蔡兵華，李忠超 ，馮慶高，袁 祥

(1.武漢市市政建設(shè)集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430023；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基坑工程中常采用降水井抽取承壓水的方式來(lái)降低地下水水位以滿足施工要求，但抽取承壓水不可避免地會(huì)引起地層沉降[1-5]。為了避免抽降承壓水對(duì)周邊建筑物或地下構(gòu)筑物造成的危害，須將基坑降水引起的地層變形控制在合理的范圍內(nèi)。因此，分析抽降承壓水引起的地層變形顯得尤為重要。

針對(duì)基坑降水引起的地層變形問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了大量研究。如Terzaghi[6]提出土的有效應(yīng)力原理，解釋了降水會(huì)引起地層中孔隙水壓力的減小致使其有效應(yīng)力增加，從而導(dǎo)致土層產(chǎn)生壓縮變形；Shen等[7]通過(guò)結(jié)合三維滲流和一維土體固結(jié)的方法，提出了關(guān)于地下水開(kāi)采引起地面沉降的計(jì)算方法;許燁霜等[8]在考慮了地層壓縮性的情況下，分析計(jì)算了降水引起的地面沉降問(wèn)題;Shen等[9]在考慮土體固結(jié)過(guò)程中壓縮系數(shù)和滲透系數(shù)變化的條件下，建立了三維滲流和一維固結(jié)的部分耦合模型，分析了開(kāi)采地下水對(duì)地面沉降的影響。但是更貼合實(shí)際的是應(yīng)考慮地下水滲流和土體變形的相互作用，使?jié)B流和應(yīng)力實(shí)現(xiàn)真正意義上的流固耦合。為此，有不少學(xué)者基于Biot固結(jié)理論來(lái)計(jì)算抽水所引起的土體變形。如Derski[10]最早利用Biot固結(jié)理論分析了抽水所引起的土體變形問(wèn)題；Booker等[11]利用Fourier積分變換，求解得到了彈性半空間體內(nèi)點(diǎn)源穩(wěn)態(tài)抽水作用下土體的Boit固結(jié)解析解；艾智勇等[12-13]利用傳遞矩陣法解決了飽和半空間或飽和成層地基中點(diǎn)源非穩(wěn)定抽水問(wèn)題；Selvadurai等[14]應(yīng)用Laplace-Hankel積分變換求解得到彈性半空間無(wú)限體內(nèi)某一圓盤抽水區(qū)域條件下，非穩(wěn)態(tài)抽水引起的土體固結(jié)變形的解析解。此外，還有諸多學(xué)者[15-19]對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究。

現(xiàn)有的計(jì)算研究普遍建立在含水層是側(cè)向無(wú)限延伸(側(cè)向無(wú)界)假定的基礎(chǔ)上，缺少以在距離抽水井r=R(本文將R稱為有界半徑)處的地下水水位沒(méi)有變化為邊界條件的水位降深解答。而在工程實(shí)踐中，特別是基坑工程中，往往在距離抽水井r=R處存在補(bǔ)給源(如回灌源)使得該處的地下水水位不發(fā)生變化或在r=R處的地下水水位不受抽水的影響，這樣的含水系統(tǒng)被認(rèn)為是側(cè)向有限延伸的，被稱為側(cè)向有限含水系統(tǒng)。此外，降水通常是通過(guò)豎向抽水井來(lái)實(shí)現(xiàn)的，應(yīng)考慮井的完整性這一客觀事實(shí)。因此，有必要對(duì)不同側(cè)向邊界條件下完整井抽降承壓水引起的含水層變形進(jìn)行分析。

在抽水過(guò)程中通常認(rèn)為完整井附近的地下水壓力和流速僅隨含水層的平面方向x、y或r、θ變化，而不隨垂直方向z變化，同時(shí)還具有軸對(duì)稱的特點(diǎn)。基于上述完整井抽水的特點(diǎn)，本文在平面應(yīng)力假定的基礎(chǔ)上[20-21]，從Biot固結(jié)方程出發(fā)，應(yīng)用Laplace變換求解了越流承壓含水層在側(cè)向有界的情況下，完整井抽降水引起的承壓含水層豎向變形和徑向變形的二維解析表達(dá)，并重點(diǎn)分析了不同側(cè)向邊界對(duì)完整井抽降承壓水引起的含水層變形的影響。

