楊中明 王淑紅

摘 ? 要 ? ?歐文·卡普蘭斯基是美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、音樂家和科學(xué)組織者，他一生著書立說、領(lǐng)導(dǎo)機(jī)構(gòu)，在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支領(lǐng)域作出原創(chuàng)性成就，并為數(shù)學(xué)界培育了大批人才，為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了積極的推動(dòng)作用。在研讀和分析相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，主要對(duì)其生平、成就及影響作一簡要介紹。

關(guān)鍵詞 ? ?歐文·卡普蘭斯基 ?代數(shù)學(xué) ?美國數(shù)學(xué)會(huì) ?美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所

中圖分類號(hào) ? ?N09： O1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 ? ?A

2006年6月25日，美國國家科學(xué)院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、美國數(shù)學(xué)會(huì)前主席、美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所所長、著名數(shù)學(xué)家歐文·卡普蘭斯基（Irving Kaplansky，1917—2006，以下簡稱卡普蘭斯基）在家中去世，終年89歲。他生前不但是一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、音樂家，而且還是一位優(yōu)秀的科學(xué)組織者，他為20世紀(jì)中后期數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展作出了積極的推動(dòng)作用?？ㄆ仗m斯基生前還與我國著名數(shù)學(xué)家陳省身（1911—2004）、華羅庚（1910—1985）、劉紹學(xué)（1929—）和周伯壎（1920—2009）等有密切的交往。

通過研讀和分析與卡普蘭斯基有關(guān)的文獻(xiàn)資料，有一些問題很值得思考和借鑒。比如，卡普蘭斯基在音樂上取得了不錯(cuò)的成績，他為什么放棄音樂轉(zhuǎn)而研究數(shù)學(xué)？在數(shù)學(xué)的眾多分支領(lǐng)域中，他為什么對(duì)代數(shù)學(xué)情有獨(dú)鐘？他是怎樣走上領(lǐng)導(dǎo)職位，為廣大的數(shù)學(xué)工作者服務(wù)的？他又是如何與中國數(shù)學(xué)家密切交往的？通過探尋卡普蘭斯基的人生軌跡，解析他在事業(yè)和生活上成功的密碼，以期對(duì)他有更加深入的了解，并從中受到一些良好的教益。

一 ? 一生求索，獻(xiàn)身數(shù)學(xué)

卡普蘭斯基于1917年出生在加拿大安大略省的省會(huì)多倫多市。在他出生前不久，為了躲避第一次世界大戰(zhàn)的炮火，全家從波蘭移民到加拿大。父親薩繆爾·卡普蘭斯基（Samuel Kaplansky）通曉《猶太法典》，求知欲強(qiáng)，是東歐猶太人所尊敬的學(xué)者，在波蘭曾做過猶太拉比。但到加拿大后，他只能在多倫多做裁縫，收入極低，不足以維持整個(gè)家庭的生計(jì)?？ㄆ仗m斯基的母親安娜具有事業(yè)心，為了補(bǔ)貼家用，她開了一家面包烘烤店。后來烘烤店發(fā)展成為連鎖店，在多倫多頗具規(guī)模?？ㄆ仗m斯基自幼在面包店里幫忙，直到去讀研究生離開家鄉(xiāng)為止。

卡普蘭斯基是一位著名的音樂家，他以高超的琴技著稱。他四歲時(shí)，在只聽了一遍的情況下，他就能準(zhǔn)確地彈奏出《金雀》（The Golden Bride）這部喜劇中的熱門歌曲。在堅(jiān)持學(xué)了11年鋼琴后，他認(rèn)為即使繼續(xù)學(xué)下去也沒有太大意義，自己不會(huì)成為異于他人的鋼琴家。他雖然沒有選擇音樂作為自己的職業(yè)，但音樂卻伴隨了他一生。在哈佛大學(xué)擔(dān)任講師期間，他加入了學(xué)校中的一個(gè)大型爵士樂隊(duì)，很多學(xué)生因在音樂會(huì)看到他們的老師在彈奏鋼琴而感到驚訝。在哈佛大學(xué)的廣播電臺(tái)，卡普蘭斯基還有個(gè)固定的節(jié)目，被人們稱為“K2”（Kaplansky Kapers）。后來，他用圓周率π的前14位數(shù)字譜寫了一首歌曲“π之歌”。他的女兒露西·卡普蘭斯基（Lucy Kaplansky）是一位音樂家，經(jīng)常演唱這首歌曲。即使在年近九旬的時(shí)候，卡普蘭斯基仍然經(jīng)常上臺(tái)彈奏鋼琴[1]。

