王萬(wàn)良，李偉琨，臧澤林，趙燕偉,2

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)視覺研究所，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 特種設(shè)備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

0 引言

隨著時(shí)代的發(fā)展，研究不斷深入，傳統(tǒng)以人工干預(yù)為主、依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行工程設(shè)計(jì)優(yōu)化的方式已很難滿足現(xiàn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求。此外，隨著用戶需求的提升，設(shè)計(jì)元素更加多元化，工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題也由傳統(tǒng)的單一目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題。因此，許多新的技術(shù)被用來(lái)解決工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，其中進(jìn)化算法扮演了重要的角色。隨著遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)[1]的提出，新的進(jìn)化算法不斷涌現(xiàn)，如差分進(jìn)化算法(Differential Evolution, DE)[2]、進(jìn)化策略(Evolutionary Strategy, ES)[3]、粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)[4]、進(jìn)化規(guī)則(Evolutionary Programming, EP[5]、蟻群優(yōu)化(Ant Colony Optimization, ACO)算法[6]等。盡管如此，在解決實(shí)際工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)，仍會(huì)面臨許多挑戰(zhàn)如復(fù)雜約束[7]、不確定性[8]、局部最優(yōu)[9]等。在這其中，多目標(biāo)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題由于無(wú)法像單目標(biāo)優(yōu)化問題那樣找到一個(gè)單獨(dú)的最優(yōu)解來(lái)滿足所有的優(yōu)化目標(biāo)[10]，逐漸成為了研究的熱點(diǎn)。區(qū)別于早期的單目標(biāo)工程設(shè)計(jì)最優(yōu)化問題，多目標(biāo)優(yōu)化問題最終得到的解往往是一組相互沖突目標(biāo)間權(quán)衡取舍后的結(jié)果集合[11]，它們被稱為帕累托最優(yōu)解集(Pareto optimal set)或非支配解集(non-dominated set)[12]。針對(duì)此類問題，已有學(xué)者提出了可行的算法，這些算法主要?dú)w納為以下幾大類：

(1)基于群智能的進(jìn)化算法 這類算法往往脫胎于生物的群體行為，如多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)算法[13]、多目標(biāo)人工蜂群(Multi-Objective Artificial Bee Colony, MOABC)算法[14]、多目標(biāo)漩渦搜索算法(Multi-Objective Vortex Search Algorithm, MOVSA)[15]，多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法(Multi-Objective Bacteria Foraging Optimization Algorithm, MOBFOA)[16]、混合多目標(biāo)螢火蟲算法(Hybrid Multi-Objective Firefly Algorithm, HMOFA)[17]、改進(jìn)蟻群算法(Improved Ant Colony Algorithm, IACA)[18]、改進(jìn)的多目標(biāo)布谷鳥算法[19]、改進(jìn)的多目標(biāo)蜂群算法[20]等。但該類算法的性能往往也受限于其生物群體行為準(zhǔn)則。

(2)基于松散支配的進(jìn)化算法 該類算法大多提出了一種支配準(zhǔn)則來(lái)有效篩選個(gè)體，如強(qiáng)化帕累托進(jìn)化算法(Strength Pareto Evolutionary Algorithm，SPEA)[21]、改進(jìn)的強(qiáng)化帕累托算法(Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm，SPEA2)[22]、ε支配[23]、基于CDAS(control dominance area of solutions)支配[24]、基于α支配[25]、基于網(wǎng)格的進(jìn)化算法(Grid-based Evolutionary Algorithm, GrEA)[26]等。但是由于該類算法往往著重于強(qiáng)化算法的收斂性，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致算法在保持解的多樣性方便造成負(fù)面的影響。

(3)基于分解的進(jìn)化算法 該類算法往往通過(guò)使用一系列權(quán)重向量來(lái)生成多個(gè)聚合函數(shù)，從而將復(fù)雜的問題分解成多個(gè)子問題。如基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition, MOEA/D)[27]，基于分解的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法(Improved Decomposition-based Evolutionary Algorithm, I-DBEA)[28]，基于支配與分解的高維多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-objective Evolutionary Optimization Algorithm based on Dominance and Decomposition, MOEA/DD)[29]等。但該類算法受限于其所使用的分解函數(shù)，在高維空間中可能會(huì)對(duì)解的多樣性維護(hù)造成影響。

