蘭贈連

（福建省武平縣教師進修學校）

一、緣起：對公頃與平方米之間面積單位斷層的思考

近來，筆者所在縣某校六年級的一位教師隔著屏幕布置學生整理以前學過的面積單位，并提出相應的問題。在學生提出的諸多問題中有一個共性的問題是類似于圖1這位學生提出的第1個問題。雖然學生表述該問題的形式不盡相同，但其完整的意思都是：“為什么公頃與平方米之間的進率是10000，而其他兩個相鄰面積單位之間的進率是100？”學生都聚焦于同一個問題，可能與在學習“公頃和平方千米”單元內容（人教版《義務教育教科書·數(shù)學》四年級上冊）時，教師就教材教教材——教材沒有編排“公畝”這個面積單位有關。如果把“公畝”補上，相鄰兩個面積單位之間的進率就都是100。因為沒有學習“公畝”，有一部分學生在遇到有關平方米和公頃之間的化聚問題時屢屢出錯，對在“1”的后面究竟有幾個“0”常常產生疑惑。

圖1 學生整理的小學階段學過的面積單位及提出的疑問

最近，我研讀了我國臺灣地區(qū)翰林版小學《數(shù)學》12冊教材內容中的“幾何”（含測量）主題內容，發(fā)現(xiàn)其在完善數(shù)學知識體系、促進學生有效建構方面很有特色。

二、特點：從內容到編排

（一）主題內容：單、跨、移、缺

我國臺灣地區(qū)翰林版小學《數(shù)學》12冊教材內容涵蓋“數(shù)與量”“幾何”“代數(shù)”“統(tǒng)計與機率”“連結”等五大主題。其中“幾何”主題內容與大陸小學數(shù)學“圖形與幾何”領域內容相比較，有明顯的不同。其特點可用“單、跨、移、缺”四個字來概括。一是“單”，是單獨屬于“幾何”主題的內容，主要包括平面和立體基本圖形的認識、圖形的特征和分類、圖形運動中的線對稱圖形（我們大陸稱為“軸對稱圖形”）、縮放圖與比例尺（我們大陸將其歸入“數(shù)與代數(shù)”領域）。二是“跨”，是跨越“數(shù)與量”和“幾何”兩個主題的內容，包括理解面積（底面積、表面積）與周長公式、體積公式。三是“移”，將長度（周長）、面積（底面積、表面積）、角度、體積、容積等有關測量的概念、度量單位及單位之間的換算、大小比較等內容移到“數(shù)與量”中“量”的部分。四是“缺”，缺少大陸小學數(shù)學“圖形與幾何”領域中包含的圖形運動中的平移和旋轉、位置與方向、觀察物體等內容?？偠灾?，該版《數(shù)學》“幾何”主題內容比我們大陸數(shù)學“圖形與幾何”領域內容少了許多，但是就其已呈現(xiàn)的知識編排來看，發(fā)現(xiàn)其在促進學生知識建構方面相當用心，可以說是“少而精”。

（二）具體編排：構建、明示、界定

因“測量”是我們大陸小學數(shù)學“圖形與幾何”領域中作為培養(yǎng)學生空間觀念不可忽缺的四大部分（圖形的認識、測量、圖形的運動、圖形與位置）內容之一，所以，本文在分析我國臺灣地區(qū)翰林版小學《數(shù)學》“幾何”主題內容的編排特點時，把測量內容也一并考慮進去。

1.構建發(fā)展路徑

該版教材“幾何”（含測量）主題內容有一個明顯的特點就是“構建發(fā)展路徑”。如本文開頭提到的面積單位，其在第十冊（五下）第8單元“生活中的大單位”之第二小節(jié)“8-2認識公畝、公頃和平方公里”中，對公畝、公頃和平方公里這3個土地面積單位安排了四個層次的學習：一是認識公畝：從“100平方公尺與1公畝哪個大”以及詼諧的問題：“公母，到底是公的還是母的”正反兩方面引入“公畝”概念，接著呈現(xiàn)字母表示法、用方格圖表示1公畝的大小以及公畝與平方公尺之間的進率（圖2）（為了便于讀者閱讀，已將圖2～8教材內容中的繁體字轉化成了簡體字）。二是認識公頃：包括公頃的概念及其字母表示法、用方格圖表示1公頃的大小以及公頃分別與公畝、平方公尺之間的進率（圖3）。三是認識平方公里：包括平方公里的概念及字母表示法、用方格圖表示1平方公里的大?。▓D4）。四是用3個連續(xù)的“＝”表示4個土地面積單位之間的進率，形成相鄰兩個土地面積單位之間的進率都是100的發(fā)展路徑（圖5）。另外還安排了有關土地面積單位化聚的9個例題，因篇幅所限，不作贅述。

