ELYAS Hedayati Rad, HOSSEIN Hassani, YOUSEF Shiri,SEYED Jamal Sheikh Zakariaee

（1.伊斯蘭阿扎德大學(xué)科學(xué)和技術(shù)學(xué)院石油工程系，德黑蘭 15847-43311，伊朗；2.德黑蘭理工大學(xué)采礦與冶金工程系，德黑蘭 15916-34311，伊朗；3.沙魯?shù)吕砉ご髮W(xué)采礦、石油和地球物理工程學(xué)院，沙魯?shù)?36199-95161，伊朗）

0 引言

在石油工程中，通常將露頭、地震、測(cè)井、巖心及生產(chǎn)數(shù)據(jù)資料用于儲(chǔ)集層評(píng)價(jià)[1]，可以從以下3種類(lèi)型的數(shù)據(jù)中提取和確定儲(chǔ)集層的深度和厚度：①具有低垂向分辨率和高橫向分辨率的地震數(shù)據(jù)；②具有中等的橫向分辨率和高垂向分辨率的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)；③具有非常高的垂向分辨率、但沒(méi)有橫向信息的巖心數(shù)據(jù)。近年來(lái)，通過(guò)測(cè)井資料進(jìn)行分形分段和分層檢測(cè)取得了很好的應(yīng)用效果，發(fā)展前景很好[2]。地震數(shù)據(jù)的分形特性以及利用其特征進(jìn)行分層很關(guān)鍵，難度也較大，因?yàn)檫@類(lèi)數(shù)據(jù)具有較大的覆蓋范圍。此外，當(dāng)只有地震數(shù)據(jù)可用時(shí)，通過(guò)其他資料提取的地層信息非常關(guān)鍵。

自相似性下的分形概念由Mandelbrot于1967年提出，并于1968年與Van Ness一起擴(kuò)展到時(shí)間序列[3]。分形布朗運(yùn)動(dòng)（fBm）和分形高斯噪聲（fGn）是自相似時(shí)間序列的經(jīng)典形式[3-5]。可以通過(guò)定義的赫斯特（Hurst）指數(shù)或霍爾德（H?lder）正則度（H）（由哈羅德·赫斯特于1951年提出）來(lái)創(chuàng)建隨機(jī)游走或布朗游走[6]。當(dāng)H值為0.5～1.0，則游走將顯示長(zhǎng)期記憶；如果它們是相關(guān)且持久的，稱為fBm或fGn[3,7]。它可以描述許多自然現(xiàn)象，例如物理學(xué)、地球物理學(xué)和地質(zhì)學(xué)[8-12]現(xiàn)象。當(dāng)H值為0～0.5，則游走是不持久且負(fù)相關(guān)的。當(dāng)H=0.5，則游走是隨機(jī)的[13]。可以通過(guò)多種方法對(duì)H進(jìn)行分析，例如重標(biāo)極差法、小波變換、半方差圖分析、功率譜、功率譜密度、去趨勢(shì)波動(dòng)分析和粗糙長(zhǎng)度法[14]。

單分形或同質(zhì)分形用于具有恒定赫爾德指數(shù)和單一fBm的信號(hào)。Mandelbrot針對(duì)湍流現(xiàn)象首先提出了多重分形[15]，后來(lái)被用于許多領(lǐng)域[16-18]。分形維在許多研究中被廣泛應(yīng)用，例如：比較股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)[19]、石油測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中分形特性的變化[20]、地層的巖石物性分段[2]、通過(guò)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的分形特性進(jìn)行巖相識(shí)別[21]和天然地震數(shù)據(jù)的分形分析[22]。從沉積環(huán)境中提取屬性的垂直序列顯示出具有長(zhǎng)記憶相關(guān)性的分形性，并且具有類(lèi)似于fGn（H=0.7）的特征[20]。在具有多重分形結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)（例如股票市場(chǎng)或地層）中，系統(tǒng)的任何部分都可由不同的H[19,23-24]來(lái)區(qū)分。在地質(zhì)學(xué)中，可以通過(guò)不同的分形特性來(lái)揭示其非均質(zhì)性[25]。每個(gè)H值代表一個(gè)單獨(dú)的層，屬于特定的沉積環(huán)境，并用于分析局部的時(shí)間序列、聚類(lèi)和檢測(cè)床層[2,26-27]。根據(jù)這些研究，可以推測(cè)自相似性存在于地層的各個(gè)尺度上。由于巖石形成過(guò)程中的沉積、成巖作用和巖化作用差異，在地震及測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)上具有多重分形特征[24,28]。