卡普蘭斯基有杰出的數(shù)學(xué)天賦，他認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)是他一生要追求的東西”[2]。在多倫多大學(xué)讀大一時(shí)，他在參加了愛米·諾特（Emmy Noether，1882—1935）舉辦的一場(chǎng)學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)后，深受啟發(fā)。后來談到諾特對(duì)他的影響時(shí)，他將其奉為抽象代數(shù)之母。在此期間，他學(xué)習(xí)了大量經(jīng)典數(shù)學(xué)的課程，為以后的數(shù)學(xué)研究奠定了良好基礎(chǔ)，其中就包括理查德·布饒爾（Richard Brauer，1901—1977）的課程。用卡普蘭斯基自己的話說：“我喜歡用代數(shù)的方式看待事物，這很大程度上要?dú)w功于布饒爾?！盵2] 1938年，正在讀大四的卡普蘭斯基代表多倫多大學(xué)參加了由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主辦的第一屆普特南數(shù)學(xué)競賽（Putnam Mathematical Competition）并勝出，他獲得了個(gè)人獎(jiǎng)學(xué)金并進(jìn)入哈佛大學(xué)深造。在哈佛，他師從著名數(shù)學(xué)家、美國數(shù)學(xué)會(huì)前主席桑德斯·麥克萊恩（Saunders Mac Lane，1909—2005），并于1941年獲得博士學(xué)位，論文題目是“極大賦值域”（Maximal Fields with Valuations）。博士畢業(yè)后，卡普蘭斯基留在哈佛大學(xué)擔(dān)任本杰明·皮爾斯講師（Benjamin Peirce Instructor），直到1944年。這一年，他跟隨麥克萊恩加入了位于哥倫比亞大學(xué)的戰(zhàn)時(shí)國防委員會(huì)下屬的應(yīng)用數(shù)學(xué)小組，主要從事火力控制設(shè)備與火箭投彈方面的數(shù)學(xué)研究。在這期間，卡普蘭斯基把大部分時(shí)間都花在研究常微分方程上。正如他后來所言：“在這一年我體驗(yàn)到了現(xiàn)實(shí)生活的滋味，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)際上可以用來做一些事情?！盵2]

1945年秋，卡普蘭斯基受聘于芝加哥大學(xué)，直到1984年退休，他一直在大學(xué)任教。20世紀(jì)40年代的芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系匯集了馬歇爾·斯通（Marshall Stone，1903—1989）、陳省身、安東尼·齊格蒙德（Antoni Zygmund，1900—1992）、安德烈·韋依（André Weil，1906—1998）、麥克萊恩等世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師，并且吸引了歐文·西格爾（Irving Segal， 1918—1998）、保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916—2006）、艾沙道爾·辛格（Isadore Manuel Singer，1924—）等一大批才華橫溢的年輕數(shù)學(xué)家，他們對(duì)卡普蘭斯基的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了重要影響?？ㄆ仗m斯基回憶與他們的交往時(shí)，曾道：

我和韋依共事了近十年，如果沒有他，我是不會(huì)做某些數(shù)學(xué)研究的。這并不是說他告訴我怎么做之類的，而是他隨意的一句評(píng)論，就會(huì)讓我開始做某件事……你可以選擇一個(gè)他可能以前從未聽說過的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，冷不防地，他就會(huì)發(fā)表一些關(guān)于這方面的看法。同樣，約翰·米爾諾（John Milnor，1931—）、邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah，1929—2019）等能在合適的時(shí)間準(zhǔn)確地說出正確的事，所以和他們交流是非常值得的。

我要向芝加哥大學(xué)的年輕同事西格爾、哈爾莫斯等人致敬，我和他們進(jìn)行過一次次精彩而又激動(dòng)的數(shù)學(xué)交流。比如西格爾，他曾致力于對(duì)C*-代數(shù)、局部緊群的表示論及相關(guān)主題的研究并積極地探討它們與物理學(xué)之間的關(guān)系。我追隨著他的足跡，最初我像個(gè)學(xué)生，過了一段時(shí)間我有種感覺，覺得自己可以和他平等地交流。[2]

卡普蘭斯基的名字與一些偉大的數(shù)學(xué)定理緊緊聯(lián)系在一起，如卡普蘭斯基稠密性定理[3]、卡普蘭斯基猜想、卡普蘭斯基定理等?？ㄆ仗m斯基將自己的一生都奉獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)，即使在2006年臨終前，他依然在研究丟番圖方程。對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展，他曾評(píng)論說：“數(shù)學(xué)之所以發(fā)展到今天的高度，是因?yàn)槲覀冋驹诹丝枴じ咚梗–arl Gauss，1777—1855）等數(shù)學(xué)大師的肩膀上?！盵2]孰不知他本人也是大師。