圖2 認識公畝

圖3 認識公頃

圖4 認識平方公里

圖5 土地面積單位之間的進率

2.明示銜接內容

該版教材“幾何”（含測量）主題內容的第二個特點是“明示銜接內容”。該特點表現(xiàn)在兩個方面：首先，明示與單元內容相關聯(lián)的前后銜接內容。這個特點不僅僅體現(xiàn)在“幾何”主題，其他主題內容也一樣，即每單元起始頁主題圖的下方，都明示“以前學過的”“本單元要學的”“以后要學的”三個階段的內容，以及“溫故練習”。這樣編排有利于激活中、下水平學生的記憶，為他們打通新、舊知識之間的聯(lián)系，使他們獲得對新知進行延展聯(lián)想的思維支撐。如第十冊（五下）“容積”單元的起始頁下方明示了與“容積”單元內容有關的以前學過的知識、本單元要學習的要點和以后要學的內容（圖6）。其次，明示與某個具體知識相關聯(lián)的學習基礎。如第十二冊（六下）“角柱與圓柱”單元內容之第三小節(jié)“2-3角柱與圓柱的體積”中，在學習底面為平行四邊形的柱體體積時，先以“溫故”的形式呈現(xiàn)其學習基礎——以前學過的長方體體積計算公式、底面積計算公式、簡化的體積計算公式及所屬冊別和單元標題（圖7）。

圖6 與“容積”單元相關的前后銜接內容

圖7 “底面為平行四邊形的柱體體積”的學習基礎

3.界定概念內涵

該版教材“幾何”（含測量）主題內容的第三個特點是“界定概念內涵”。如第十冊（五下）“容積”單元，明晰了容積概念“是指容器內部空間的大小”，容量概念“是指將容器裝滿液體時，液體的量”和生活中經(jīng)常碰到的“c.c.”大小“1立方公分可以簡記成1c.c.”。其中容積概念用“容器”作為前置概念，暗含著空心的意思；用“內部”這個表示具體位置的詞作定語來修飾空間，毫無疑問地表明了計量容積要從里面量的道理。該概念的界定形式既直接又簡單地揭示了容積的內涵，與體積概念“物體占有的空間大小”構成對比，使學生容易理解。另外，從第五冊（三上）開始到第十二冊（六下），每冊教材的后面都附錄了本冊教材中出現(xiàn)的數(shù)學名詞解釋，以方便學生理解、查閱。如第十二冊（六下）附錄了關于“幾何”（含測量）主題內容的兩個名詞“柱體的體積”和“柱體的表面積”（見表1）。

表1 數(shù)學名詞解釋表

三、啟示：把握知識的內在邏輯

我國臺灣地區(qū)翰林版小學《數(shù)學》“幾何”（含測量）主題內容的三個特點，可以給我們的數(shù)學教學帶來以下啟示。

（一）補齊知識斷層

現(xiàn)行數(shù)學教材，因各種各樣的原因，對部分知識有所取舍，造成數(shù)學知識的斷層。如人教版《義務教育教科書·數(shù)學》沒有編排與“公畝”有關的內容，可能與其不是法定單位（我國公布施行的土地面積法定單位有3個：平方千米/平方公里、公頃、平方米）且應用范圍不廣有關。有的取舍可能有利于學生對相關知識的建構，但有的取舍卻可能適得其反。因而，教師要仔細研讀教材，盡力挖掘隱藏的數(shù)學知識，并仔細斟酌是否要將隱藏的數(shù)學知識顯性化，在教學中給予呈現(xiàn)。對有的應當補齊的知識斷層，不要拘泥于現(xiàn)有教材沒有將其編入的局限，而要大膽地將其結合在教學中讓學生學習。正如剛才提到的“公畝”，雖然在人教版《義務教育教科書·數(shù)學》四年級上冊“公頃和平方千米”單元中沒有出現(xiàn)，但在例1以國家體育場“鳥巢”的占地面積為例認識完“公頃”之后，其下面的“做一做”題目：“在操場上量出邊長是10米的正方形，看看它的面積有多大。（ ）塊這么大的正方形的面積是1公頃”中隱含著一個面積單位“平方百米”——公畝。與之配套的《教師教學用書》明確了安排該題的目的：“通過測量活動，讓學生建構起100平方米的直觀表象，為準確建立1公頃的表象提供間接經(jīng)驗支持。”既然這樣，從保證面積單位研究方式的延續(xù)性（邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米；邊長1分米的正方形，面積是1平方分米……邊長100米的正方形，面積是1公頃），面積單位的全面性、連續(xù)性以及學生思維發(fā)展的角度考慮，有必要讓這個隱藏著的面積單位露出“真面目”。因此，在學生完成“做一做”的測量活動后，教師可以順勢揭開“公畝”的“蓋頭”，讓這個面積單位及字母表示法在學生面前閃亮登場。另外，該單元也沒有給出公頃的字母表示法，但是在六年級下冊末尾的附表中又給出了公頃的字母表示法——“hm2”（這與國際上通用的公頃字母表示法“ha”不同）。所以，為了避免在六年級下冊突然出現(xiàn)公頃字母表示法的突兀，也有必要在該單元認識公頃時，一并讓學生認識我國使用的公頃的字母表示法“hm2”，以保證面積單位字母表示法的連續(xù)性。從量上看，學習這些內容，好像增加了學生的學習負擔；但從知識的結構性和規(guī)律性來看，更有利于學生建構一個完整的相鄰兩個面積單位之間的進率都是100的縱向知識鏈。（圖9所示六年級下冊末尾的附表中關于面積的計量單位只給出了平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米，為了與學生在小學階段所認識的長度單位“毫米、厘米、分米、米、千米”對應，所以本知識鏈除了加上“公畝”外，還補上了平方毫米）學生可以憑借“100”這個規(guī)律進行類推，有效解決有關面積單位間的化聚問題。