數(shù)據(jù)分段用于查找時(shí)間序列分段、檢測(cè)故障點(diǎn)以及查找系統(tǒng)的不同模式，它是通過(guò)諸如最大似然、主成分、判別函數(shù)分析和數(shù)據(jù)聚類(lèi)之類(lèi)的方法完成的。這些方法需要大量數(shù)據(jù)，但有時(shí)無(wú)法獲取大量數(shù)據(jù)，因此具有局限性[29]。在本研究中，考慮了各尺度的沉積巖的分形特性，通過(guò)多分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析（MF-DFA）在地震數(shù)據(jù)的地震道上對(duì)多分形性進(jìn)行研究。通過(guò)多重分形所得到的結(jié)果，使用小波變換法測(cè)量這些地震道隨深度變化的分形維，然后通過(guò)自回歸外生（AE）模型將它們聚類(lèi)為等效層。這種方法為地震解釋提供了一種新的數(shù)學(xué)方法。

1 方法

本研究著重地震數(shù)據(jù)的多重分形及通過(guò)自相似AE（SAE）模型進(jìn)行的分形分段，即通過(guò)對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行MF-DFA分析，確定多重分形的類(lèi)型。找到多重分形的來(lái)源之后，應(yīng)用分形分段，將固定或單分形的塊或特定層與其他部分分開(kāi)。筆者使用測(cè)井和疊后地震數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

地震屬性資料可以對(duì)油藏屬性和地層巖性進(jìn)行定量和定性解釋。地震屬性基本上可分為兩類(lèi)：物理屬性和幾何屬性。物理屬性與地震波傳播、巖性和其他相關(guān)屬性有關(guān)，包括表示地震數(shù)據(jù)連續(xù)性的瞬時(shí)屬性和表示小波及其振幅譜特征的小波屬性。幾何屬性包括傾角、方位角和不連續(xù)性屬性，它們?nèi)Q于地震數(shù)據(jù)在X、Y和Z方向上的振幅變化[30]。利用地震數(shù)據(jù)的分形特性是一種新穎的想法，幾十年來(lái)人們一直在使用這種方法[31-34]。在所有地震屬性中，功率譜密度或功率譜是與分形幾何形狀最相關(guān)的地震屬性，并且與下一節(jié)中描述的赫斯特指數(shù)有關(guān)?？傊?，利用這種關(guān)系和統(tǒng)計(jì)AE模型來(lái)檢測(cè)地層是本文的創(chuàng)新。

1.1 分形維和多重分形

為了找到序列的結(jié)構(gòu)，筆者分析了數(shù)據(jù)的標(biāo)度指數(shù)，它顯示出任意尺度上的結(jié)構(gòu)，都可以用于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋和分類(lèi)。通常情況下，對(duì)N個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)為τ的簡(jiǎn)單隨機(jī)游走引入具有隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間序列x(t)，公式表示如下：