(4)基于評(píng)價(jià)指標(biāo)的算法(indicator-based approach) 為了在目標(biāo)空間中獲得最優(yōu)的解排序，很多學(xué)者提出了了基于評(píng)價(jià)指標(biāo)的多目標(biāo)算法，例如基于指標(biāo)的進(jìn)化算法(Indicator Based Evolutionary Algorithm, IBEA)[30]、基于超體支配的多目標(biāo)進(jìn)化選擇算法[31]、基于超體積級(jí)的進(jìn)化算法(fast Hypervolume based Evolutionary algorithm, HypE)[32]等。

(5)基于參考信息的算法(reference set based approach) 該類算法大多采用一組參考信息來(lái)輔助算法，并指導(dǎo)其搜索過(guò)程。如帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-Ⅱ)[33]、NSGA-Ⅲ[34]、參考向量引導(dǎo)進(jìn)化算法(Reference Vector guided Evolutionary Algorithm, RVEA)[35]等進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。盡管該類算法都可以不斷向真實(shí)最優(yōu)帕累托前段趨近，但大多單獨(dú)使用角度或距離來(lái)對(duì)種群進(jìn)行劃分，這往往會(huì)遺失部分優(yōu)秀的個(gè)體。此外，就像No Free Lunch理論中證明的一樣，并不存在一種算法可以解決所有優(yōu)化問題[36]，而這也是進(jìn)化計(jì)算在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化研究領(lǐng)域不斷創(chuàng)新的動(dòng)力所在。鑒于此，本文提出一種基于混合選擇的多目標(biāo)優(yōu)化算法(Hybrid Selection based Multi-objective Evolutionary Algorithm, HSMEA)來(lái)解決上述問題，該算法的主要?jiǎng)?chuàng)新如下：

1)算法設(shè)計(jì)了新的個(gè)體劃分方法，該方法通過(guò)綜合考慮候選個(gè)體與參考向量間的距離和夾角，高效地將候選個(gè)體分為不同的簇，從而為后續(xù)優(yōu)秀個(gè)體的篩選打下基礎(chǔ)。

2)對(duì)于劃分好的子種群，算法采用兩種不同的機(jī)制來(lái)有效地篩選優(yōu)秀個(gè)體：本文首先提出一種基于全局網(wǎng)格密度排序的選擇機(jī)制，該機(jī)制通過(guò)構(gòu)建網(wǎng)格坐標(biāo)，在選擇具有良好收斂性個(gè)體的同時(shí)，最大程度地保持其多樣性。此后，算法采用基于指標(biāo)的選擇機(jī)制，進(jìn)一步強(qiáng)化與鞏固篩選出個(gè)體的收斂性與多樣性。

1 背景簡(jiǎn)介

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

為了不失一般性，本節(jié)首先介紹多目標(biāo)優(yōu)化問題的基礎(chǔ)概念。多目標(biāo)優(yōu)化問題(Multi-objective Optimization Problem, MOP)在數(shù)學(xué)上可用下式表示：

minF(x)=(f1(x),f2(x),f3(x),…,fm(x))T。

(1)

式中：x=(x1,x2,x3,…,xn)為n維向量;X為n維決策空間;目標(biāo)函數(shù)F:X→m，其中m表示目標(biāo)個(gè)數(shù)，m表示目標(biāo)空間。此外，圍繞多目標(biāo)優(yōu)化問題產(chǎn)生的帕累托最優(yōu)相關(guān)概念最初由Edge和Pareto提出[37]，其具體定義如下[38]：

定義1帕累托占優(yōu)/支配。給定兩個(gè)向量x,y∈X,其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)向量為f(x),f(y)。稱x支配y(記作xy)，當(dāng)且僅當(dāng)?i∈(1,2,…,m)，fi(x)≤fi(y)且滿足?j∈(1,2,…,m),fj(x)

定義2帕累托最優(yōu)解。給定一個(gè)決策向量x∈X，稱其為帕累托最優(yōu)解(也稱為非支配解)，當(dāng)且僅當(dāng)y∈X，使得yx。

定義3帕累托最優(yōu)解集。所有帕累托最優(yōu)解(PS)的集合稱為帕累托最優(yōu)解集(也稱為非支配解集)，PS={x∈X|y∈X,yx}。

定義4帕累托最優(yōu)前端。所有帕累托最優(yōu)解所組成的圖像即為帕累托最優(yōu)前端，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：PF={F(x)|x∈PS}。