除了事業(yè)上的成功，卡普蘭斯基還有一個(gè)美滿幸福的家庭，他是一位忠誠的丈夫和優(yōu)秀的父親。1950年，他在一次聚會(huì)上認(rèn)識(shí)了正在哈佛大學(xué)讀研究生的妻子切雷·布倫納（Chellie Brenner），次年結(jié)婚，后育有三個(gè)孩子（圖1）。切雷風(fēng)趣又富有幽默感，在她的影響下，卡普蘭斯基的生活節(jié)奏緩慢而有序?？ㄆ仗m斯基的女兒露西是一位民俗音樂家，在她的回憶性文章“我的父親”中，回顧了自己的成長經(jīng)歷?？ㄆ仗m斯基對(duì)子女的教育甚嚴(yán)，但又充滿慈愛。在很早的時(shí)候他就教孩子們玩跳棋，培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力。他教育子女做事要有條理、可靠、準(zhǔn)時(shí)，給孩子們灌輸一個(gè)貫穿一生的思想：賺錢并不重要，做自己熱愛的工作就是一切。在孩子們的整個(gè)童年里，他們的父親總是在書房思考數(shù)學(xué)問題。他們也曾問他們的父親為什么如此喜愛數(shù)學(xué)，卡普蘭斯基的回答是因?yàn)閿?shù)學(xué)太美。

二 ? 著書立說，培育人才

卡普蘭斯基作為20世紀(jì)中后期有重要影響力的數(shù)學(xué)家，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇鷶?shù)學(xué)，在拓?fù)浯鷶?shù)、環(huán)論、交換與同調(diào)代數(shù)、李理論和二次型等方面都取得了豐碩成果。為了表彰他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所作的推動(dòng)作用，1989年美國數(shù)學(xué)會(huì)授予他斯蒂爾終身成就獎(jiǎng)。卡普蘭斯基生前曾毫不吝嗇地表達(dá)自己對(duì)代數(shù)的鐘愛，他言道：

我喜歡用代數(shù)的方法看待事物，而且當(dāng)代數(shù)方法被應(yīng)用到無限的對(duì)象時(shí)，我更加著迷。[4]

卡普蘭斯基鐘情代數(shù)學(xué)要追溯到1938年，還在讀大學(xué)的他參加了芝加哥大學(xué)舉辦的暑期代數(shù)課程。在這期間，麥克萊恩作了一場(chǎng)有關(guān)賦值論的報(bào)告，內(nèi)容清晰，給他留下了深刻的印象。從此，卡普蘭斯基一直對(duì)賦值論著迷，并且賦值論成為他最初的研究領(lǐng)域，這也促成了他將代數(shù)學(xué)作為自己的主要研究方向。

卡普蘭斯基一生筆耕不輟，著書立說。芝加哥大學(xué)時(shí)期是他研究成果發(fā)表的高產(chǎn)時(shí)期，特別是在1948—1952年的四年時(shí)間里，他發(fā)表了32篇論文。其中就包括他最具影響力的論文“滿足多項(xiàng)式恒等式的環(huán)”（Rings with a Polynomial Identity）[5]，這篇論文開創(chuàng)了非交換代數(shù)的一個(gè)重要分支。他證明了一個(gè)基本結(jié)果：一個(gè)具有多項(xiàng)式恒等式的本原代數(shù)在其中心上是有限維的。根據(jù)谷歌學(xué)術(shù)的不完全統(tǒng)計(jì)，這篇論文的被引用次數(shù)已高達(dá)240余次?？ㄆ仗m斯基涉獵廣泛，在概率論、組合數(shù)學(xué)等方面也有重要的研究成果，尤其是他晚年有更多的研究旨趣。閱讀過卡普蘭斯基著作的人都知道，他的著作以簡短精煉而著稱，文中沒有啰嗦的證明或凌亂的公式，而是試圖去構(gòu)建一種框架，始終能給讀者一種耳目一新的感覺。正如香港大學(xué)蕭文強(qiáng)在評(píng)論卡普蘭斯基的著作時(shí)說：

卡普蘭斯基的著作有個(gè)共同的特征，其內(nèi)容令人耳目一新，論述方式友善、不拘于形式（但數(shù)學(xué)上又是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模┒智逦?。作者快速、直接地給出主要觀點(diǎn)，并選取優(yōu)秀的實(shí)例加以說明。[4]

卡普蘭斯基是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，畢生發(fā)表了160余篇論文，出版《無限阿貝爾群》（Infinite Abelian Groups）、《微分代數(shù)導(dǎo)論》（An Introduction to Differential Algebra）等20余本著作，這些成果幾乎都是關(guān)于代數(shù)學(xué)的。表1是根據(jù)目類的不同將卡普蘭斯基的論文、著作進(jìn)行了分類，他的部分著作早在20世紀(jì)七八十年代已經(jīng)被引進(jìn)到國內(nèi)。

卡普蘭斯基另一篇最引以為豪的論文是“任何正交補(bǔ)完備模格都是連續(xù)幾何”（Any Orthocomplemented Complete Modular Lattice is a Continuous Geometry）。他的工作同馮·諾伊曼代數(shù)和連續(xù)幾何一樣，成為正交模格的重要理論來源。他在1955年發(fā)表這篇論文時(shí)，從事該領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家還寥寥無幾，有關(guān)著作和論文更是屈指可數(shù)，但目前這一領(lǐng)域已廣泛被應(yīng)用于其它學(xué)科。