1 模型建立及求解

1.1 基本方程

側(cè)向有界抽水承壓含水層二維變形計(jì)算示意圖見(jiàn)圖1。側(cè)向有界越流承壓含水層中存在一個(gè)定流量Q抽水的完整井，抽水承壓含水層均質(zhì)、等厚，含水層內(nèi)的滲流僅沿徑向上發(fā)生。其中，抽水承壓含水層厚度為B、滲透系數(shù)為K、彈性模量為E、泊松比為ν，且抽水承壓含水層上覆一個(gè)滲透系數(shù)為K′、厚度為B′的弱透水層，在距離抽水井r=R處存在補(bǔ)給源使得該處地下水水位沒(méi)有變化。

圖1 側(cè)向有界抽水承壓含水層二維變形計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of two-dimensional deformation calculation for pumped confined aquifer of laterally finite extent in radial direction

(1)

(2)

(3)

式中:ur和uz分別為徑向位移和豎向位移。

(4)

(5)

再將公式(5)對(duì)r積分，可得：

(6)

式中:f稱為無(wú)量綱積分常數(shù)，由通過(guò)在距離抽水井r=R處的邊界條件來(lái)確定。

結(jié)合方程(3)～(6)并化簡(jiǎn)，可得到平面應(yīng)力狀態(tài)下土體的基本方程如下：

(7)

(8)

(9)

1.2 固結(jié)控制方程的求解

考慮抽水承壓含水層上覆土層的越流補(bǔ)給，則土體質(zhì)量守恒方程為

(10)

式中:K和K′分別為抽水承壓含水層和上覆弱透水層的滲透系數(shù)(cm/s)；B和B′分別為抽水承壓含水層和上覆弱透水層的厚度；γw為水的容重(kg/m3)。

將方程(7)代入方程(10)，可得：

(11)

完整井以定流量Q抽水時(shí)的井壁邊界條件為

(12)

且在r=0處徑向變形為零，即：

ur(r→0,t)=0

(13)

同時(shí)，在r=R處應(yīng)滿足如下條件：

p(r=R,t)=0

(14)

σrr(r=R,t)=0

(15)

將方程(11)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行Laplace變換,可得：

(16)

方程(16)的通解為

(17)

式中：I0為第一類0階修正貝塞爾函數(shù)；K0為第二類0階修正貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)方程(12)和(14)可以確定方程(17)中的待定常數(shù)A1和A2，因此可以得到在Laplace空間下，孔隙水壓力的解析解為

(18)

隨后對(duì)方程(7)～(9)進(jìn)行Laplace變換,并將方程(18)代入，可得：

(19)

(20)

(21)

將公式(20)對(duì)r積分，并考慮徑向變形滿足方程(13)這一條件，可得：

(22)

式中：I1為第一類1階修正貝塞爾函數(shù)；K1為第二類1階修正貝塞爾函數(shù)。

假定抽水承壓含水層底部無(wú)豎向變形，則含水層頂部豎向變形可表達(dá)為

(23)

(24)

在r=R時(shí)，由方程(19)、(21)和(22),可得：

(25)

(26)

(27)

(28)

其中:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

至此，得到了拉氏空間下的半解析解答，由孔隙水壓力和位移的具體表達(dá)式(31)～(33)可知，很難對(duì)其直接進(jìn)行拉氏逆變換而得到時(shí)間域的解答，為此本文采用常用的Stehfest數(shù)值逆變換法[22]來(lái)求解實(shí)域解。此外，當(dāng)不考慮越流影響或R→∞時(shí)，方程(31)～(33)可以簡(jiǎn)化為完全承壓含水層或側(cè)向無(wú)限含水層情況下孔隙水壓力和變形的表達(dá)式，具體在此不做詳述。

2 分析與討論

本文在上述得到的解析解的基礎(chǔ)上，首先通過(guò)有限元數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)解析解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，然后重點(diǎn)分析越流承壓含水層側(cè)向有限延伸或無(wú)限延伸條件下，完整井抽降承壓水引起的含水層豎向變形和徑向變形的特征。在無(wú)特別說(shuō)明的情況下，抽水引起的含水層豎向變形和徑向變形均表示為正值。