定義5理想點(diǎn)。給定一個(gè)向量g=(g1,g2,…,gm)，則g被稱為理想點(diǎn)，如果滿足g是fi(x)下確界，其中i∈(1,2,…,m)。

定義6最差點(diǎn)。給定一個(gè)向量g=(g1,g2,…,gm)，則g被稱為最差點(diǎn)，如果滿足g是fi(x)的上確界，其中i∈(1,2,…,m)

1.2 參考向量

HSMEA采用參考向量機(jī)制來(lái)輔助算法完成優(yōu)秀個(gè)體的篩選。作為整個(gè)算法的基本機(jī)制，HSMEA使用的所有參考向量均為第一象限內(nèi)的單位向量，起始點(diǎn)是初始點(diǎn)。理論上，這種單位向量可以通過(guò)任意向量除以其范數(shù)生成。但在實(shí)踐中，為了生成均勻分布的參考向量，本文采用文獻(xiàn)[34]中的方法，首先使用規(guī)范的設(shè)計(jì)方法生成單位超平面上的一組均勻分布點(diǎn)，如圖1所示;其次將點(diǎn)放在歸一化的超平面上，參考點(diǎn)的數(shù)量N取決于客觀空間的目標(biāo)數(shù)M和正整數(shù)H的維數(shù)，定義為

(2)

參考向量是本文所提HSMEA的基本機(jī)制。一方面，在HSMEA中采用候選解與參考向量之間的銳角和垂直距離來(lái)進(jìn)行篩選；另一方面，HSMEA傾向于發(fā)現(xiàn)接近帕累托最優(yōu)前端，且與參考向量相本文通過(guò)參考向量的輔助來(lái)實(shí)現(xiàn)后續(xù)解的篩選操作。

2 HSMEA框架

HSMEA采用流行進(jìn)化算法的設(shè)計(jì)框架，整體由4個(gè)主要階段組成。在初始化階段，初始個(gè)體和參考向量被隨機(jī)初始化;隨后，通過(guò)應(yīng)用交叉和變異操作獲得一組子代解決方案;最后，通過(guò)在混合選擇步驟中先完成子集的劃分，再采用兩種不同的機(jī)制篩選出優(yōu)秀個(gè)體生成解決方案P。下面詳細(xì)解釋HSMEA中各個(gè)環(huán)節(jié)。

算法1HSMEA算法。

1. Output:Final population P

2. Initialization:initial population P0,

reference Vector V,

3. While(t

4. pt←Mating-Selection(P0)

5. Q←Variation(pt)

6. S←pt∪Q

7. Pt+1←Hybrid-Selection(t,S,V)

8. t=t+1

return P

2.1 初始化與子代生成

在初始化階段，算法首先生成初始種群和參考向量。具體而言，從決策(變量)空間隨機(jī)抽樣生成初始父群體P0，并通過(guò)1.2節(jié)闡述的參考向量構(gòu)建方法生成一組參考矢量V=(V0,V1,…,Vn)。

隨后在HSMEA中，進(jìn)行交叉操作與變異操作，從而產(chǎn)生新的候選解決方案。在這里采用多項(xiàng)式變異和模擬二進(jìn)制交叉(Simulated Binary Crossover, SBX)[32]來(lái)完成對(duì)個(gè)體的交叉與變異操作。

2.2 混合選擇操作

在混合操作中，算法首先提出一種新的子集劃分策略，并通過(guò)參考向量的協(xié)助將個(gè)體劃分為N個(gè)子集。隨后，針對(duì)每個(gè)子集，算法采用基于網(wǎng)格密度策略和基于指標(biāo)策略混合篩選優(yōu)秀的個(gè)體。

2.2.1 子集劃分

本算法采用的參考向量初始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因此在對(duì)種群進(jìn)行劃分前首先對(duì)目標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使其與參考向量相匹配，具體步驟如下：

(1)給定種群S中個(gè)體的目標(biāo)Ft={ft,1,ft,2,…,ft,|pt|}，其中t為當(dāng)前代數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)化處理后的目標(biāo)值

(2)

(3)

(4)

(3)根據(jù)θt,i,j與dp的值來(lái)定義不同個(gè)體的歸屬。當(dāng)前大多數(shù)算法在劃分子種群時(shí)，往往只單獨(dú)考慮角度或者距離，這導(dǎo)致在劃分子種群時(shí)出現(xiàn)部分信息的缺失與不準(zhǔn)確。本文提出一種新的劃分策略，綜合考慮了角度與距離，使得劃分更加合理與準(zhǔn)確，其具體定義如下：