卡普蘭斯基最有影響力的專著是《無限阿貝爾群》，它將數(shù)學(xué)家的注意力從有限阿貝爾群轉(zhuǎn)向無限阿貝爾群，也是第一部致力于系統(tǒng)地介紹這一領(lǐng)域的專著。對(duì)數(shù)學(xué)家的評(píng)判往往會(huì)通過對(duì)他研究貢獻(xiàn)的深度和創(chuàng)造性來考慮。卡普蘭斯基的專著，吸引了大批年輕學(xué)者進(jìn)入這一領(lǐng)域。加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數(shù)學(xué)教授齊默爾曼（Huisgen-Zimmermann）曾回憶說：“卡普蘭斯基是我的偶像之一。在學(xué)生時(shí)代，我發(fā)現(xiàn)了他那本關(guān)于無限阿貝爾群的書，并注意到代數(shù)也有很多故事要講……”[4]

在1975年出版的專著《雙代數(shù)》（Bialgebras）的附錄部分，卡普蘭斯基提出了有關(guān)Hopf代數(shù)的部分猜想，這就是著名的“卡普蘭斯基十大猜想”。他本人并未對(duì)猜想做太多研究，但其他數(shù)學(xué)家對(duì)某些猜想的解決和物理學(xué)家林菲爾德（V. Drinfeld，1954—）所揭示的Hopf代數(shù)與量子力學(xué)Yang-Baxter方程之間的緊密關(guān)系，對(duì)Hopf代數(shù)的研究產(chǎn)生了巨大推動(dòng)作用，并促成Hopf代數(shù)成為一個(gè)新的學(xué)科體系，如弱Hopf代數(shù)、Hopf群余代數(shù)等。東南大學(xué)王栓宏教授曾對(duì)這十大猜想的研究現(xiàn)狀做過系統(tǒng)梳理[6]。

卡普蘭斯基知識(shí)淵博，涉獵廣泛，他屬于有能力從事多項(xiàng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域并從中獲取靈感的數(shù)學(xué)家。早在1963年，我國的《數(shù)學(xué)文摘》雜志就系統(tǒng)介紹了卡普蘭斯基在泛函分析領(lǐng)域的工作。他為泛函分析提供了一種公式化表示技巧，即“卡普蘭斯基稠密性定理”。這個(gè)定理現(xiàn)已成為泛函分析研究的重要工具。理查德·卡迪森（Richard Kadison，1925—2018）將他譽(yù)為泛函分析領(lǐng)域早期最偉大的人物之一[7]。

卡普蘭斯基是一位杰出的數(shù)學(xué)教育家。他教書育人，成就斐然。在芝加哥大學(xué)任教期間（1945—1984），他指導(dǎo)了55名博士生，這些博士生又培養(yǎng)了眾多優(yōu)秀弟子。根據(jù)數(shù)學(xué)譜系項(xiàng)目（Mathematics Genealogy Project）①的統(tǒng)計(jì)，卡普蘭斯基至少有900多名再傳數(shù)學(xué)弟子，而且隨著時(shí)間的推移，這個(gè)數(shù)字仍在不斷增加，這在1940年以后獲得博士學(xué)位的美國數(shù)學(xué)家的弟子數(shù)量中排名高居第二。在教學(xué)生涯中，卡普蘭斯基給學(xué)生們提出了很多有益的建議，這對(duì)我們的學(xué)習(xí)與科研有積極的啟示。他最知名的建議是：“每天花些時(shí)間學(xué)習(xí)一些與你當(dāng)前所處理的問題完全不相關(guān)的新東西（記?。哼@種不相關(guān)可能是暫時(shí)性的），并且要讀大師的作品?！盵4]經(jīng)典著作經(jīng)過了時(shí)間的檢驗(yàn)，通過閱讀既可以開拓眼界，提高知識(shí)儲(chǔ)備，又獲得優(yōu)秀的思想和深刻的啟示。向大師學(xué)習(xí)，才更有成為大師的可能。當(dāng)一位偉大的數(shù)學(xué)家掌握了一門學(xué)科，讀者通過閱讀他的作品就能快速理解該學(xué)科的主要思想?？ㄆ仗m斯基對(duì)那些正猶豫是否要讀數(shù)學(xué)系研究生的學(xué)子們說：“如果你還在糾結(jié)，那就算了吧。只有當(dāng)你知道數(shù)學(xué)是你余生唯一想做的事情時(shí)才應(yīng)該踏入這一領(lǐng)域，因?yàn)閺氖聰?shù)學(xué)研究并不能得到很好的經(jīng)濟(jì)回報(bào)，而且會(huì)有很多挫折?！盵2]