其中，X(t)是時(shí)間t=Nτ時(shí)的總旅行距離。

時(shí)間序列的自相關(guān)表示如下：

（2）式中＜＞是對(duì)一個(gè)時(shí)間段求平均值。（2）式是功率譜的逆余弦傅立葉變換，因此，一個(gè)序列的功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換。

fGn是一個(gè)信號(hào)或一個(gè)隨機(jī)變量，其標(biāo)度可以用功率譜密度定義為：

（3）式中“≡”是分布均勻性，H為赫斯特指數(shù)，表示過(guò)程的長(zhǎng)期依賴程度，0＜H＜1。

當(dāng)H=0.5時(shí)，表示信號(hào)是白噪聲或隨機(jī)噪聲，并且遵循fBm規(guī)律。對(duì)于白噪聲，自相關(guān)會(huì)隨時(shí)間衰減，并且其平均值與時(shí)間步長(zhǎng)（τ）存在如下關(guān)系：

當(dāng)0＜H＜0.5時(shí)，表示信號(hào)為非持續(xù)性，隨機(jī)游走會(huì)在任何一步之后改變其方向。對(duì)于此赫斯特指數(shù)范圍，功率譜集具有自相關(guān)，表示如下：

該信號(hào)具有短時(shí)記憶，并且該過(guò)程以單調(diào)和雙曲線形式快速衰減為零。

當(dāng)0.5＜H＜1.0時(shí)，表示信號(hào)具有持續(xù)性，這意味著隨機(jī)游走會(huì)繼續(xù)進(jìn)行并逐步向其游走方向持續(xù)。此運(yùn)動(dòng)的功率譜具有其自身的特定自相關(guān)函數(shù)，表示如下：

（6）式為長(zhǎng)尾記憶，表明自相關(guān)函數(shù)會(huì)隨時(shí)間緩慢衰減[13]。

具有單個(gè)標(biāo)度指數(shù)的簡(jiǎn)單單分形樣式不會(huì)顯示出所有的現(xiàn)象。MF-DFA是一種分析多重分形源的程序，與去趨勢(shì)波動(dòng)分析（DFA）相比，它的編程算法簡(jiǎn)單得多。DFA和MF-DFA均可用于確定非平穩(wěn)噪聲時(shí)間序列中的分形標(biāo)度特性和遠(yuǎn)距離相關(guān)性[35-37]，它們被廣泛應(yīng)用于DNA序列、心率動(dòng)態(tài)、長(zhǎng)期氣象記錄[38-40]以及地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和音樂(lè)等領(lǐng)域[4,41-42]。

確定一個(gè)有限序列的多重分形。假設(shè)時(shí)間序列｛p(i)｝,i=1,2,…,N，N是序列的長(zhǎng)度或者是構(gòu)成該序列的振幅數(shù)。MF-DFA程序的應(yīng)用如下[43-44]：

②將剖面P(i)等分成Nl≡int(N/l)段。為避免遺漏該序列的短端部分，從該序列的末尾重復(fù)相同的過(guò)程。因此，需對(duì)2Nl段（υ）作進(jìn)一步分析。

③進(jìn)行最小二乘擬合并將其從原始剖面中去除，從而對(duì)2Nl段進(jìn)行趨勢(shì)計(jì)算。然后，在每個(gè)段中計(jì)算去趨勢(shì)剖面的方差，公式如下：

④對(duì)所有段的方差求平均值，局部波動(dòng)如下：

其中q是局部波動(dòng)的階數(shù)，q為正值時(shí)會(huì)放大波動(dòng)很大的片段，而q為負(fù)值時(shí)會(huì)放大波動(dòng)很小的片段，q=0是中性中點(diǎn)，顯示兩種波動(dòng)的影響。對(duì)于l和q的不同值，重復(fù)上述步驟。

⑤Fq(l)隨l變化的關(guān)系式如下：

為實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)一般性，筆者排除了l＜10及l(fā)＞N/4的情況，因?yàn)樵摲秶臄?shù)量很少并且第4步的平均過(guò)程不可靠[44]。h(q)是廣義的赫斯特指數(shù)，等于lnFq(l)和lnl的最小二乘擬合斜率。不同的q顯示波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度特性?？梢詮膆|q=2獲得赫斯特指數(shù)H。對(duì)于不同的q，如果h(q)恒定不變，則時(shí)間序列是單分形的。否則，如果h(q)發(fā)生變化，則時(shí)間序列是多重分形的。當(dāng)q＞0時(shí)，h(q)顯示波動(dòng)較大段的標(biāo)度特性；當(dāng)q＜0時(shí)，h(q)顯示波動(dòng)較小段的標(biāo)度特性[13]。

