平安 鄒蓮蓮 平靜

摘要：本文主要運(yùn)用空間幾何模型和彈性碰撞模型相結(jié)合的方式，討論并給出了不同情形下“同心鼓”的協(xié)作策略。在理想狀態(tài)下，隊(duì)員可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度，結(jié)合完全彈性碰撞模型，對(duì)周期內(nèi)排球與鼓面的相關(guān)物理量進(jìn)行分析，得出最佳協(xié)作策略下的鼓起落高度差和發(fā)力時(shí)機(jī)?？紤]現(xiàn)實(shí)情形中的隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力力度不能精準(zhǔn)操控，因此存在誤差導(dǎo)致鼓面會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，從而產(chǎn)生一定的偏轉(zhuǎn)角度。結(jié)合轉(zhuǎn)動(dòng)定律，建立一般鼓面傾斜角度模型。在該模型基礎(chǔ)上，通過簡易實(shí)驗(yàn)得出不同情況下的旋轉(zhuǎn)軸，建立鼓面傾斜角度模型。當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，根據(jù)光的反射定律描述球的跳動(dòng)軌跡規(guī)律，建立傾斜球調(diào)整模型，通過調(diào)整特定位置的發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力的大小，使鼓轉(zhuǎn)動(dòng)至鼓面中心法線與球速所在的平面垂直于地面，并產(chǎn)生0.5度的傾斜角度，以此將球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，并結(jié)合實(shí)際分析了該策略在現(xiàn)實(shí)情形中的實(shí)施效果。此外，現(xiàn)實(shí)中發(fā)力時(shí)機(jī)、發(fā)力力度、用力方向難以精確控制，如何使模型更加貼近實(shí)際，是本文面臨的一大困難。通過對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹⒑侠淼募僭O(shè)，最終給出了較為合理的“同心鼓”協(xié)作策略。

關(guān)鍵詞：空間幾何模型;完全彈性碰撞;一般鼓面傾斜角度模型;折射定律;傾斜球調(diào)整模型

一、模型的建立與求解

1.球-鼓往復(fù)碰撞模型的建立與求解

考慮繩與鼓的固定點(diǎn)在鼓身均勻?qū)ΨQ分布，且經(jīng)調(diào)查，市面常見的同心鼓有8環(huán)、10環(huán)、12環(huán)、14環(huán)、16環(huán)、18環(huán)、20環(huán)這七種規(guī)格，即鼓身固定點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。因此當(dāng)團(tuán)隊(duì)人數(shù)多于8人且為偶數(shù)時(shí)，隊(duì)員位置的分布最易確定。因此，為使鼓的平穩(wěn)性更易控制，建議一般協(xié)作人數(shù)在8-20人并且為偶數(shù)。通過以上分析建立了球-鼓往復(fù)碰撞模型，用于研究用力大小、人數(shù)、繩與水平面的夾角與發(fā)力時(shí)機(jī)和點(diǎn)球高度的關(guān)系，從而給出決策策略。

假設(shè)參與“同心鼓”團(tuán)隊(duì)的人數(shù)為n，隊(duì)員與其對(duì)應(yīng)的繩和固定點(diǎn)在同一直線上，且n條直線交于鼓中心軸線上一點(diǎn)。

排球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，隊(duì)員通過對(duì)繩的牽拉，使得鼓在豎直方向運(yùn)動(dòng)。排球受恒定的空氣阻力f作用，其中c空氣阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，s為排球的迎風(fēng)面積，則有

其中，v0為排球下落時(shí)的初始速度，即v0=0m/s，v為排球下落40cm時(shí)的速度。迎風(fēng)面積即為排球在豎直方向的投影面積。

周期碰撞系統(tǒng)，每個(gè)周期球鼓將在相同位置發(fā)生碰撞，碰撞完成以后保證球最高上升到原位置，此系統(tǒng)保證了在精準(zhǔn)控制發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的情況下球每次顛起的高度等于40cm，從而保證了球在單位時(shí)間的顛球次數(shù)最多。