在卡普蘭斯基的弟子中，不乏數(shù)學(xué)領(lǐng)域的佼佼者，他們現(xiàn)在很多人已經(jīng)成為美國數(shù)學(xué)界的中堅(jiān)力量。如：海曼·巴斯（Hyman Bass， 1932—），1959年他在卡普蘭斯基的指導(dǎo)下獲得芝加哥大學(xué)博士學(xué)位，主要研究領(lǐng)域是代數(shù)學(xué)。巴斯在1981年當(dāng)選為美國藝術(shù)與科學(xué)院院士，1982年當(dāng)選為美國國家科學(xué)院院士，2000—2006年擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席，2001—2002年擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會(huì)第56屆主席。此外，他還是2006年美國最高國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者[8]。唐納德·奧恩斯坦（Donald Ornstein，1934—）是卡普蘭斯基的博士生，1957年畢業(yè)于芝加哥大學(xué)，研究領(lǐng)域也是代數(shù)學(xué)。在1970年，奧恩斯坦發(fā)表了論文“具有相同熵的伯努利移位是同構(gòu)的”（Bernoulli Shifts with the Same Entropy are Homomorphic），在這篇論文中他提出了著名的奧恩斯坦同構(gòu)定理（Ornstein Isomorphism Theorem），他也因此獲得了1974年的博謝紀(jì)念獎(jiǎng)（B?cher Memorial Prize）[9]。奧恩斯坦在1981年當(dāng)選為美國國家科學(xué)院院士，1991年當(dāng)選為美國藝術(shù)與科學(xué)院院士?？ㄆ仗m斯基指導(dǎo)的博士生還包括著名的數(shù)學(xué)家哈羅德·維多姆（Harold Widom， 1932—），他是波利亞獎(jiǎng)獲得者（2002）、維納應(yīng)用數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者（2006）。再傳弟子則有著名華裔數(shù)學(xué)家林節(jié)玄（Tsit Yuen Lam， 1942—），他是巴斯的學(xué)生。林節(jié)玄1967年在哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位后進(jìn)入加州大學(xué)伯克利分校擔(dān)任教職。1982年美國數(shù)學(xué)會(huì)授予他斯蒂爾獎(jiǎng)，以表彰他在教科書編著方面的貢獻(xiàn)。1995—1997年期間他曾擔(dān)任美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所副所長?？ㄆ仗m斯基的弟子們畢業(yè)后大部分進(jìn)入高校，為數(shù)學(xué)界培養(yǎng)了大批人才，并且通過他們各自的研究工作，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了各自的貢獻(xiàn)。

卡普蘭斯基尤其鐘愛密歇根湖的海岸線，每天都堅(jiān)持游泳，這在很大程度上鍛煉了他的意志，強(qiáng)健了他的身體，使他在晚年仍有旺盛精力從事復(fù)雜的數(shù)學(xué)研究。在芝加哥大學(xué)的歲月里，他將課程盡量安排在早上，這樣自己就能有更多時(shí)間與學(xué)生在一起。在課堂上與學(xué)生互動(dòng)時(shí)，他鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑，支持學(xué)生用新的研究方法探討問題。斯蒂芬·尚努埃爾（Stephen Schanuel，1933—2017）關(guān)于投射分解的理論，就是由尚努埃爾在1958年秋天的芝加哥大學(xué)卡普蘭斯基同調(diào)代數(shù)課程中所證明，這也是卡普蘭斯基教學(xué)方法的最好驗(yàn)證，同時(shí)解釋了為什么會(huì)有這么多的研究生選擇他作為自己指導(dǎo)老師的原因。他經(jīng)常為學(xué)生分享一些他還沒有時(shí)間去檢驗(yàn)但很有希望的新想法。正如巴斯所言：

恰當(dāng)?shù)卣f卡普的學(xué)生也是他全部作品中的重要組成部分。[4]

卡普蘭斯基鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行批判性思考，這對(duì)學(xué)生科研能力的培養(yǎng)是必不可少的。他充分尊重學(xué)生的獨(dú)特性，在教學(xué)中幫助學(xué)生以自己特有的方式發(fā)展。當(dāng)學(xué)生因?yàn)橥茰y(cè)結(jié)果錯(cuò)誤而產(chǎn)生負(fù)面情緒時(shí)，他鼓勵(lì)大家應(yīng)該樹立正確的科研觀，即在科學(xué)研究的過程中，探求真理所產(chǎn)生的消極結(jié)果和積極結(jié)果同樣重要。例會(huì)是他與學(xué)生溝通的重要方式，每次例會(huì)開始時(shí)卡普蘭斯基總會(huì)用“有什么新鮮事”作為開場(chǎng)白，隨后便是一連串的問題：你能證明一個(gè)簡單的例子嗎？能否找出一個(gè)反例 [4]？卡普蘭斯基激發(fā)了一代又一代研究人員來到芝加哥，向著數(shù)學(xué)的主題邁進(jìn)。