多重分形的原因通常是由于存在廣泛的密度函數(shù)，該函數(shù)在隨機(jī)序列（時(shí)間序列的非高斯概率密度函數(shù)（PDF））中存在肥尾現(xiàn)象或長(zhǎng)期相關(guān)性（波動(dòng)幅度較小和較大的遠(yuǎn)程時(shí)間相關(guān)性）或兩者兼而有之。通過(guò)分析原始、替代（相位隨機(jī)化）和疊加時(shí)間序列中的多重分形來(lái)區(qū)分不同類(lèi)型的多重分形特征[44-45]。

在序列PDF中出現(xiàn)肥尾時(shí)，疊加不能消除多重分形，并且如果多重分形僅屬于長(zhǎng)記憶相關(guān)性，則疊加將消除多重分形源并破壞所有相關(guān)性[44]，因此會(huì)發(fā)現(xiàn)hshuffle(q)=0.5。

如果在大、小尺度下波動(dòng)具有不同的相關(guān)性（PDF肥尾），類(lèi)似于高斯分布，替代序列會(huì)破壞多重分形的來(lái)源。另一方面，通過(guò)替代時(shí)間序列，該序列的離散傅立葉變換系數(shù)的相位被[0，π]的一組均勻量所代替，而且PDF變?yōu)楦咚狗植肌Ｍ瑫r(shí)，替代序列中的相關(guān)性不變。

如果同時(shí)存在兩種類(lèi)型的多重分形，則替換和疊加序列的一般赫斯特指數(shù)均取決于q，并且它們的多重分形值均低于原始序列[43]。

疊加會(huì)對(duì)時(shí)間序列值的階數(shù)隨機(jī)化，這樣，時(shí)間序列的PDF不會(huì)因疊加而改變，但會(huì)破壞空間相關(guān)性[45]。Theiler等人在1992年提出了時(shí)間序列的替代或相位隨機(jī)化方法[46]。通過(guò)該相位隨機(jī)化，可以評(píng)估PDF廣度[47]。為了以隨機(jī)方式計(jì)算具有相同均值、方差和功率譜的替代時(shí)間序列，可以使用以下過(guò)程[47-48]。首先，將該序列轉(zhuǎn)換為復(fù)雜的數(shù)組，然后進(jìn)行離散傅里葉變換。在（0，π）形成隨機(jī)相位之后，將隨機(jī)化的相位插入傅立葉變換數(shù)據(jù)中，最后應(yīng)用傅立葉變換反演將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為原始狀態(tài)。

1.2 使用SAE模型進(jìn)行分段

某一頻段的時(shí)間序列和地震記錄具有混沌性質(zhì)[49]。SAE方法涉及兩個(gè)常規(guī)自回歸和非線性赫斯特指數(shù)地震屬性的組合[50]。自回歸模型用于不同情況，例如民用建筑中的損傷檢測(cè)和不同現(xiàn)象的離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)分析[51-52]。在不同的H值估計(jì)方法中，選擇小波變換方法是因?yàn)樗梢杂?jì)算任何序列中的H值[53]。當(dāng)常規(guī)的頻率域和時(shí)間域分析無(wú)法提供有價(jià)值的結(jié)果時(shí)，赫斯特指數(shù)作為一種屬性，它是一種了解非平穩(wěn)信號(hào)的有效參數(shù)。它給出了與分形維數(shù)直接相關(guān)的特定時(shí)間和頻率信息，用于量化時(shí)間序列中點(diǎn)的相關(guān)性，尤其是根據(jù)點(diǎn)的可預(yù)測(cè)性和混亂程度對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)[53-55]。