給定種群中的任一個(gè)體I，它歸屬于子集St,k，當(dāng)且僅當(dāng)AD的值最小：

St,k={It,i|k=argmaxADt,i,j}。

(5)

式中ADt,i,j為混合距離，ADt,i,j=dp+θt,i,j，i=1,2,…,|St|，j=1,2,…,N。

在完成上述操作后，種群中所有的個(gè)體都被劃分到了相應(yīng)的子種群中，接下來(lái)通過(guò)兩種機(jī)制從每個(gè)子種群中混合篩選出優(yōu)秀的個(gè)體。

2.2.2 網(wǎng)格密度篩選機(jī)制

為方便從子種群中篩選出優(yōu)秀個(gè)體來(lái)構(gòu)成新的種群，本文提出一種基于網(wǎng)格密度的篩選機(jī)制來(lái)輔助算法對(duì)多樣性較好的個(gè)體進(jìn)行優(yōu)先篩選，從而強(qiáng)化解集的多樣性。網(wǎng)格機(jī)制通過(guò)將分布密度不同的個(gè)體劃分在不同的網(wǎng)格內(nèi)，并通過(guò)構(gòu)建其網(wǎng)格坐標(biāo)等來(lái)高效地對(duì)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)[26]。為方便構(gòu)建網(wǎng)格坐標(biāo)，本文首先引入m個(gè)目標(biāo)下的網(wǎng)格機(jī)制上下界：

(6)

(7)

其中：maxfm(x)、minfm(x)分別表示第m個(gè)目標(biāo)下的最大值和最小值；h為固定常數(shù)，h≥2。因此，第m目標(biāo)下個(gè)體的坐標(biāo)可表示為

(8)

GDR(x)=find(GD(x,y)

(9)

如圖3所示為雙目標(biāo)問題(m=2)，個(gè)體p1,p2,p3,p4,p5的網(wǎng)格坐標(biāo)分別為(1,5),(2,5),(2,4),(2,3),(1,3)。對(duì)于個(gè)體p1，其與p2,p3,p4的GD值分別為1,2,2,3，因此其GDR值為1;而對(duì)于個(gè)體p3，其與p1,p2,p4,p5的GD值分別為2,1,1,2，其GDR值為2。p1的GDR值更小，因此優(yōu)先選擇p1(從個(gè)體的多樣性來(lái)看，p1相比p3其周圍擁擠度較低，多樣性更好)。

2.2.3 基于指標(biāo)的篩選機(jī)制

為了更好地平衡最終所得解集的多樣性與收斂性，在完成采用網(wǎng)格的篩選機(jī)制來(lái)強(qiáng)化解的多樣性后，本文采用基于解質(zhì)量指標(biāo)Iε+的篩選機(jī)制[30]來(lái)進(jìn)一步強(qiáng)化解的收斂性。該指標(biāo)定義了一個(gè)個(gè)體在目標(biāo)空間中支配另一個(gè)個(gè)體所需的最小距離，具體定義如下：

Iε+(x,y)=min(fi(x)-ε≤fi(y))。

(10)

式中i∈(1,2,…,m)，m為目標(biāo)數(shù)。個(gè)體的適應(yīng)值可以定義為

(11)

式中c=max|I(x,y)|。在采用基于指標(biāo)的篩選過(guò)程中，F(xiàn)(xi)值小的個(gè)體將被優(yōu)先選擇，剩余的個(gè)體將會(huì)被更新，最終獲得新的解集。

2.3 算法復(fù)雜度分析

HSMEA的歸一化和范數(shù)的計(jì)算需要增加O(mN)，其中m為目標(biāo)數(shù)，N為總體大小。子集劃分的時(shí)間復(fù)雜度為O(mN2)。此外，算法還采用了混合選擇策略來(lái)強(qiáng)化和鞏固所得解得收斂性與多樣性，其時(shí)間復(fù)雜度均為O(mN2)。綜上所述，HSMEA的復(fù)雜度近似于O(mN2)。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與描述