2.1 有限元計(jì)算的對(duì)比驗(yàn)證

根據(jù)上述得到的完整井抽降承壓水引起的地層變形的解析解答，將本文計(jì)算結(jié)果與COMSOL Multiphysics的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。依據(jù)圖1建立了完整井抽降承壓水的簡(jiǎn)化二維有限元計(jì)算模型。模型的水平方向尺寸設(shè)為1 000 m，由于抽水承壓含水層上覆弱透水層的越流補(bǔ)給是通過(guò)設(shè)置越流項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，故僅需在豎直方向建立厚度為20 m的承壓含水層即可；降水井作為線源位于模型中心位置，在線源上即進(jìn)水濾管處設(shè)置流量邊界以實(shí)現(xiàn)抽水過(guò)程，其中抽水流量Q=10 m3/h、抽水時(shí)間t=300 h；同時(shí)，上覆弱透水層的越流補(bǔ)給量在COMSOL Multiphysics的滲流方程中設(shè)置添加越流項(xiàng)即可，其最終考慮越流補(bǔ)給的土體質(zhì)量平衡方程正如方程(10)一樣；此外，模型兩側(cè)設(shè)置水平方向的位移約束和定水頭補(bǔ)給邊界，模型底部設(shè)置水平和豎直兩個(gè)方向的位移約束，為不透水邊界，并在距離降水井兩側(cè)300 m位置處設(shè)置定水頭邊界，以保證抽水過(guò)程中該處地下水水位沒(méi)有變化。整個(gè)有限元計(jì)算模型共劃分為1 146個(gè)三角形單元，土體本構(gòu)模型選用線彈性模型。在有限元計(jì)算和解析計(jì)算中都采用統(tǒng)一的土體參數(shù)值，具體土體參數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 土體參數(shù)值Table 1 Values of soil parameters

表1中的土體參數(shù)取值可以如實(shí)地反映出含水砂層和黏土弱透水層的基本物理力學(xué)特性，以下在對(duì)抽水承壓含水層變形的影響分析中土層的基本參數(shù)取值與表1中一致。本文計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，見(jiàn)圖2。

圖2 本文計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比Fig.2 Comparison of the calculation results obtained by the proposed solution and the finite element numerical solution

由圖2可見(jiàn)，利用本文計(jì)算方法得到的完整井抽降承壓水引起的含水層豎向位移(Uz)和徑向位移(Ur)與有限元方法的計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確可靠性。

2.2 抽水承壓含水層豎向變形的影響分析

在距抽水井距離r=25 m的位置處，側(cè)向無(wú)界和有界(有界半徑R=300 m)條件下越流承壓含水層中豎向位移Uz與抽水時(shí)間t的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖3。

圖3 側(cè)向無(wú)界和有界(R=300 m)條件下越流承壓 含水層Uz-t的關(guān)系曲線圖Fig.3 Relation curves of the vertical deformation (Uz) versus the pumping time (t) in leaky confined aquifer of infinite and finite extent in radial direction (R=300 m)

由圖3可見(jiàn)，在整個(gè)抽水階段中，無(wú)論承壓含水層側(cè)向有界還是無(wú)界，其豎向位移Uz都隨著抽水時(shí)間t的增長(zhǎng)而增大，并在后期達(dá)到穩(wěn)定；當(dāng)抽水時(shí)間t小于10 h時(shí)，尚未達(dá)到滲流穩(wěn)定階段，抽水引起的側(cè)向有界和無(wú)界含水層的豎向位移基本是一致的，而在抽水后期，側(cè)向有界含水層相對(duì)來(lái)說(shuō)更易達(dá)到穩(wěn)定滲流階段，因此側(cè)向無(wú)界含水層的豎向變形要大于側(cè)向有界含水層。

當(dāng)抽水時(shí)間t=300 h時(shí)，側(cè)向無(wú)界和有界(R=200 m)條件下越流承壓含水層的豎向位移Uz與距抽水井距離r的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖4。

圖4 側(cè)向無(wú)界和有界(R=200 m)條件下越流承壓 含水層中Uz-r的關(guān)系曲線圖Fig.4 Relation curves of the vertical deformation (Uz) versus the distance (r) in leaky confined aquifer of infinite and finite extent in radial direction (R=200 m)