將一個(gè)序列的分形分段描述為將其分割成固定的小塊。本研究旨在將SAE模型應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)以檢測(cè)小層。為此，在檢測(cè)并證明了地震數(shù)據(jù)的多重分形性之后，通過(guò)以下方法進(jìn)行SAE模型分段：①應(yīng)用最佳和最小長(zhǎng)度相關(guān)的方法進(jìn)行H估計(jì)；②為H估計(jì)選擇最佳分段長(zhǎng)度；③在H序列上執(zhí)行AE模型分段；④使用最優(yōu)方差控制分段的真實(shí)水平。

首先，使用小波變換方法估計(jì)H。然后，選擇最佳間隔并將其應(yīng)用于合成和實(shí)際地震時(shí)間序列的H值估計(jì)。之后，在H序列中應(yīng)用AE模型分段。AE模型分段是根據(jù)Ljung[56]開(kāi)發(fā)的基于卡爾曼（Kalman）濾波技術(shù)的多個(gè)并行模型進(jìn)行的。通過(guò)估計(jì)線性回歸模型[57]，此過(guò)程是系統(tǒng)識(shí)別中最基礎(chǔ)的工作。因此，系統(tǒng)參數(shù)僅在特定時(shí)間實(shí)例處發(fā)生變化，并且是分段不變的。具體參考Basseville、Gustafsson和Balakrishnan等的研究[58-60]。

AE算法如下：考慮一個(gè)涉及u(k)和y(k)兩種信號(hào)的系統(tǒng)。AE模型具有自回歸部分A(q,θ)y(k)和外生變量B(q,θ)u(k)，可用以下關(guān)系式表示：

其中，e(k)是非平穩(wěn)白噪聲，并且參數(shù)向量θ定義為：

如果φ(k)=[-y(k-1)-y(k-2)…-y(k-na)u(k-1)u(k-2)…u(k-nb)]T，則回歸向量φ(k)與參數(shù)向量θ的關(guān)系如下：

該方程是線性回歸，可以通過(guò)最小二乘法[61]估計(jì)參數(shù)向量θ。

1.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本研究所用數(shù)據(jù)為伊朗西南部波斯灣的疊后地震數(shù)據(jù)及3口井的常規(guī)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)，地層巖性主要為白云巖、灰?guī)r、泥灰?guī)r、砂巖和頁(yè)巖，厚度約為10 000 m。這些沉積物來(lái)自中生代到第四紀(jì)的新特提斯洋，也被稱為扎格羅斯褶皺帶，寬120～250 km，長(zhǎng)1 375 km[62]。由于地層的非均質(zhì)性及其地球物理特征差異，不同層位具有不同的分形特征[63]。研究區(qū)的地質(zhì)柱狀剖面與其他地區(qū)類(lèi)似，由蒸發(fā)巖、砂質(zhì)灰?guī)r、泥質(zhì)灰?guī)r和白云巖構(gòu)成。儲(chǔ)集層巖性為碳酸鹽巖。

當(dāng)能量從炸藥爆炸中釋放出來(lái)或由可控震源車(chē)產(chǎn)生時(shí)，基于地層的速度和密度，將一個(gè)脈沖或一系列脈沖發(fā)送到地層所在深度并反射到達(dá)地層頂部之后，通常會(huì)發(fā)生反射、折射和透射。反射波的幅度和強(qiáng)度取決于兩層之間的聲阻抗的差值或反射系數(shù)。這些脈沖在穿過(guò)具有不同反射率的地層時(shí)發(fā)生變化，然后被遠(yuǎn)離脈沖源的地震檢波器記錄下來(lái)。這是子波與地層反射系數(shù)的褶積。在本研究中，為了制作合成地震道，筆者使用了從地震數(shù)據(jù)中提取的子波（見(jiàn)圖1），并且根據(jù)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算出了波阻抗。