本章將HSMEA和4個(gè)現(xiàn)行的多目標(biāo)優(yōu)化算法(SPEAR[39],MOEA/D,MOMBI2[40],NSGA-Ⅲ)在DTLZ1，DTLZ2，DTLZ3，DTLZ7標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上，針對(duì)3,5,8目標(biāo)的優(yōu)化問題進(jìn)行對(duì)比分析，其參考向量與初始種群設(shè)定如表1所示。此外，還引入了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估指標(biāo)反轉(zhuǎn)世代距離(Inverted Generational Distance, IGD)[41]與超體積(HyperVolume, HV)[42]來(lái)更好地評(píng)估算法的性能。

表1 HSMEA中參考向量與初始種群的設(shè)定

3.1 參數(shù)設(shè)定

對(duì)于算法所采用的SBX，其中兩個(gè)參數(shù)ηc=30，ηm=20。此外，對(duì)于MOEA/D算法，其鄰域大小T設(shè)定為20;MOMBI中兩個(gè)參數(shù)α=0.5，ε=0.001。為保證實(shí)驗(yàn)客觀性，以上算法參數(shù)設(shè)定均遵循其原文設(shè)定。對(duì)于HSMEA，由于采用了基于網(wǎng)格的機(jī)制來(lái)進(jìn)行篩選，其中的參數(shù)網(wǎng)格劃分h在不同測(cè)試函數(shù)不同目標(biāo)下的設(shè)定如表2所示。

表2 HSMEA中表格劃分h在各測(cè)試函數(shù)下的設(shè)定

3.2 結(jié)果分析與討論

采用IGD指標(biāo)與HV指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3～表4所示，其中灰色標(biāo)識(shí)的值為該行中的最優(yōu)結(jié)果。為了方便對(duì)比與分析，在實(shí)驗(yàn)部分引入秩序檢驗(yàn)來(lái)評(píng)價(jià)各個(gè)算法所得結(jié)果間的差異性，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果以“w/l/t”的形式被記錄在各表格最后一行，其中：w表示該對(duì)比算法的結(jié)果優(yōu)于本文提出的HSMEA所獲得結(jié)果；l表示該對(duì)比算法所獲得的結(jié)果差于本文提出的HSMEA所獲得結(jié)果；t表示該對(duì)比算法的結(jié)果與本文提出的HSMEA所獲得結(jié)果無(wú)明顯的差異。

表3 各算法在IGD指標(biāo)下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如表3所示為5個(gè)算法在IGD指標(biāo)下進(jìn)行15次運(yùn)算后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(中值與標(biāo)準(zhǔn)差)，表中“+”表示該對(duì)比算法的結(jié)果優(yōu)于HSMEA，“-”表示該對(duì)比算法的結(jié)果差于HSMEA，“=”表示該對(duì)比算法的結(jié)果與HSMEA無(wú)明顯差異。由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，HSMEA與NSGA-Ⅲ兩個(gè)算法包攬了所有12個(gè)測(cè)試函數(shù)在IGD指標(biāo)下的最優(yōu)值(最小值)。對(duì)于DTLZ1測(cè)試函數(shù)，HSMEA在3,5,8三個(gè)目標(biāo)上均獲得了良好的表現(xiàn)，而對(duì)于DTLZ2測(cè)試函數(shù)，MOMBI2和SPEAR兩個(gè)算法均表現(xiàn)良好，從秩序檢驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看，部分結(jié)果與HSMEA所獲得結(jié)果相似，但HSMEA的計(jì)算結(jié)果仍為所有算法結(jié)果中的最優(yōu)值。在DTLZ4上，MOEA/D和MOMBI2的表現(xiàn)較差。如圖4所示為5種算法在8目標(biāo)DTLZ7上的帕累托前沿圖，從圖中可以看出HSMEA所獲得的解表現(xiàn)出了良好收斂性與分布性潛力。

對(duì)于DTLZ7測(cè)試函數(shù)，盡管3,5,8目標(biāo)下的最優(yōu)值被NSGA-Ⅲ算法所獲得，但根據(jù)秩序檢驗(yàn)結(jié)果，HSEA的結(jié)果與NSGA-Ⅲ算法的結(jié)果無(wú)明顯差異。從表3數(shù)據(jù)亦可看出，HSMEA在部分目標(biāo)上所獲得結(jié)果明顯優(yōu)于MOEA/D等算法。