由圖4可見(jiàn)，從含水層土體變形的整體規(guī)律上看，無(wú)論越流承壓含水層是側(cè)向有界還是無(wú)界，抽水引起的含水層豎向位移Uz均隨著與抽水井距離r的增大而減??；在抽水滲流達(dá)到穩(wěn)定階段時(shí)，側(cè)向無(wú)界含水層的豎向變形量要大于側(cè)向有界含水層，且這種變形量的差異在距離抽水井越遠(yuǎn)的位置越發(fā)明顯，這是由于越接近側(cè)向邊界(R=200 m)，受到側(cè)向邊界補(bǔ)給作用的影響更加明顯，從而減小了抽水井對(duì)豎向變形的影響。

當(dāng)有界半徑R取不同值時(shí)，越流承壓含水層的豎向位移Uz見(jiàn)圖5，為了比較分析，側(cè)向無(wú)界含水層中抽水的情況也考慮其中。

圖5 不同有界半徑R對(duì)越流承壓含水層豎向位移 Uz的影響Fig.5 Impact of finite radius (R) on the vertical deformation of leaky confined aquifer

由圖5可見(jiàn)，在較長(zhǎng)的抽水時(shí)間(t=300 h)內(nèi)，隨著有界半徑R的增大，側(cè)向有界含水層的豎向位移Uz越接近于側(cè)向無(wú)界含水層；在抽水達(dá)到穩(wěn)定滲流階段后，隨著有界半徑R的增大，側(cè)向有界含水層的豎向變形范圍和具體量值均隨之增大，這是由于側(cè)向邊界越接近于抽水井，其補(bǔ)給作用對(duì)抽水的影響則越明顯，從而減小了抽水井所能引起的含水層豎向變形范圍和豎向變形量。

2.3 抽水含水層徑向變形的影響分析

在距抽水井距離r=25 m位置處，抽水引起的側(cè)向無(wú)界和有界(R=200 m)越流承壓含水層的徑向變形Ur與抽水時(shí)間t的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖6。

圖6 側(cè)向無(wú)界和有界(R=200 m)條件下越流承壓 含水層Ur-t的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curves of the vertical deformation (Uz) versus the pumping time (t) in leaky confined aquifer of infinite and finite extent in radial direction (R=200 m)

由圖6可見(jiàn)，在整個(gè)抽水階段中，側(cè)向無(wú)界和有界越流承壓含水層的徑向變形Ur均隨著抽水時(shí)間t的增長(zhǎng)而增大，并在達(dá)到穩(wěn)定滲流時(shí)保持不變，且此時(shí)含水層徑向位移達(dá)到最大值；此外，在相同的抽水時(shí)間，距離抽水井同一位置處側(cè)向無(wú)界承壓含水層的徑向位移要小于側(cè)向有界承壓含水層，這是由于在側(cè)向有界承壓含水層中，側(cè)向邊界位置(有界半徑R)處的地下水水位始終保持不變，抽水過(guò)程中會(huì)形成一個(gè)相比于側(cè)向無(wú)界承壓含水層中更大的水頭差和滲流力作用，從而引起含水層更大的徑向變形。

在不同抽水時(shí)間t=50 h和t=300 h時(shí)，側(cè)向無(wú)界和有界(R=200 m)條件下越流承壓含水層的徑向位移Ur與距抽水井距離r的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖7。

圖7 不同抽水時(shí)間側(cè)向無(wú)界和有界條件下越流承壓 含水層Ur-r的關(guān)系曲線Fig.7 Relation curves of the radial deformation (Ur) versus the distance (r) in leaky confined aquifer of infinite and finite extent in radial direction under different pumping time

由圖7可見(jiàn)，在同一抽水時(shí)間，側(cè)向無(wú)界和有界承壓含水層的徑向位移Ur沿徑向的分布規(guī)律基本一致，即隨著距抽水井距離r越遠(yuǎn)，側(cè)向有界和無(wú)界承壓含水層徑向位移Ur呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，這是由于靠近抽水井位置附近的側(cè)向有界和無(wú)界承壓含水層處于壓縮變形區(qū)，距離抽水井較遠(yuǎn)位置的側(cè)向有界和無(wú)界承壓含水層處于拉張變形區(qū)，而側(cè)向有界和無(wú)界承壓含水層的最大徑向變形會(huì)出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)域的交界位置處，因此越流承壓含水層的最大徑向變形出現(xiàn)在距抽水井一定距離處。

