì)提煉出等量關系，求出圖像上某點的坐標，然后利用xy=k這一本質(zhì)解決問題的。在上述問題中，有的同學看到“OB2-BE2=8”這一條件，慣性思維立刻聯(lián)想到勾股定理，然而這里雖有∠OBE=90°，但OB又不能成為△OBE的斜邊，于是就陷入了困局。

【正確解答】我們不妨換個思路，把等式的左邊看成單純的平方差公式，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到OB=2OA=2AB，EB=2DE=2BD，代入原式得到（OA+DE）（AB-BD）=4。設E點坐標為（x，y），進而得到xy=4，據(jù)此可得k=4。故選B。

通過以上幾個問題的解決，同學們有沒有對“抽象”的函數(shù)問題又增添了幾分自信呢？其實函數(shù)問題并沒有我們想象得那么難，同學們只要牢牢掌握它們的基本概念和性質(zhì)，多借助函數(shù)圖像，靈活運用好數(shù)形結合思想，敢于聯(lián)想，敢于嘗試，就一定能把問題順利解決，在“函數(shù)”這個天地中自由地翱翔！

（作者單位：江蘇省常熟市濱江實驗中學，江南大學附屬實驗中學）