在正演模擬時(shí)，子波在確定地震數(shù)據(jù)的振幅、相位和頻率方面至關(guān)重要，本研究中所使用的子波具有適當(dāng)振幅和相位，源自實(shí)際測(cè)井和地震數(shù)據(jù)[64-65]。振幅譜完全是根據(jù)地震數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出，相位譜是從測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中提取的。以這種方式提取地震子波，以確保了井眼合成地震道可以很好地代表井旁地震道，并且深度與地震剖面深度完全匹配。

圖1 從二維地震剖面中提取的子波

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.1 MF-DFA分析的多重分形結(jié)果

原始、替代和疊加數(shù)據(jù)的MF-DFA將闡明多重分形的類(lèi)型和來(lái)源。圖2顯示了原始序列、替代序列和疊加序列中H對(duì)q的依賴性。當(dāng)H＞0.5時(shí)，它顯示出正相關(guān)和持續(xù)時(shí)間序列。地震道的多分形性來(lái)源既有長(zhǎng)記憶相關(guān)性，又有PDF廣度。疊加序列和原始序列之間的赫斯特指數(shù)差值大于替代序列和原始序列之間的赫斯特指數(shù)差值。因此，相關(guān)性引起的多重分形性強(qiáng)于肥尾引起的多重分形性。這是由于地層的兩個(gè)物理特性造成的：沉積環(huán)境增強(qiáng)了相關(guān)性，而非均質(zhì)性則導(dǎo)致了PDF廣度，兩者均由地震數(shù)據(jù)所記錄。MF-DFA證明這些數(shù)據(jù)中存在多重分形，并且每一個(gè)地層都有代表其分形特征的特定H值。

圖2 原始和疊加地震道MF-DFA分析結(jié)果

2.2 自相似分段

在SAE模型分段中，研究的間隔和e(t)的方差很重要。赫斯特指數(shù)估計(jì)對(duì)時(shí)間序列的分段長(zhǎng)度敏感，并且分段水平受e(t)的方差影響，兩者都是通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)來(lái)檢查和選擇的。因此，在運(yùn)行最終模型之前，首先要對(duì)模型進(jìn)行測(cè)試以確定評(píng)估赫斯特指數(shù)的最佳時(shí)間間隔。通過(guò)幾種方法在不同的時(shí)間間隔內(nèi)估算赫斯特指數(shù)，并通過(guò)比較得出相同的結(jié)果。其次，在對(duì)段的長(zhǎng)度初始化之后，方差取決于模型在時(shí)間間隔內(nèi)找到的分區(qū)數(shù)。地震道的理想分段間隔為80 ms，較小的間隔值會(huì)增加赫斯特指數(shù)估計(jì)的誤差，而較大的間隔值會(huì)降低分段的分辨率。選擇0.02 ms作為e(t)方差的最佳值，值越大，分區(qū)數(shù)越小，反之亦然。

2.2.1 理論楔形模型分析

研究表明，在不同標(biāo)度下巖石的分形特性與其特性之間存在相關(guān)性，它們是良好的分形體，其分形特性與其標(biāo)度無(wú)關(guān)。這些特征包括巖石類(lèi)型、總有機(jī)質(zhì)含量、在對(duì)流和擴(kuò)散過(guò)程中酸性和活性流體含量、潤(rùn)濕性、顆粒大小、總孔隙體積、孔隙結(jié)構(gòu)、顆粒間和顆粒內(nèi)孔隙體積大小、比表面積、黏土礦物含量、滲透性等。這些研究的結(jié)果表明，估計(jì)的H值取決于許多因素。頁(yè)巖H值的范圍為0～1，灰?guī)rH值的范圍為0.25～0.65[66-73]。為進(jìn)行合成楔形建模，筆者分析了頁(yè)巖和灰?guī)r這兩種巖石類(lèi)型，并將灰?guī)r的H平均值定為0.45，將頁(yè)巖的H平均值定為0.70。