通過對(duì)排球和鼓勻加速直線運(yùn)動(dòng)過程中的受力分析，列出以下等式：

設(shè)排球與鼓相撞所用的時(shí)間分別為t1、t2，將該碰撞過程理想化為完全彈性碰撞，則滿足動(dòng)量守恒和能量守恒：

聯(lián)立以上方程組，可求得鼓起落的高度差和隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)。

2.一般鼓面傾斜角度模型的建立

在現(xiàn)實(shí)情形中，團(tuán)隊(duì)隊(duì)員在發(fā)力時(shí)機(jī)和力度上不能精確操控，因存在誤差從而鼓面發(fā)生一定角度的傾斜。傾斜角度與隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻有關(guān)，通過簡易實(shí)驗(yàn)找到四種不同發(fā)力力度情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)軸位置。利用質(zhì)量平均的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求解

得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.216和0.202。

利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)過程中角加速度與角度之間的變化關(guān)系，建立一般鼓面角度偏轉(zhuǎn)的模型，在該模型中分別表示出因發(fā)力時(shí)機(jī)不同而導(dǎo)致的偏轉(zhuǎn)角度β1和因發(fā)力力度不同產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度β2，矢量疊加即可求得在0.1s時(shí)鼓面的偏轉(zhuǎn)角度

為了方便分析和求解，建立以鼓面中心為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，把角速度的方向規(guī)定為該角速度在鼓面上投影的方向。將因發(fā)力大小不同產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度向X0Y面投影，得到其在沿X軸負(fù)向上的角速度分量和Y軸上的角速度分量，其中Y軸上的角速度分量為0。

對(duì)鼓受力分析可得知，在隊(duì)員用力大小不等和發(fā)力時(shí)機(jī)不同步處對(duì)鼓面所產(chǎn)生的傾斜角度，是與該位置的對(duì)位的有關(guān)，故在計(jì)算傾斜角度時(shí)，把關(guān)于鼓心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)不受外力影響的系統(tǒng)來進(jìn)行求解，把每個(gè)系統(tǒng)都分為三個(gè)階段：第零階段是兩個(gè)人都沒有開始發(fā)力，只提供保持鼓面平行、鼓靜止的狀態(tài);第一階段是兩人中有一人開始發(fā)力，另一人尚未發(fā)力的時(shí)間段;第二階段是兩人都開始發(fā)力。第零階段可直接轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙A段。最后將所有系統(tǒng)導(dǎo)致的偏轉(zhuǎn)角矢量加和，得到最終的鼓面傾斜角。

3.鼓面傾斜角度模型的建立與求解

在沒有對(duì)位同時(shí)發(fā)生相同誤差的情況，該系統(tǒng)的任意一個(gè)階段中，不會(huì)改變。

則：

4.傾斜球調(diào)整的模型建立與求解：

經(jīng)過計(jì)算來確保鼓面傾斜方向與球的傾斜方向在同一平面內(nèi)，同時(shí)利用反射原理中的入射角等于出射角來求出鼓面傾斜的角度為0.5°。定義鼓距離繩水平的位置為0.11m，每個(gè)人的正常拉力F為80N。同時(shí)假定球的偏轉(zhuǎn)角指向1，2號(hào)位置，且與1，2號(hào)位置的夾角比為1：2。

某位置提前發(fā)力的提前量t和其引起的鼓面偏轉(zhuǎn)

其他位置力度加大后與正常力度的差值△F和其引起的鼓面偏轉(zhuǎn)

則鼓偏轉(zhuǎn)角和鼓偏轉(zhuǎn)方向?yàn)閠an（12°）

聯(lián)立上述四式解得t=0.1314s，△F=13.8388N。即某位置提前0.1314s發(fā)力，與之相鄰兩位置發(fā)力大小為93.8388N。

5.策略效果分析

當(dāng)時(shí)間提前量與發(fā)力力度的改變量在可控制范圍內(nèi)，操作性較強(qiáng)，結(jié)果較為理想。考慮在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員無法精確控制發(fā)力時(shí)機(jī)和發(fā)力力度，所以可考慮增加繩長以增大發(fā)力力度的合理范圍，或多次操作調(diào)整鼓面傾斜角。

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