表4所示為5種算法在DTLZ上基于HV指標(biāo)的測(cè)試結(jié)果。為了方便計(jì)算，本文采用標(biāo)準(zhǔn)化處理的HV指標(biāo)，數(shù)值越大，其在HV指標(biāo)上的表現(xiàn)越優(yōu)秀。從表4可以看出，DTLZ1，DTLZ2，DTLZ3，DTLZ7測(cè)試函數(shù)在3,5,8目標(biāo)上的最優(yōu)值分別被HSMEA，MOMBI2和SPEAR所獲得。對(duì)于DTLZ1，DTLZ2測(cè)試函數(shù)，HSMEA表現(xiàn)良好，獲得了所有的最優(yōu)值;對(duì)于DTLZ2，盡管NSGA-Ⅲ，MOMBI2，SPEAR算法在5目標(biāo)下的表現(xiàn)良好，但在3，8目標(biāo)下的表現(xiàn)略差于HSMEA;對(duì)于DTLZ4測(cè)試函數(shù)，HSMEA所獲得結(jié)果略遜于SPEAR。盡管如此，本文提出的HSMEA在DTLZ4上仍然優(yōu)于大部分算法;對(duì)于DTLZ7測(cè)試函數(shù)，HSMEA獲得了3目標(biāo)與8目標(biāo)下的最優(yōu)值，而MOMBI2獲得了5目標(biāo)下的最優(yōu)值，NSGA-Ⅲ在5目標(biāo)下的表現(xiàn)也非常良好，但從8目標(biāo)下DTLZ7的數(shù)據(jù)可以看出，MOMBI2和NSGA-Ⅲ的表現(xiàn)明顯不如之前，而HSMEA的結(jié)果明顯優(yōu)于其他4個(gè)算法。綜上所述，得益于良好的子集劃分策略與混合選擇操作的輔助，HSMEA在解決這些多目標(biāo)優(yōu)化問題上具有良好的性能與潛力。

表4 各算法在HV指標(biāo)下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

3.3 工程實(shí)例應(yīng)用

本節(jié)將HSMEA應(yīng)用到實(shí)際的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，并與3種已實(shí)現(xiàn)的算法(NSGA-Ⅱ，MOALO[43]，PAES[44])進(jìn)行了對(duì)比分析，進(jìn)而驗(yàn)證算法的良好性能。

3.3.1 減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題是機(jī)械工程領(lǐng)域中一個(gè)較為突出的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題[45]，該問題主要針對(duì)減速器的重量f1與應(yīng)力f2的最小化。此外，該問題包含7個(gè)設(shè)計(jì)變量：齒輪面寬度x1、齒模x2、小齒輪的齒數(shù)x3、軸承1的間距x4、軸承2的間距x5、軸1的直徑x5、軸2的直徑x7。其具體數(shù)學(xué)模型描述如下：

(12)

(13)

s.t.

g9:1.9-x5+1.1x7≤0，

其中：2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4≤8.3，7.3≤x5≤8.3，，2.9≤x6≤3.9，5.0≤x7≤5.5。

在本節(jié)中，HSMEA與其他3種算法在減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上的運(yùn)行代數(shù)為1 000，每個(gè)算法單獨(dú)運(yùn)行15次，h設(shè)定為10，并做統(tǒng)計(jì)分析。此外，為了方便對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，本節(jié)引入兩個(gè)通用性指標(biāo)：世代距離(Generational Distance, GD)[45]與空間指標(biāo)(Spacing, SP)[46]，通過(guò)這兩個(gè)指標(biāo)可以直觀方便地評(píng)估各個(gè)算法在實(shí)際問題中所獲得解得優(yōu)劣程度。

如表5所示為MOPSO，NSGA-Ⅱ，MOALO和HSMEA算法在減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上采用GD和SP指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表中數(shù)值為運(yùn)行15次后的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，灰色標(biāo)記為該指標(biāo)下的最優(yōu)值。

表5 各算法在減速器優(yōu)化實(shí)際問題上采用GD與SP指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中灰色標(biāo)記部分為最優(yōu)值

從表5中數(shù)據(jù)可以看出，HSMEA在GD指標(biāo)和SP指標(biāo)上都取得了最好的解，而算法MOPSO，NSGA-Ⅱ與MOALO在該問題上盡管表現(xiàn)較好，但對(duì)比本文提出的HSMEA算法仍存在劣勢(shì)。

3.3.2 四桿平面桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

四桿平面桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問題是工程優(yōu)化領(lǐng)域中較為突出的優(yōu)化問題，其目標(biāo)主要圍繞4桿桁架的結(jié)構(gòu)體積f1和位移f2的最小化展開，其具體公式如下[43]：

(14)

(15)

s.t.