卡普蘭斯基生前與陳省身、華羅庚等多位中國數(shù)學(xué)家有密切的交往。他與陳省身在20世紀(jì)40年代的芝加哥大學(xué)便已相識(shí)（圖2）。1946年1月，陳省身應(yīng)阿德里安·阿爾伯特（Adrian Albert，1905—1972）的邀請(qǐng)，在芝加哥大學(xué)作了一場(chǎng)有關(guān)高斯-博內(nèi)定理推廣的報(bào)告，卡普蘭斯基在這次報(bào)告會(huì)上結(jié)識(shí)了陳省身，雖然這次見面的時(shí)間非常短，但他對(duì)陳省身留下了深刻印象。1949年陳省身進(jìn)入芝加哥大學(xué)任教，他們兩人在芝大數(shù)學(xué)系共事了10年。1984年，他們的職業(yè)生涯在伯克利又交織在一起?？ㄆ仗m斯基曾回憶道：“雖然和陳省身的研究領(lǐng)域不同，但在與他的交往中通過相互滲透，自己也掌握了現(xiàn)代微分幾何的部分精髓?！盵10]20世紀(jì)80年代，華羅庚在美國訪學(xué)期間，兩人有一段交往的佳話。卡普蘭斯基長期以來都不能解決無限維代數(shù)的半自構(gòu)定理，雖然他得到了一個(gè)結(jié)果，但證明過程卻極為繁瑣，便請(qǐng)教華羅庚。沒過多久華羅庚不但用另一種方法重新證明了這一定理，而且將證明過程簡化到不足兩頁紙，完全解決了卡普蘭斯基提出的難題，華羅庚使這個(gè)問題真正做到了“兩點(diǎn)之間，直線最短”[11]。此外，我國著名數(shù)學(xué)家劉紹學(xué)、周伯壎等在芝加哥大學(xué)學(xué)習(xí)和訪問時(shí)，與卡普蘭斯基都有頻繁的交往。

三 ? 領(lǐng)導(dǎo)機(jī)構(gòu)，譽(yù)滿學(xué)界

卡普蘭斯基生前不但是芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、美國國家科學(xué)院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)院院士，而且還曾擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會(huì)主席、美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所所長，在1962—1967年期間還曾經(jīng)擔(dān)任芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。作為一名管理人員，他從未忘記導(dǎo)師麥克萊恩給他的建議：“隨時(shí)都要表現(xiàn)得就像你必須在第二天向參議院調(diào)查委員會(huì)解釋你的行為一樣。”[2]

1984年秋，卡普蘭斯基擔(dān)任美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所第二任所長。他是最早提議創(chuàng)建高等數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)家，這是由于受普林斯頓高等研究院的啟發(fā)。1946年，卡普蘭斯基第一次去普林斯頓高等研究院訪學(xué)，后來他將研究院描述為一個(gè)“那里人的數(shù)學(xué)熱情幾乎會(huì)自動(dòng)流動(dòng)、寧靜的圣地……我為即將到來的關(guān)于非交換環(huán)、C*-代數(shù)、AW*-代數(shù)和其它一些東西的工作埋下了種子。換句話說，我得到了一個(gè)持續(xù)十年的數(shù)學(xué)推動(dòng)力”[12]。卡普蘭斯基倡議成立高等數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)的想法最終在1982年得以實(shí)現(xiàn)，在美國國家科學(xué)基金會(huì)的支持下，在西海岸城市伯克利成立了美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所 [13]。卡普蘭斯基正式接任所長后，他相繼主持確立了不同年份的研究項(xiàng)目。研究所選擇并確立項(xiàng)目主要堅(jiān)持兩條準(zhǔn)則：⑴所涉及的主題應(yīng)該是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域;⑵能將該領(lǐng)域的重要群體長期聚集在一起，且有助于豐富和提高該領(lǐng)域的活力。當(dāng)被問及研究所是否已為數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重要作用時(shí)，卡普蘭斯基認(rèn)為至少幾十年的時(shí)間才能看到它帶來的明顯效果。以下為部分年度項(xiàng)目明細(xì)：

1984—1985：

低維拓?fù)洌↙ow Dimensional Topology）、K-理論、指標(biāo)理論和算子代數(shù)（K-theory，Index Theory and Operator Algebras）、微分幾何（Differential Geometry）;

1985—1986：

計(jì)算復(fù)雜性（Computational Complexity）、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)（Mathematical Economics）、幾何函數(shù)論（Geometric Function Theory）;

1986—1987：

與代數(shù)幾何有關(guān)的數(shù)論（Number Theory with Connection to Algebraic Geometry）、非線性擴(kuò)散方程及其平衡態(tài)（Nonlinear Diffusion Equations and their Equilibrium States）、交換代數(shù)（Commutative Algebra）;