圖9 相鄰兩個面積單位之間的進率

（二）溝通前后聯(lián)系

不同的數(shù)學知識之間或多或少都存在著聯(lián)系，只是有的聯(lián)系明顯，屬強聯(lián)系，容易發(fā)現(xiàn)；有的聯(lián)系則不明顯，屬弱聯(lián)系，需要經(jīng)過一些知識的中轉，搭建聯(lián)系的橋梁；有的甚至表面上看起來毫無聯(lián)系，需要轉換角度，或者透過表面深入本質才能找到它們之間深藏著的聯(lián)系。教師在研讀教材時，要努力發(fā)現(xiàn)各種知識之間的隱性聯(lián)系，教有聯(lián)系的數(shù)學，幫助學生有效建構相關的知識體系。如在學生學完長方體體積計算公式的推導過程后，讓學生試著聯(lián)想以前學習的平行四邊形面積計算公式的推導過程——將平行四邊形剪拼成面積不變的長方形，如果把若干個一模一樣的平行四邊形重疊在一起，就成為一個底面是平行四邊形的柱體，也可以將這個柱體切拼成體積不變的長方體（圖10），由此可推導出底面是平行四邊形的柱體體積計算公式。同樣，從三角形、梯形及圓面積計算公式的推導過程可以聯(lián)想將若干個一模一樣的三角形、梯形、圓形采用重疊的方法分別變成底面是三角形、梯形、圓形的柱體，將兩個完全一樣的底面是三角形、或梯形的柱體拼成底面是平行四邊形的柱體，可以求出底面是三角形或梯形的柱體的體積計算公式；將圓柱切拼成體積不變的近似長方體，進而推導出圓柱的體積計算公式，在此基礎上歸納出統(tǒng)一的柱體體積計算公式“柱體體積＝底面積×高”。這樣將立體圖形體積計算公式的推導過程與平面圖形面積計算公式的推導過程建立聯(lián)系，區(qū)別只在于，如平行四邊形、圓面積計算公式的推導過程是“等面積變形”，底面是平行四邊形、圓形柱體體積計算公式的推導過程是“等體積變形”。如果能經(jīng)常引導學生像這樣在同類或不同類知識之間建構聯(lián)系，對培養(yǎng)學生舉一反三的能力將大有裨益。

圖10 兩種公式推導過程的聯(lián)系圖

（三）揭示概念本質

數(shù)學概念是現(xiàn)行數(shù)學教材中的一個不可忽缺的部分。學生學習某類數(shù)學知識，首先是始于對該類知識相關概念的學習，是從概念出發(fā)，然后將學習一步一步推向深入。數(shù)學概念的教學，要重視引導學生撥開概念中的“詞語迷霧”，揭示概念的本質，促進學生對數(shù)學知識的深度學習。如人教版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級下冊“長方體和正方體”單元中的“容積和容積單位”的教學，要重視引導學生理解容積概念：“箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積”。揭示該概念的本質要從三個方面展開：一是“箱子、油桶、倉庫”等具體物品所代表的概念——容器，其本質是空心，能裝東西。二是“所能容納物體的體積”，即用其他物體的體積來定義容積，是間接定義。如米桶中裝滿米，米的體積是米桶的容積；倉庫裝滿貨物，貨物的體積是倉庫的容積。三是最最本質的部分，如米桶裝滿米，米桶本身有厚度，厚度不能計算在內，所以米的體積實質上就是米桶內部空間的大小，這就決定了計算米桶的容積要從里面量米桶的長、寬、高。只有經(jīng)過這樣的三重建構，學生對諸如“一罐牛奶盒上寫的‘凈含量480ml’指的是（ ）A.牛奶盒的體積，B.牛奶盒的容積，C.牛奶的體積，D.牛奶的容積”這樣的題目時，才能作出正確的選擇。

綜上所述，不管是補齊知識斷層、溝通前后聯(lián)系，還是揭示概念本質，都要求教師深入研讀教材，把握知識內在的邏輯，在思考怎樣教之前真正弄清楚教什么。其目的是實現(xiàn)用教材教，是在忠實于現(xiàn)有教材的情況下，又能超越教材。只有這樣，才能不斷完善數(shù)學知識體系，促進學生有效建構。