1≤x1≤3，1.414 2≤x2≤3，

1.414 2≤x3≤3，1≤x4≤3。

在該問題上，HSMEA與其他3種算法采用GD和SP指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，運(yùn)行代數(shù)為1 000，每個(gè)算法單獨(dú)運(yùn)行15次，其統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果如表6所示，其中灰色標(biāo)記部分為最優(yōu)值。

表6 各算法在四桿平面桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上采用GD與SP指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從表6中的結(jié)果可以看出，GD指標(biāo)和SP指標(biāo)上的最優(yōu)值均被HSMEA所獲得。值得注意的是，MOALO在該問題上的表現(xiàn)也較為突出，特別是在GD指標(biāo)下，其數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，但在SP指標(biāo)下，相比本文提出的HSMEA，仍略遜一籌。

3.3.3 盤式制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

盤式制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題最早由Ray等[47]提出，是具有復(fù)雜的混合約束問題。該問題主要圍繞停止時(shí)間f1和盤式制動(dòng)器的制動(dòng)質(zhì)量f2兩個(gè)目標(biāo)展開，具體包含4個(gè)設(shè)計(jì)變量：磁盤的內(nèi)半徑x1，磁盤的外半徑x2，嚙合力x3和摩擦表面的數(shù)量x4，模型公式如下：

(16)

(17)

s.t.

g1(x)=20+x1-x2，g2(x)

=2.5×(x4+1)-30，

其中：55≤x1≤80;75≤x2≤110;1 000≤x3≤3 000;2≤x4≤20。在該問題上，HSMEA與其他3種算法的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果如表7所示，其中灰色標(biāo)記部分為最優(yōu)值。表7所示為MOPSO，NSGA-Ⅱ，MOALO和HSMEA算法在盤式制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上采用GD和SP指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可以看出，HSMEA包攬了在GD指標(biāo)和SP指標(biāo)下均值和標(biāo)注差的最優(yōu)值。對(duì)于MOPSO，NSGA-Ⅱ與MOALO，盡管3種算法在處理該問題的表現(xiàn)較為良好，但對(duì)比本文提出的HSMEA算法，仍有一些劣勢(shì)。

表7 各算法在盤式制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上采用GD與SP指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

綜上所述，MOPSO，NSGA-Ⅱ以及MOALO算法單純使用進(jìn)化的操作來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)選，面對(duì)復(fù)雜約束問題，其很難達(dá)到較好的效果。而本文提出的HSMEA，一方面采用參考向量來(lái)輔助算法高效運(yùn)算，另一方面基于網(wǎng)格和基于指標(biāo)兩種篩選機(jī)制都進(jìn)一步鞏固與強(qiáng)化了算法解的收斂性與多樣性，從而在實(shí)際問題中取得了較好的效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

為進(jìn)一步提升算法收斂性，同時(shí)最大化保留解的多樣性，并有效解決實(shí)際工程中的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，本文提出一種基于混合選擇的多目標(biāo)進(jìn)化算法HSMEA。該算法首先利用融合角度與距離的動(dòng)態(tài)聚類方法對(duì)種群進(jìn)行子集劃分，從而在多目標(biāo)優(yōu)化中更好地實(shí)現(xiàn)收斂和多樣性之間的平衡;其次引入包含兩種不同原則(基于網(wǎng)格和基于指標(biāo))的混合選擇機(jī)制，從而進(jìn)一步強(qiáng)化和鞏固算法的收斂性和多樣性。此外，本文對(duì)HSMEA和其他4種先進(jìn)的進(jìn)化算法進(jìn)行了廣泛的實(shí)驗(yàn)比較，并選取DTLZ測(cè)試基準(zhǔn)問題來(lái)研究和評(píng)估算法的能力。最后，在實(shí)際的減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題、四桿平面桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問題和盤式制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，本文提出的HSMEA在測(cè)試問題和實(shí)際優(yōu)化問題上都表現(xiàn)出了良好的性能與潛力。但是，在本文采用的實(shí)例上表現(xiàn)良好，并不代表其可在所有的實(shí)例中表現(xiàn)良好，不同的實(shí)際問題與環(huán)境更需要針對(duì)性的選擇與設(shè)計(jì)算法。未來(lái)將擴(kuò)展HSMEA，通過(guò)結(jié)合約束處理技術(shù)解決高維度的約束多目標(biāo)問題，以進(jìn)一步驗(yàn)證其有效性。