1987—1988：

經(jīng)典分析（Classical Analysis）、巴拿赫空間的結(jié)構(gòu)（Structures of Banach Spaces）。[14]

卡普蘭斯基在擔(dān)任所長的8年期間，為研究所的發(fā)展做了大量工作，其中一項(xiàng)成就是成立“美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所之友國際委員會(huì)”。這個(gè)委員會(huì)的主要職責(zé)是募捐，為研究所的發(fā)展獲取源源不斷的資金支持，這對(duì)機(jī)構(gòu)的發(fā)展尤為重要。研究所除了將資金用于每年固定的重大項(xiàng)目開支外，剩余資金主要用于對(duì)年輕數(shù)學(xué)家的支持。研究所非常重視對(duì)剛畢業(yè)博士的培訓(xùn)和鼓勵(lì)，預(yù)算中至少有60%的資金專門用于支持該類學(xué)者，如曼紐爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava，1974—，2014年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、2011年費(fèi)馬獎(jiǎng)獲得者、2005年拉馬努金獎(jiǎng)獲得者以及1996年摩根獎(jiǎng)獲得者）就曾多次受卡普蘭斯基的邀請(qǐng)?jiān)L問數(shù)學(xué)研究所。

在擔(dān)任研究所所長期間，卡普蘭斯基除了安排年度計(jì)劃，還注重于運(yùn)作的每一個(gè)細(xì)節(jié)。當(dāng)時(shí)每年訪問研究所的人員大約有180人，有些人少則待兩個(gè)月，多則待一年，與這些人員溝通是一項(xiàng)繁重的工作。他將這比喻成招募180名新教員，由于每個(gè)訪問者的情況不同，需要處理大量的信件和電話?？ㄆ仗m斯基對(duì)研究所的熱情是矢志不渝的，他曾經(jīng)向繼任所長大衛(wèi)·艾森巴德（David Eisenbud，1947—）說，在擔(dān)任所長的8年時(shí)間里，自己親自閱讀并簽署了每一封研究所發(fā)出的邀請(qǐng)信[2]。

1985—1986年期間的卡普蘭斯基須同時(shí)承擔(dān)兩項(xiàng)艱巨的任務(wù)：既要領(lǐng)導(dǎo)美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，又要主持世界上最大的數(shù)學(xué)會(huì)——美國數(shù)學(xué)會(huì)。能同時(shí)擔(dān)任這兩大機(jī)構(gòu)的領(lǐng)導(dǎo)人，這是對(duì)他數(shù)學(xué)成就的有力肯定。

在1985—1986年期間，卡普蘭斯基接替朱莉婭·羅賓遜（Julia Bowman Robinson， 1919—1985）擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會(huì)第48屆主席。他在擔(dān)任主席的兩年時(shí)間里，為學(xué)會(huì)帶來很大變化。1986年，美國數(shù)學(xué)會(huì)負(fù)責(zé)在伯克利主辦了第20屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，卡普蘭斯基作為組委會(huì)成員為大會(huì)的順利召開做了大量工作，要組織并負(fù)責(zé)近3500名參會(huì)者的會(huì)議是一項(xiàng)極為艱巨的任務(wù)。他使數(shù)學(xué)會(huì)煥然一新，其中就包括擺脫毀滅性的財(cái)務(wù)狀況。但卡普蘭斯基回憶起當(dāng)選時(shí)的情景時(shí)，他卻謙遜地說：

當(dāng)被推薦為美國數(shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)，我的第一想法是不配得到這個(gè)榮譽(yù)，畢竟，該職位的擔(dān)任者在長達(dá)兩年的時(shí)間內(nèi)會(huì)被視為美國數(shù)學(xué)界名義上的領(lǐng)導(dǎo)人。[2]

他曾任多個(gè)雜志的編委，具體為《美國數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)》編輯委員會(huì)（1945—1947，1979—1985）、《美國數(shù)學(xué)會(huì)匯刊》編輯委員會(huì)（1947—1952）和《美國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)報(bào)》編輯委員會(huì)（1957—1959）等。卡普蘭斯基代表美國數(shù)學(xué)會(huì)出席了1948年在安娜堡和1955年在斯坦福的會(huì)議并應(yīng)邀發(fā)言。他在擔(dān)任數(shù)學(xué)會(huì)主席期間，支持創(chuàng)辦了重要的雜志《美國數(shù)學(xué)會(huì)志》（Journal of the American Mathematical Society）[15]，他通過精心挑選第一屆編輯委員會(huì)來推動(dòng)項(xiàng)目有序展開，最終在1988年順利發(fā)行。此外，他還推動(dòng)了美國數(shù)學(xué)會(huì)終身會(huì)員制的建立。約翰·厄文（John Ewing）對(duì)卡普蘭斯基在美國數(shù)學(xué)會(huì)的工作做了形象描述：