當(dāng)有界半徑R取不同值時(shí)，越流承壓含水層的徑向位移Ur見(jiàn)圖8，為了比較分析，側(cè)向無(wú)界含水層中抽水的情況也考慮其中。

圖8 不同有界半徑R對(duì)越流承壓含水層徑向位移 Ur的影響Fig.8 Impact of finite radius (R) on the radial deformation of leaky confined aquifer(Ur)

由圖8可見(jiàn)，在較長(zhǎng)的抽水時(shí)間(t=300 h)內(nèi)，隨著有界半徑R的增大，抽水井引起的側(cè)向有界承壓含水層的徑向變形量和變形范圍均隨之增大，這是由于有界半徑R越大，側(cè)向邊界對(duì)抽水的影響越小，抽水所能引起的含水層徑向變形量和變形范圍也就越大；同時(shí)，隨著側(cè)向邊界與抽水井相距越遠(yuǎn)，含水層的拉張變形區(qū)也相對(duì)距離抽水井越遠(yuǎn)，進(jìn)而導(dǎo)致含水層壓縮變形區(qū)和拉張變形區(qū)的交界位置也越遠(yuǎn)離抽水井，最終呈現(xiàn)如圖8所示含水層最大徑向變形位置隨著有界半徑R的增大而遠(yuǎn)離抽水井這一特征；此外，側(cè)向無(wú)界條件下含水層的徑向變形規(guī)律與側(cè)向有界條件有所差異，這是由于側(cè)向邊界的補(bǔ)給作用減小了抽水井對(duì)含水層徑向變形的影響范圍，從而導(dǎo)致側(cè)向無(wú)界承壓含水層的徑向變形范圍要大于側(cè)向有界承壓含水層。

3 結(jié) 論

本文建立并得到了完整井抽降水引起的側(cè)向有界越流承壓含水層豎向位移和徑向位移的解析解，并重點(diǎn)分析了完整井抽水條件下側(cè)向邊界對(duì)越流承壓含水層豎向變形和徑向變形的影響，得到主要結(jié)論如下：

(1) 無(wú)論抽水承壓含水層側(cè)向有界還是無(wú)界，在整個(gè)抽水階段，承壓含水層的豎向變形在抽水前期均隨著抽水時(shí)間的增長(zhǎng)而增大，并在后期達(dá)到穩(wěn)定保持不變，抽水引起的承壓含水層豎向變形也隨著距抽水井距離的增大而減小；在達(dá)到滲流穩(wěn)定階段后，側(cè)向無(wú)界承壓含水層的豎向變形量要大于側(cè)向有界承壓含水層，且這種變形量的差異在距離抽水井越遠(yuǎn)的位置越發(fā)明顯。

(2) 在抽水達(dá)到穩(wěn)定滲流階段時(shí)，隨著有界半徑R的增大，抽水引起的側(cè)向有界承壓含水層的豎向變形范圍和具體變形量值均隨之增大，且其豎向變形的分布規(guī)律也越接近于側(cè)向無(wú)界承壓含水層的情況。

(3) 在整個(gè)抽水階段，側(cè)向無(wú)界和有界越流承壓含水層的徑向變形均隨著抽水時(shí)間的增長(zhǎng)而增大，并在達(dá)到穩(wěn)定滲流時(shí)保持不變且承壓含水層達(dá)到最大徑向位移值；在同一抽水時(shí)間，隨著距抽水井距離的增大，側(cè)向無(wú)界和有界承壓含水層的徑向位移呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律，即越流承壓含水層的徑向位移的最大值出現(xiàn)在距抽水井一定距離處，且側(cè)向無(wú)界承壓含水層的徑向變形量要小于側(cè)向有界承壓含水層。

(4) 在抽水達(dá)到穩(wěn)定滲流時(shí)，隨著有界半徑R的增大，抽水引起的側(cè)向有界承壓含水層的徑向變形量和變形范圍也隨之增大，其最大徑向變形位置也隨之遠(yuǎn)離抽水井，且抽水引起的側(cè)向無(wú)界承壓含水層的徑向變形范圍要大于側(cè)向有界承壓含水層。