楔形建模用于了解地震數(shù)據(jù)處理的垂直分辨率。調(diào)諧使兩個(gè)反射信號(hào)要么顯示為一個(gè)信號(hào)，要么顯示為無(wú)信號(hào)。因此，該厚度表示子波可以識(shí)別的最小地層分辨率。在當(dāng)前的楔形建模中，將雷克子波與地層反射系數(shù)進(jìn)行褶積，以分析SAE模型的最小分辨率。地震數(shù)據(jù)的平均頻率為25 Hz。因此，使用25 Hz頻率的雷克子波對(duì)20度楔形模型進(jìn)行2D零偏移測(cè)量。地表均為泥巖，密度為2.3 g/cm3，聲波速度為3 000 m/s；楔形體為灰?guī)r，密度為2.6 g/cm3，聲波速度為5 000 m/s。楔形模型的合成地震數(shù)據(jù)有2 000道，記錄的采樣率為1 ms，道間距為1 m。

楔形模型的反射率剖面如圖3a所示。SAE方法利用地面的分形特性對(duì)地層進(jìn)行檢測(cè)和分類(lèi)，因此，類(lèi)似于實(shí)際數(shù)據(jù)，在泥頁(yè)巖地區(qū)，認(rèn)為H值為0.7的fBm的小反射構(gòu)成了頁(yè)巖介質(zhì)；在灰?guī)r楔形體中，H值為0.45的fBm的小反射為灰?guī)r介質(zhì)。兩個(gè)區(qū)域邊界處的反射系數(shù)為±0.3，這取決于這兩個(gè)區(qū)域的聲波阻抗差。

該楔形模型的最終2D零偏移剖面如圖3b，針對(duì)不同地震道的SAE分段如圖3c所示?？梢钥闯?，當(dāng)楔形體的時(shí)間厚度小于100 ms（薄層）時(shí)，該模型只能檢測(cè)到第1個(gè)界面，CDP（共反射點(diǎn)道集）為500；當(dāng)時(shí)間厚度大于100 ms時(shí)，兩個(gè)界面都可以很好地檢測(cè)到（CDP為1 500和2 000）；當(dāng)厚度為100 ms左右時(shí)，可以很好地檢測(cè)到第1個(gè)界面，但在檢測(cè)第2個(gè)界面時(shí)出錯(cuò)（CDP為1 000）。

2.2.2 實(shí)際數(shù)據(jù)分析

聲波阻抗上的SAE模型分段結(jié)果，A、B和C井的合成地震道以及井旁地震道上SAE模型分段結(jié)果如圖4、圖5和圖6所示。為了更好地進(jìn)行曲線對(duì)比，所有x軸數(shù)據(jù)都在最小值和最大值之間進(jìn)行了歸一化處理。

圖3 楔形模型的反射系數(shù)（a）、地震剖面（b）和SAE分段（c）

圖4 過(guò)A井地震剖面應(yīng)用分形方法地質(zhì)分層結(jié)果

圖5 過(guò)B井地震剖面應(yīng)用分形方法地質(zhì)分層結(jié)果

圖6 過(guò)C井地震剖面應(yīng)用分形方法地質(zhì)分層結(jié)果

由于A井有部分聲波阻抗數(shù)據(jù)缺失，故本次對(duì)B井和C井使用聲波阻抗、合成地震道和實(shí)際地震道進(jìn)行地質(zhì)分層。在B井中，可以通過(guò)聲波阻抗和合成地震道很好地識(shí)別所有小層的頂部；使用地震道數(shù)據(jù)成功識(shí)別出6個(gè)小層的頂部，但在識(shí)別F5和F10小層時(shí)略有偏移，未能識(shí)別出F2、F4和F9小層頂部。對(duì)于C井中的8個(gè)小層的頂部，其中6個(gè)可以通過(guò)各種數(shù)據(jù)很好地識(shí)別，唯F1小層的頂部不能通過(guò)聲波阻抗來(lái)識(shí)別，但F7小層的頂部只能通過(guò)聲波阻抗來(lái)識(shí)別。總體而言，與測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)相比，地層厚度小、地震道質(zhì)量差是導(dǎo)致使用SAE方法地層識(shí)別時(shí)出現(xiàn)誤差的兩個(gè)主要原因。