四十多年來，卡普蘭斯基一直活躍在美國數(shù)學(xué)會(huì)，在那段時(shí)間，他一直是一股推動(dòng)力……卡普蘭斯基為學(xué)會(huì)服務(wù)的最顯著特點(diǎn)就是他的風(fēng)格，他所從事的每項(xiàng)工作、他所做的每件事都是有力而優(yōu)雅、雄辯而體貼、精力充沛而又彬彬有禮。[4]

四 ? 小結(jié)

通過研究發(fā)現(xiàn)，卡普蘭斯基不但是一位著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、科學(xué)組織者，而且還擁有美滿幸福的家庭。他愛好廣泛，精通音樂，樂于運(yùn)動(dòng)，又很長壽，其身上很多光輝的思想、語言和行為值得我們借鑒和反思。

從學(xué)術(shù)傳承和數(shù)學(xué)創(chuàng)新方面來講，卡普蘭斯基的學(xué)生時(shí)代抽象代數(shù)學(xué)正蓬勃發(fā)展，諾特、麥克萊恩和布饒爾等數(shù)學(xué)家對(duì)他產(chǎn)生了重要影響。第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)致使大量數(shù)學(xué)家紛紛逃離歐洲，遷徙到科研環(huán)境更為優(yōu)越的北美。此時(shí)美國已經(jīng)取代德國和法國成為新的數(shù)學(xué)中心，而芝加哥大學(xué)又是美國數(shù)學(xué)的中心，這為卡普蘭斯基科研能力的提升和學(xué)術(shù)思想的形成提供了豐厚沃土。通過閱讀他的論著可知，他更傾向于為數(shù)學(xué)搭建一個(gè)框架，而非聚焦于某一特定數(shù)學(xué)問題。他始終主張數(shù)學(xué)家應(yīng)該將注意力聚焦于領(lǐng)先性的數(shù)學(xué)問題，嘗試一些其他人未來10年甚至20年都不可能研究的課題。他深受高斯的啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)論文重質(zhì)而非量。他提出要在搞科研的同時(shí)學(xué)習(xí)一些與當(dāng)前科研題目不相關(guān)的知識(shí)，這也是他能在諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得非凡成果的重要原因。

從培養(yǎng)學(xué)生，深耕數(shù)學(xué)教育方面來講，卡普蘭斯基極為重視數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)，他的很多弟子及再傳弟子目前已成為美國數(shù)學(xué)界的中堅(jiān)力量。在教學(xué)過程中，他鼓勵(lì)學(xué)生大膽接受新事物，勇于探索新領(lǐng)域。他提出了正確的科研觀，即在求索的過程中消極結(jié)果和積極結(jié)果同樣重要。他采取討論班的教學(xué)形式，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況因材施教，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。鼓勵(lì)學(xué)生通過閱讀經(jīng)典論著以提高分析和鑒賞能力，達(dá)到開闊眼界、增長學(xué)識(shí)之目的。在長期教學(xué)過程中，卡普蘭斯基形成了一套獨(dú)特的教學(xué)范式。

從為數(shù)學(xué)共同體服務(wù)方面來講，卡普蘭斯基將科學(xué)組織視為推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要方式。他通過擔(dān)任機(jī)構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)、雜志編委、數(shù)學(xué)會(huì)主席等，以不同角色服務(wù)于美國數(shù)學(xué)會(huì)40余年，促進(jìn)了數(shù)學(xué)共同體間的交流和數(shù)學(xué)文化的傳播。他是最早倡議建立美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家，他注重對(duì)青年學(xué)者的支持力度，推動(dòng)了研究所建制的逐步完善。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展越來越抽象，在數(shù)學(xué)界內(nèi)部更難以進(jìn)行無障礙交流的今天，數(shù)學(xué)組織的作用越來越明顯，這充分表明卡普蘭斯基提議新建高等數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)的遠(yuǎn)見卓識(shí)。

最后，引用印度數(shù)學(xué)會(huì)對(duì)卡普蘭斯基的評(píng)論來結(jié)束本文的內(nèi)容：“卡普蘭斯基教授是全世界數(shù)學(xué)家的靈感之源，人們將會(huì)永遠(yuǎn)懷念他的才智、魅力和人格?！盵16]

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Abstract： As a famous American mathematician， mathematical educator， musician and scientific organizer，Irving Kaplansky had lots of works and led organizations. He not only made original achievements in many branches of mathematics， but also cultivated a large number of talents for the field of mathematics and thus played a positive role in promoting the development of mathematics in the 20th century.Based on the study and analysis of the relevant literature， his life， achievements and influence were briefly introduced.

Keywords： Irving Kaplansky， algebra， American Mathematical Society， Mathematical Sciences Research Institute