盡管實(shí)驗(yàn)地震數(shù)據(jù)的質(zhì)量較差（最小分辨率約為10 m），但仍能很好地識(shí)別具有特定分形特性的地層，測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的分辨率為幾厘米。識(shí)別結(jié)果是地層的邊界，與巖性變化相對(duì)應(yīng)，并不總是等于地層頂部。分段間隔大小是降低結(jié)果分辨率的另一個(gè)因素，因?yàn)槟承c(diǎn)為新的分形點(diǎn)，并且SAE模型的結(jié)果顯示出較小的上移和下移。

對(duì)測(cè)井、合成地震數(shù)據(jù)和實(shí)際地震數(shù)據(jù)的聲波阻抗進(jìn)行的自相似分段與地層頂部結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在某些情況下，地震數(shù)據(jù)的自相似分段在檢測(cè)地層頂部時(shí)更為準(zhǔn)確。這項(xiàng)研究的結(jié)果與Shiri等人在2012年研究的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的SAE模型分段相當(dāng)[2]。

3 結(jié)論

MF-DFA是研究確定信號(hào)（如地震數(shù)據(jù)）的多重分形特性的有用方法，通過(guò)比較原始、疊加和替代的地震道，發(fā)現(xiàn)多重分形的原因更多是與長(zhǎng)期相關(guān)性有關(guān)，而不是PDF廣度。此外，影響長(zhǎng)期相關(guān)性和PDF廣度的主要因素是沉積環(huán)境和非均質(zhì)性。本文提出的SAE模型分段是對(duì)疊后地震數(shù)據(jù)和測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行的，研究結(jié)果表明，地震數(shù)據(jù)和測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的SAE模型分段可以檢測(cè)垂向上巖性的突變和漸變?；诘貙拥墓逃蟹中翁匦裕ǚ从吃诘卣鸷蜏y(cè)井?dāng)?shù)據(jù)上）的SAE模型分段是識(shí)別地層巖石物性變化的有效工具，當(dāng)數(shù)據(jù)是地震道且常規(guī)統(tǒng)計(jì)方法無(wú)法檢測(cè)地層時(shí)，這種方法的效果更加明顯。

符號(hào)注釋：

A(q,θ)——自回歸部分；B(q,θ)——外生變量；CDP——共深度點(diǎn)；e(k)——一種不穩(wěn)定的白噪聲；F(l,v)——趨勢(shì)剖面的方差；Fq(l)——局部波動(dòng)；h(q)——廣義Hurst指數(shù)；hshuffle(q)——混合序列的廣義Hurst指數(shù)；H——Hurst指數(shù)；i——時(shí)間序列編號(hào)；j——包含部分截面的總和；k——假定變量和相關(guān)系數(shù)指數(shù)；l——時(shí)間序列長(zhǎng)度；nb——多項(xiàng)式的最后指數(shù)；N——總時(shí)間步長(zhǎng)數(shù)；Nl——段數(shù)；P(i)——截面；Pv(i)——擬合多項(xiàng)式；q——局部波動(dòng)次序；RXX(k)——X時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)；S(ω)——功率譜；t——時(shí)間；T——轉(zhuǎn)置；u(k)，y(k)——信號(hào)；X(t)——地震總旅行時(shí)；Xi——時(shí)間序列；?(k,θ)——線性回歸函數(shù)；ξi——步長(zhǎng)隨機(jī)變量；τ——時(shí)間步長(zhǎng)變量；ξN——時(shí)間步長(zhǎng)長(zhǎng)度；ω——頻率；θ——系數(shù)向量；φ(k)——部分信號(hào)；υ——段。